Riassunto esame Aerodinamica, Prof. Stella Fulvio, libro consigliato Aerodinamica, Graziani

Paragrafi 52 . 3.4

Domanda 1: Linee di corrente, traiettoria e funzione di corrente

Domanda 1: Definire dal punto di vista matematico le linee di corrente e la traiettoria, chiarendo il significato con alcuni esempi. Spiegare quali informazioni si possono dedurre dalla conoscenza delle funzioni di corrente ed il legame di questa con il potenziale della velocità.

La traiettoria di una particella è la linea descritta nello spazio da una particella materiale in un dato intervallo temporale. Per visualizzare la traiettoria si può, ad esempio, immettere in un campo fluidodinamico una particella riflettente e scattare una fotografia con un tempo di esposizione lungo.

Dal punto di vista analitico la traiettoria di una particella che si trova nel punto al tempo ⃗ = ( , , ) può essere ottenuta dal campo di velocità risolvendo le equazioni differenziali: ⃗ (⃗, ) = = 1, 2, 3 con la condizione per . = =

Una linea di corrente al tempo è quella linea alla quale è tangente il vettore velocità in ciascun punto del campo in quell’istante. Nel caso di moto stazionario non si ha alcuna variazione nel tempo delle grandezze, compresa la direzione del vettore velocità, e quindi le linee di corrente sono delle linee fisse nello spazio. In caso di moto non stazionario, l’andamento delle linee di corrente può variare nel tempo.

Per visualizzare le linee di corrente in un determinato istante, si può fotografare il campo fluidodinamico con un’esposizione molto breve dopo aver disseminato nel fluido una grande quantità di particelle riflettenti. Ciascuna particella produrrà sulla foto un tratto rettilineo che approssima la tangente alla linea di corrente in quel punto del campo e in quell’istante di tempo.

Dal punto di vista matematico l’andamento di una linea di corrente al tempo passante per il punto ⃗ = si ottiene risolvendo il sistema di equazioni: ( , , ) ( )= , , , = 1, 2, 3 con la condizione per = = 0.

L’equazione sopra scritta esprime le linee tangenti al campo di velocità, ad esempio, in un moto bidimensionale, la pendenza della linea di corrente deve essere uguale alla tangente all’angolo formato dal vettore velocità con l’asse delle : =

Per un fluido incomprimibile l’equazione di conservazione della massa + =0 può risultare identicamente soddisfatta definendo un’opportuna funzione, la funzione di corrente, la quale è collegata alle componenti cartesiane della velocità dalle: = ; =− ed alle componenti polari dalle: 1 = ; =−

Sostituendo le componenti cartesiane nell’equazione di conservazione della massa si nota che quest’ultima è identicamente soddisfatta.

Invece, sostituendo le componenti polari nell’equazione − = si ha − − = che nel caso di moto irrotazionale diventa: + =0

Per un moto irrotazionale sia il potenziale che la funzione di corrente devono soddisfare l’equazione di Laplace e quindi risultano collegate in qualche modo.

Le linee lungo cui è costante sono linee di corrente. Dunque, una volta nota la funzione di corrente il  campo fluidodinamico può essere visualizzato rappresentando le linee a = . = + = − +

La relazione è nulla lungo una linea a dunque: = , =

Più che il valore effettivo della lungo una certa linea di corrente è interessante la differenza della funzione tra due linee di corrente. Questa differenza è infatti collegata alla portata in volume del flusso che scorre tra due linee.

Dall’equazione di conservazione della massa si ha che: − + − = 0

Ovvero, sostituendo le componenti cartesiane: = + = = = −

Poiché la portata tra due linee di corrente è costante ed essendo si capisce che, quando due  = , linee di corrente si avvicinano l’area della sezione trasversale tra due linee di corrente diminuisce e quindi deve aumentare il modulo della velocità per mantenere la portata costante. Viceversa, avviene quando due linee di corrente si allontanano.

Si può dimostrare che le linee di corrente e le linee equipotenziali sono in ogni punto ortogonali tra loro.

La variazione del potenziale della velocità tra due punti vicini viene espressa da: = +

E quindi, tenendo conto delle componenti = ; = ho che = + = +

L’equazione è nulla se ci troviamo lungo una linea con e quindi: = , =−

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Domanda 2: Descrizione Euleriana e Lagrangiana

Domanda 2: Spiegare la differenza tra descrizione Euleriana e Lagrangiana chiarendo anche perché di solito è necessario utilizzarle entrambe. Scrivere l’espressione della derivata materiale commentando il significato dei vari termini. Ricavare il teorema di Reynolds.

Per lo studio del moto di un fluido è possibile seguire due approcci diversi.

Il primo, detto euleriano, utilizza il concetto di campo ed analizza il moto del fluido descrivendone tutte le proprietà in funzione delle coordinate spaziali e del tempo. Le informazioni sul moto sono espresse da ciò che avviene in certi punti dello spazio mentre il fluido scorre. Questo tipo di descrizione è detta anche spaziale e non può fornire informazioni dirette relativamente alle variazioni di una certa proprietà di una particella perché questa cambia posizione nel tempo.

Il secondo tipo di approccio, detto lagrangiano, utilizza delle particelle di fluido individuali seguendole nel loro moto e valutando come variano nel tempo le proprietà del fluido ad esse associate. In tale modo, quindi, le particelle vengono marcate per poter essere riconosciute durante il moto. Questo tipo di descrizione è detta anche referenziale.

In generale è possibile passare da un tipo di descrizione all’altra. Le due descrizioni referenziale, e  , spaziale, sono collegate dalla legge del moto.,

Di solito in fluidodinamica è più facile adottare una descrizione euleriana del moto, sia per l’analisi sperimentale che per quella matematica. In alcuni casi, però, la descrizione lagrangiana è più conveniente. Ad esempio, alcune soluzioni numeriche di problemi di fluidodinamica sono basate sullo studio del moto di singole particelle e delle loro interazioni mutue, oppure in alcuni esperimenti le particelle vengono contrassegnate e seguite nel moto.

Analogamente alcune misure oceanografiche vengono ottenute per mezzo di strumenti che seguono le correnti oppure, infine, il controllo del flusso sanguigno nelle arterie viene ottenuto attraverso dei traccianti che riflettono i raggi X.

In tutti questi casi viene adottata una descrizione lagrangiana. 

Per non confondere la derivata rispetto al tempo in un punto fisso dello spazio ,, con quella relativa ad una particella di fluido, si indica quest’ultima come = ,, e si definisce derivata materiale o derivata sostanziale.

La derivata materiale rappresenta la variazione nel tempo di una data proprietà di una certa particella come, cioè, se la seguissimo nel suo moto analogamente a quanto visto per la descrizione lagrangiana. Questa espressione può essere calcolata anziché direttamente seguendo la particella nel suo moto, mediante grandezze valutate in punti fissi dello spazio.

La notazione utilizzata spesso per la derivata materiale è:) )( ( ⃗ ⃗)(= + ( ∙ ∇; )

Quest’espressione contiene due tipi di termini: 

• La prima parte, la derivata rispetto al tempo, detta derivata locale, rappresenta l’effetto della stazionarietà del moto. Nel caso di moto stazionario il termine locale si annulla in qualsiasi punto del campo poiché non si ha una variazione nel tempo delle grandezze fluidodinamiche in ciascun punto fisso dello spazio. Può esservi invece una variazione di tali grandezze per una particella che si muove. Nel caso di moto non stazionario le grandezze fluidodinamiche possono variare in ciascun punto dello spazio.
• La seconda parte, quella rappresentata dalle derivate spaziali, è detta termine convettivo e rappresenta il fatto che una proprietà del campo fluidodinamico associata ad una particella di fluido può variare in seguito allo spostamento della particella da un punto del campo, dove quella proprietà ha un certo valore, ad un punto del campo dove il valore è diverso.

Questo contributo alla variazione nel tempo della proprietà associata alla particella si può avere sia se il moto è stazionario che, se non lo è. Esso dipende dal moto della particella (convezione) in zone del campo dove si ha un gradiente non nullo della proprietà considerata.

Il teorema del trasporto di Reynolds definisce la relazione tra la variazione nel tempo di una proprietà estensiva per il sistema e quella per il volume di controllo, cioè la relazione tra le due equazioni: = ; =

Una versione semplice del teorema del trasporto di Reynolds si può ottenere facilmente studiando il flusso monodimensionale attraverso un volume di controllo fisso.

Assumiamo come volume di controllo il volume fisso all’interno del condotto compreso fra le sezioni (1) e (2). Il sistema è costituito dal fluido che occupa il volume di controllo in un dato istante di tempo Al. tempo il sistema si è spostato verso + destra di una piccola quantità. Le particelle di fluido che si trovavano in corrispondenza della sezione (2) della superficie di controllo al tempo si trovano spostate verso destra della distanza Allo stesso = . modo il fluido che si trova inizialmente nella sezione (1) si è spostato della distanza = .

Supponiamo che il fluido attraversi in direzione normale le sezioni (1) e (2) e che le velocità siano costanti sulle sezioni. Il sistema al tempo è composto dal fluido della sezione al tempo mentre al tempo ( = ), il sistema è composto dal fluido che occupa le sezioni ( + − ) + .

Posso dunque scrivere: () = ()( ( ( + ) = + ) − + ) + ( + )

Allora ( ( ( + ) − + ) + + ) − ()= = ( () ( ( + ) − + ) + )= − +

• Il primo termine al secondo membro rappresenta la variazione del tempo della quantità di contenuta nel  volume di controllo.
• Il terzo termine del secondo membro indica la quantità della proprietà estensiva uscita nel tempo dal volume di controllo attraverso la superficie di controllo. ( ( )( ) + ) = =

Combinando le due relazioni si ottiene la relazione tra la variazione nel tempo di per il sistema e quella per il volume di controllo: = + −

Se la velocità del fluido non è diretta come la normale alle sezioni attraverso le quali il fluido entra o esce dal volume di controllo, allora il flusso di verrà espresso attraverso la componente normale della velocità.

Indicando con la normale uscente dalla superficie di controllo, posso riscrivere la relazione precedente come: ⃗ ⃗ ⃗= + ∙ ⃗ − ∙ ⃗

L’espressione generale del teorema di Reynolds per un volume di controllo fisso e non deformabile è quindi data da: ⃗= + ∙ ⃗

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Domanda 3: Equazioni di conservazione della massa

Domanda 3: Scrivere le equazioni di conservazione della massa e ricavare il significato della divergenza della velocità.

Poiché il sistema è costituito, per definizione, sempre dagli stessi elementi, il principio di conservazione della massa si esprime come: =0

Equazione di conservazione della massa in forma integrale

Il teorema del trasporto di Reynolds applicato ad un sistema e ad un volume di controllo fisso e non deformabile si scrive, se la proprietà estensiva è la massa, come: ⃗ = + ∙ ⃗

• Nel caso di moto stazionario tutte le proprietà del campo, compresa la densità rimangono costanti nel  tempo, quindi . = 0∫
• Il segno del prodotto scalare è positivo per flusso uscente dal volume di controllo e negativo per flusso  entrante in quanto la normale è stata assunta positiva se uscente dal volume di controllo.

Sommando tutti i contributi elementari su tutta la superficie di controllo si ottiene la portata totale in massa attraverso suddetta superficie: ⃗ ∙ ⃗ = ̇ − ̇

• Se l’integrale è positivo, allora il flusso totale è uscente dal volume di controllo; viceversa è entrante. 

L’espressione, in termini di volume di controllo, del principio di conservazione di massa, detta anche equazione di continuità, per un volume fisso non deformabile è: ⃗ + ∙ ⃗ = 0

• L’equazione afferma che la somma della variazione nel tempo della massa di fluido contenuto nel  volume di controllo più il flusso totale di massa uscente attraverso la superficie di controllo è nulla. Se il flusso totale di massa uscente attraverso la superficie di controllo è nullo, allora la massa del fluido nel volume di controllo non varia nel tempo.
• Viceversa, se il moto è stazionario, la variazione nel tempo della massa contenuta nel volume di  controllo è nulla. Quindi la portata di massa uscente uguaglia quella entrante.

Per un moto stazionario con un’unica corrente di fluido che attraversa il volume di controllo la portata in massa è costante: ̇ = =

Per un fluido incomprimibile la portata in volume è costante:  = =

Equazione di conservazione della massa in forma differenziale

Per ottenere la forma differenziale applico il teorema di Green al secondo termine dell’equazione: ⃗ + ∙ ⃗ = 0

• Avendo scelto un volume di controllo che non varia nel tempo la derivata temporale può essere portata  all’interno dell’integrale. ⃗ ⃗ + ∇ ∙ = 0

Portando entrambi i membri sotto un unico integrale e data l’arbitrarietà della scelta del volume di controllo, per soddisfarsi l’equazione deve essere annullato l’integrando: ⃗ ⃗+ ∇ ∙ = 0

In modo esteso si scrive: () () ()+ + + =0

Sviluppando la divergenza del prodotto e tenendo conto della definizione di derivata materiale: ⃗ ⃗+ ∇ ∙ = 0

Che può essere riscritta come: 11 1 ⃗ ⃗∇ ∙ = − = − =

• Da questa equazione viene confermato il significato dell’operatore di divergenza della velocità, ovvero  la variazione percentuale di volume nell’unità di tempo per una generica particella di fluido.
• Se il fluido è incomprimibile  ⃗ ⃗∇ ∙ = 0 e vale sia per moto stazionario che non stazionario ed esprime il fatto che la velocità di dilatazione volumetrica è nulla per un fluido incomprimibile.

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Domanda 4: Equazioni di Bernoulli

Domanda 4: Ricavare le equazioni di Bernoulli specificando le ipotesi di validità e descrivendo come si applica. Illustrare cosa cambia nel moto irrotazionale e nel caso di moto rotazionale.

Il moto di un fluido ideale incomprimibile viene descritto dal sistema di equazioni composto dall’equazione di conservazione della massa e dall’equazione di Eulero. Integrando quest’ultima è possibile ottenere l’equazione di Bernoulli.

Consideriamo, per semplicità, il moto stazionario per cui l’equazione di Eulero è: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∙ ∇ = ⃗ − &na