Quantità di moto, centro di massa, urti, teorema dell'impulso

QUANTITA DI MOTO E CONSERVAZIONE --> Passaggio da un punto materiale ad un insieme di punti materiali

Consideriamo un insieme di corpi di massa m_i e velocita vettoriali v_i. Si definisce QUANTITA DI MOTO di un corpo il prodotto tra la sua massa e la sua velocita:

1) p→_i = m_iv→_i -> per una particella (un corpo)

2) p→ = ∑_i m_iv→_i -> per un insieme di particelle (insieme di corpi)

cioe

d p→ / dt = d / dt ∑_i m_iv→_i = ∑_i m_ia→_i = ∑_k F→_k => la derivata della quantita di moto e uguale alla risultante delle forze che agiscono sul corpo

dalla definizione analizziamo la sua derivata: p→ = mv→ =>

d p→ / dt = d / dt (m v→) = m a→ = F→

per un insieme

d p→ / dt = m₁a→₁ + m₂a→₂ + m₃a→₃ + ...

Naturalmente fra queste ci saranno sia le forze interne, che i corpi esercitano reciprocamente, sia le forze esterne al sistema. Per il principio di azione-reazione, le forze interne sono coppie di forze uguali ed opposte, quindi nella somma precedente gli unici contributi saranno dovuti alla forze esterne, avro quindi che:

d p→ / dt = F→_e

CONSEGUENZE

1. in un sistema isolato (senza forze esterne) la quantita di moto totale si conserva.
2. la derivata della quantita di moto e uguale alla risultante delle forze esterne.

CENTRO DI MASSA

Consideriamo nuovamente un insieme di corpi di massa m_i e individuati nella posizione r→_i, si definisce posizione del centro di massa la quantita:

r→_CM = ∑_i m_ir→_i / ∑_i m_i = ∑_i m_ir→_i / M

Da questa definizione posso definire la velocita del centro di massa come la derivata di r→_CM.

v→_CM = d r→_CM / dt = 1 / M d / dt (∑_i m_ir→_i) = 1 / M ∑_i m_i d r→_i / dt = 1 / M ∑_i m_iv→_i = p→ / M

p→ = M v→_CM

Si puo dire quindi che la quantita di moto totale e uguale alla massa totale moltiplicata alla velocita del centro di massa.

Per ricavare l'accelerazione del centro di massa devo derivare la relazione:

d p→ / dt = d / dt (M v→_CM) = M d v→_CM / dt = M d / dt ((1 / M) ∑_i m_iv→_i) = d / dt (∑_i m_iv→_i) = ∑_i m_i d v→_i / dt = ∑_i m_ia→_i = ∑_i F→_i = F→_e

H a→_CM = F→_e

Do queste relazioni capisco che il centro di massa e quel punto che tiene conto di tutte le masse del sistema, si puo prendere una considerazione nello studio

facilitando l'analisi non dovendo tenere conto di tutte le masse singolarmente.

ESEMPI

m₁ = 10kg ; m₂ = 5kg ; m₃ = 4kg

r₁ = (0,0) ; r₂ = (3i + j) ; r₃ = (2i + 3j)

r_CH = (m₁r₁ + m₂r₂ + m₃r₃) / (m₁ + m₂ + m₃) = (15i + 5j + 8i + 12j) / 19 = 23/19 i + 17/19 j = (23/19 ; 17/19)

m_b = 80kg

m_c = 30kg

L_c = 3m

Delta l = 40cm = 0,4m

m_g = ?

m_g 3 + m_c x₀ = 80(3 - Delta l) + m_c(x₀ - Delta l) - m_gDelta l

=> m_g(3 + 0,4) = 80(3 - 0,4) - m_c 0,4

=> m_g = 8(2,6) - 30(0,4) = 208 - 12 / 3,4 = 57,64kg

Due masse, m₁ = 1kg e m₂ = 2kg, sono appoggiate ai lati di una molla compressa la cui energia immagazzinata (1/2 kx²) e' 75J

La molla viene liberata, quali sono le velocita' finali delle due masse?

In questo sistema si conserva sia la quantita' di moto che l'energia perche' non ci sono forze esterne, avro' quindi una situazione di questo tipo:

(1/2 m₁v₁² + 1/2 m₂v₂² = E_i => energia immagazzinata dalla molla

m₁v₁ + m₂v₂ = 0 => quantita' di moto che si conserva

dalla seconda equazione ricavo che v₁ = -m₂v₂ / m₁ = -2v₂, posso quindi sostituire v₁ nella prima equazione ottenendo

1/2 m₁(-2v₂)² + 1/2 m₂v₂² = E_i => 1/2 m₁4v₂² + 1/2 m₂v₂² = E_i

Sostituendo i dati che ho ottengo 2v₂² + v₂² = 75 => 3v₂² = 75 => v₂² = 25 => |v₂| = 5m/s e v₁ = -2v₂ = 10m/s

v₂ = -5m/s

CENTRO DI MASSA IN CORPI CONTINUI

Un corpo continuo e un corpo che ha la massa distribuita in maniera continua senza interruzioni, a differenza di sistemi di corpi che hanno massa distribuita in punti separati da spazi vuoti, per descriverlo si utilizza la sommatoria, per il corpo continuo, dato che i punti in cui si concentra la massa tendono all'infinito ho bisogno dell'integrale, infatti la formula cambia:

• sistema di corpi -> r_cm = 1/M Σ r_i m_i
• corpo continuo -> r_cm = 1/M ∫ r dm -> molto spesso e difficile da calcolare, un corpo in cui e trattabile e il caso dei corpi uniformi, cioe costituiti tutti dalla stessa sostanza

Per questo motivo definiamo la densita del corpo, che non varia perche il corpo e uniforme, come il rapporto tra la sua massa e il suo volume:

-> ρ = M/V -> da qui posso definire l'elemento infinitesimo da M = ρV -> dm = ρ dV

L'integrale quindi diventa:

r_cm = 1/M ∫ r dm = 1/M ∫ r ρ dV = 1/M ∫ r dV = 1/V ∫ r dV

Se il sistema e simmetrico, dall'integrale si puo capire che il centro di massa si trova proprio nel centro di simmetria, vediamo un esempio:

Supponiamo di avere una sbarra di lunghezza l = 1 m, composta per 50 cm di piombo e 50 cm di alluminio. La densita del piombo e 11340 kg/m³, quella dell'alluminio invece e 2700 kg/m³, se l'origine degli assi e nel centro geometrico, dove si trova il centro di massa?

Suppongo lo spessore della sbarra di 5 cm.

Avro che M_Pb = ρ_Pb h 5 l/2 e M_Al = ρ_Al h 5 l/2

Il centro di massa della sbarra e definito come:

X_cm = (M_Pb X_Pb + M_Al X_Al) / (M_Pb + M_Al) = (ρ_Pb h 5 l/2) l/4 - (ρ_Al h 5 l/2) l/4 / (ρ_Pb h 5 l/2 + ρ_Al h 5 l/2) = l/4 (ρ_Pb - ρ_Al) / (ρ_Pb + ρ_Al)

=> X_cm = 0,25 (11340 - 2700) / (11340 + 2700) = 0,1538 m ≈ 15 cm

GLI URTI

Def: interazione brevissima tra due o piu corpi durante la quale la quantita di moto dei singoli corpi cambia ed essi continueranno a muoversi con la nuova quantita di moto.

Si dividono in:

• URTI ELASTICI -> si conserva la quantita di moto e l'energia cinetica
• URTI ANELASTICI -> non si conserva l'energia cinetica, c'e dispersione di energia tramite: deformazioni permanenti, formazione di calore (NO ATTRITO), produzione di suoni.

Amelastici o parzialmente anelastici: corpi che si mettono e si fondono in un unico corpo (plasticita in un bersaglio), in questo caso la velocita finale tra i due corpi deve essere la stessa per entrambi i corpi.

Le forze che agiscono durante un urto:

• forze impulsive -> capaci di cambiare il moto dei corpi
• forze non impulsive -> agiscono ma sono trascurabili

La responsabilita della dissipazione di energia sono le forze impulsive.

Per comprendere meglio questo concetto e per capire perché il sistema si dice isolato facendo un esame due palline che si scontrano, su di esse agisce sinceramente laforza peso:

p’ = Σ_i m_i v⃗_i => d(p⃗)/dt = Σ_i m_i a⃗_i = F⃗_R => Δp⃗ = ∫_ti^t_f F⃗_R dt

ma il tempo in cui l’urto avviene è Δt ≈ 0 quindianche Δp⃗ ≈ 0

per questo motivo la forza esterna possono essere trascurati (peso, attrito), ovviamente però essendo una variazione della quantità di moto deve necessariamente esserci anche una forza, le forze che agiscono durante un urto che cambiano la quantità di moto dei corpi come detto sopra sono le forze impulsive, forze di modulo molto maggiori rispetto alle altre nonostante Δt ≈ 0

ESEMPIO DI URTO ELASTICO:

{

½ m₁ v_1i² + ½ m₂ v_2i² = ½ m₁ v_1f² + ½ m₂ v_2f² → conservazione E_c

m₁ v_1i + m₂ v_2i = m₁ v_1f + m₂ v_2f → conservazione p⃗

}

{

m₁(v_1i - v_1f) = m₂(v_2f - v_2i)

m₁(v_1i² - v_1f²) = m₂(v_2f² - v_2i²)

}

{

m₁(v_1i - v_1f) = m₂(v_2f - v_2i)

m₁(v_1i + v_1f)(v_1f - v_1i) = m₂(v_2i + v_2f)(v_2f - v_2i)

DIVIDO MEMBRO A MEMBRO

m₁(v_1i + v_1f)(v_1f - v_1i) = m₂(v_2i + v_2f)(v_2f - v_2i)

}

V_1i + V_1f = V_2i + V_2f

(V_1i - V_2i) = -(V_1f - V_2f)

LA VELOCITA CON CUI I DUE CORPI SI AVVICINANO E’ UGUALE ALLA VELOCITA CON CUI SI ALLONTANANO

{

m₁(v_1i - v_1f) = m₂(v_2f - v_2i)

m₁(v_1i - v_1f) = m₂(v_1i + v_1f - 2v_2i)

m₁v_1i - m₁v_1f = m₂v_1i + m₂v_1f - 2m₂v_2i

v_1f = [v_1i(m₁ - m₂) + 2m₂v_2i]/(m₁ + m₂)

v_2f = [v_2i(m₂ - m₁) + 2m₁v_1i]/(m₁ + m₂)

}

ANALIZZO DUE CASI PARTICOLARI

• m₁ = m₂ → in uno è uguale → {v_1f = v_2iv_2f = v_1i}le velocità assolute si scambianoPENDOLO DI NEWTON
• m₁ >> m₂{v_1f ≈ v_1iv_2f = -v_2i + 2v_1i}transurabilela velocità di m₁ rimane invariata mentre quella di m₂ si inverte

ESEMPIO DI URTO ANELASTICO: PENDOLO BALISTICO

v_bi = 0 → il pendolo parte da fermo

m_p, v⃗_p → massa e velocità del proiettilem_b, v⃗_b → massa e velocità del bersaglio (pendolo)v⃗_f → velocità finale del corpo proiettile + bersaglio

Siccome la quantità di moto si conserva => Δp⃗ = 0 => m_pv⃗_pi + m_bv⃗_bi = (m_p + m_b)v⃗_f =>

Come detto prima l’energia meccanica durante l’urtoNON si conserva => ΔE_m ≠ 0 , ma dopo che i due corpidopo l’urto si muovono insieme => DOPO L’URTO L’ENERGIAMECCANICA SI CONSERVA

m_pv⃗_pi = (m_p + m_b)v⃗_f => v⃗_f = m_pv⃗_pi/(m_p + m_b)

Pongo t0 = 0 l'istante in cui i due corpi si urtano, ho

ΔE_m = 0 (dopo l'urto) e poi:

E_ci = 1/2 (m_p + m_b)V_f²

E_cf = 0 => il blocco si forma

scelgo v(0) = 0 => V_i = 0

V_f² = m_totgh = (m_p + m_b)gh

=> 1/2 (m_p + m_b)V_f² = (m_p + m_b)gh => Sostituisco V_f = m_pV_p/(m_p + m_b)

=> 1/2 (m_p + m_b)((m_pV_p)/(m_p + m_b))² = (m_p + m_b)gh =>

=> ((m_pV_p)²)/(m_p + m_b) = 2gh => V_p² = 2gh(m_p + m_b)²/(m_p)² => V_p = (m_p + m_b)/m_p sqrt(2gh)

Suppongo ora m₁ = 5g e m₂ = 2Kg

Quanta parte di energia cinetica non si conserva? Dove finisce?

E_ci = 1/2 m_pV_p²

E_cf = 1/2 (m_p + m_b)V_f² = 1/2 (m_p + m_b)((m_pV_p)/(m_p + m_b))² = 1/2 (m_pV_p)²/(m_p + m_b)

=> E_cf/E_ci = ((m_pV_p)²/(m_p + m_b))/(1/2 m_pV_p²) = m_p/(m_p + m_b) = 2,5 * 10^-3 Kg

=> Quindi solo lo 0,25% viene mantenuto come ENERGIA CINETICA, tutto il resto se ne va in CALORE.

IL TEOREMA DELL'IMPULSO

I = F_media · Δt = Δp

per far variare la velocità di un corpo esistono due possibilità:

• agire con una forza "piccola" per tanto tempo;
• agire con una forza impulsiva enorme per un tempo minimizzato.

Le forze impulsive sono considerate FORZE INTERNE, al contrario di quelle non impulsive che invece sono dette FORZE ESTERNE, infatti nel sistema vanno ad annullarsi come Δp, questo perché il sistema che consideriamo per gli urti è un sistema di 2 o più corpi, se consideriamo invece il caso in cui siamo noi a colpire le palle con una racchetta:

per il sistema della sola pallina:

siamo stati noi a colpirle => F_E != 0 <=> il sistema non è isolato <=> Δp != 0 => F_E = F_um + F_p + F_g...

=> non ci sono forze impulsive => non stiamo trattando un urto.

Per il sistema di pallina + racchetta:

Stiamo effettivamente considerando un urto, infatti, dopo l'impatto tra i due corpi anche la racchetta continuerà a muoversi, avremo quindi che la FORZA che noi imprimiamo nella RACCHETTA = FORZA con cui la RACCHETTA la PALLINA immetteremo = FORZA IMPULSIVA = FORZA INTERNA.

Per il Terzo PRINCIPIO DELLA DINAMICA => F_2,1 = - F_1,2, e per il motivo scritto sopra F_E = 0 => SISTEMA ISOLATO =>

=> d p^?/dt = F_tot = F_E + F_1,in + F_2,in = 0 + F_1,2 - F_2,1 = 0 => QUANTITA' DI MOTO si conserva.

Fino ad ora abbiamo considerato gli urti unicamente in UNA DIMENSIONE, valutando l'urto come se