Algebra lineare e geometria - schemi e riassunti

1) Autovalori - autovettori

F(v) = λv

Av = λv

Autovalori: det(A - λI)

Autospazi - autovettori: (A - λI)_Xλ = 0

Diagonalizzabile: sì → (A matrice x h, devono 3 h autovettori LID.)

Autovalori tutti distinti → Autovettori un. LID.

Sì! A = SDS^-1 → A = M.G. per ogni autovalore

Esponenziale di una matrice

2) Spazi vettoriali euclidei

Norma

||v|| = √_i=1^h v_i²

v,v = √(λ_h → 0)

v ⊥ v

Prodotto vettoriale

v . w = ∑_i=1^h ai . bi

Angolo

Cos() = v . w / ||v|| . ||w||

v . w = coordinato ed ortogonali (v . w = 0, ortogonale riga loro)

||v||v . v

Base ortogonale

v_jl = dimU + u, che ne deve essere i tutti vettori di base di J occhi

proiezione: = v U

proiezione = v_L

V! = V - w_E(u) → prodotto di PAG 473

V! = - (V - w)_U

Forme bilineari simmetriche

funzioni: v e vi pari di tag

v . w

g(u,v) = 0,² + 0^Lv - ties. = prodotto scalare

g(v,w) = v . w

SOMME.+Indefinita

Nucleo ker g = {v∈V | g(v,u)∀u∈V }

per trovare il vettore non degenere

deg = 0

degele → Ker g = {v

deg = 0

Matrice G = (g_ij)

G_ij = g(V_i ; V_i)

G = G^T

G' = P^T . G . P

P ∈ U matrice di cambiamento di base

Se P_j = P^-1

di base ortogonale

1) Autovalori - autovettori

Autovalore

F(v) = λv

Av = λv

deg(A - λI) = 0

Diagonalizzabile: sì → A

Autovalori tutti distinti

A = SDS^-1

Esponenziale di una matrice: e^tA = Se^tDS^-1

2) Spazi vettoriali euclidei

Norma

||v|| = √(v · v)

Prodotto vettoriale

v · w = ∑_i=1ⁿ a_ib_i

Angolo

cosθ = ^{v · w}/_{||v|| ||w||}

Ortogonalità

v · w = 0 → v ⊥ w

Base ortogonale

proiezione di u₁ su v

Forme bilineari simmetriche

prod. scalare g(v, w) = v · w

Nucleo: Ker g = {v ∈ V | g(v, u) = 0 ∀ u ∈ V }

Matrice: G = (g_ij)

Gʹ = P^T · G · P

Se P^-1 = P^T → Matrici ortogonali

Spazio affine geometria

Somma punto-vettore Q = P + v

Differenza punto-punto v = Q - P

Eq. parametrica retta x = P + λv

Eq. parametrica piano x = P + λv + μw

Punto medio (P + Q) / 2

Baricentro (A + B + C) / 3

Distanza punto-retta d = \(\frac{{\| (P - Q) \times v \|}}{{\| v \|}}\)

Distanza punto-piano d = \(\frac{{|2aP₁ + ... + 2aₙPₙ + d|}}{{\sqrt{{a₁² + ... + aₙ²}}}}\)

Fascio di piani α₁(Eq. 1) + α₂(Eq. 2) = 0

Prodotto vettoriale u × v = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Area parallelogramma \(\| u \times v \|\)

Area triangolo \(\frac{{\| u \times v \|}}{2}\)

Distanza retta-retta h = \(\frac{{| (v₁ × v₂) · w |}}{{\| v₁ × v₂ \|}}\)

Coniche x² + bx² + cxy + dy + e = 0

D₁ Campo (K)

Un campo K è un insieme non vuoto dotato di 2 operazioni (somma " + " e prodotto " . ") che soddisfano le seguenti proprietà:

• P. Associativa della somma
• C. Commutativa della somma
• E₂ dell'elemento neutro per la somma
• I₂ dell'elemento opposto per la somma
• A. Associativa del prodotto
• N. Elemento neutro per il prodotto
• O. Dell'elemento neutro per il prodotto
• A. Opposto/inverso del prodotto
• D. Distributiva

D₂ Spazio vettoriale (V)

Uno spazio vettoriale V su un campo K è un insieme non vuoto dotato di 2 operazioni (somma " + " e prodotto di un vettore per uno scalare " . ") che soddisfano le seguenti proprietà:

• A. Associativa della somma
• C. Commutativa della somma
• E₁ dell'elemento neutro (0) vettore nullo per la somma
• I₁ dell'elemento opposto di un vettore per uno scalare
• Distributiva rispetto alla somma di