Proprietà strutturali dei sistemi

Capitolo 8: Proprietà Strutturali dei Sistemi

Documento di Studio per l'Esame

1. Definizioni Importanti

1.1 Raggiungibilità (sistemi a tempo discreto)

Stato raggiungibile: Uno stato è raggiungibile in passi dallo stato zero se esiste una sequenza di

n

x

ˉ ∈ R k

ingressi tale che, partendo da , si ottiene .

u(0), u(1), … , u(k − 1) x(0) = 0 x(k) = x

ˉ

Sottospazio di raggiungibilità in passi:

k

k 2 k−1

=

X Im(R ), R = [B AB A B ⋯ A B ]

k k

R ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Si ha la catena crescente: .

1 2 n

X ⊆ X ⊆ ⋯ ⊆ X = X R

R R R

​ ​ ​ ​

Matrice di raggiungibilità: 2 n−1 n×mn

R = R = [B AB A B ⋯ A B ] ∈ R

n ​ ​ ​ ​ ​ ​

Sottospazio di raggiungibilità: , cioè l'insieme di tutti gli stati raggiungibili

X = Im(R)

R ​

indipendentemente dal numero di passi.

Indice di raggiungibilità: .

r = dim(X ) = rank(R)

R ​

Sistema completamente raggiungibile: Un sistema è completamente raggiungibile se e solo se Im(R) =

, cioè .

n

R rank(R) = n

Stabilizzabilità: Un sistema è stabilizzabile se può essere reso asintoticamente stabile mediante

retroazione dello stato. Un sistema LTI è stabilizzabile se e solo se gli autovalori della parte non

raggiungibile generano modi convergenti (per sistemi a tempo discreto: tutti interni al cerchio unitario;

per sistemi a tempo continuo: tutti a parte reale negativa).

1.2 Osservabilità (sistemi a tempo discreto)

Stato non osservabile: Uno stato è non osservabile (o indistinguibile dallo zero) in passi se,

n

x

ˉ ∈ R k

partendo da con ingresso nullo, la risposta libera nell'uscita soddisfa

x(0) = x

ˉ y(0) = y(1) = ⋯ = y(k −

.

1) = 0

Matrice di osservabilità: C

CA

2

CA pn×n

O = O = R

∈

n ​ ​ ​ ​

⋮

n−1

CA

Sottospazio non osservabile: . Si ha la catena decrescente: .

1 2 n

X = ker(O) X ⊇ X ⊇ ⋯ ⊇ X = X

no no

no no no

​ ​ ​ ​

Indice di osservabilità: .

o = rank(O)

Sistema completamente osservabile: Un sistema è completamente osservabile se e solo se ,

rank(O) = n

cioè .

ker(O) = {0}

Rivelabilità: Un sistema è rivelabile se la parte non osservabile è asintoticamente stabile (autovalori di A

o ​

convergenti). Equivalentemente: esiste un osservatore asintotico ad anello chiuso. Un sistema

completamente osservabile è automaticamente rivelabile.

1.3 Osservatore asintotico

Errore di stima: , dove è la stima dello stato. L'obiettivo è

~

x (k) = x(k) − x

^ (k) x

^ (k) lim ∥x(k) −

k→+∞ ​

.

x

^ (k)∥ = 0

Sistema algebricamente equivalente: Due sistemi e sono

(A , B , C , D ) (A , B , C , D )

1 1 1 1 2 2 2 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

algebricamente equivalenti se esiste con tale che:

n×n

T ∈ R det(T ) =

 0

−1 −1

, = , =

A = T A T B T B C C T , D = D

2 1 2 1 2 1 2 1

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Sistemi algebricamente equivalenti hanno la stessa funzione di trasferimento.

2. Formule da Memorizzare

2.1 Risposta totale e problema del controllo

Risposta totale (sistema LTI a TD): k−1

k k−1−i

x(k) = A ∑ A B

x(0) + u(i)

​

i=0

Per portare lo stato da a in passi:

x x T

in f in

​ ​ T

R ⋅ U = x − A x

T T f in in

​ ​ ​ ​

u(T − 1)

u(T − 2)

dove e .

T −1

U = R = [B AB ⋯ A B ]

T T

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

⋮

u(0)

Sequenza a minima energia: −1

∗ ⊤ ⊤ T

U = R ( R R ) ( x − A x )

T f in in

T T

​ ​ ​ ​ ​

Energia del segnale di controllo: .

T −1 2 ⊤

∥u(i)∥ =

∑ U U T

T

​ ​ ​

i=0

2.2 Retroazione dello stato

Legge di controllo in retroazione dello stato: m×n

u(k) = F x(k) + r(k), F ∈ R

Il sistema retroazionato diventa: x(k + 1) = (A + BF ) x(k) + B r(k)

Gli autovalori di sono i modi del sistema retroazionato.

A + BF

2.3 Osservatore asintotico ad anello chiuso

Equazione dell'osservatore: n×p

x

^ (k + 1) = A

x

^ (k) + B u(k) + L (y(k) − C x

^ (k)), L ∈ R

Dinamica dell'errore: ~ ~

x (k + 1) = (A − LC ) x (k)

L'osservatore è asintotico se e solo se è asintoticamente stabile.

A − LC

2.4 Compensatore dinamico (sistema complessivo)

Stato esteso :

x(k)

ξ(k) = [ ]

~ ​

x (k) A + BF −BF B

ξ(k + 1) = [ ] ξ(k) [ ] r(k)

+

​ ​ ​ ​

0 A − LC 0

ˉ

A

y(k) = [C 0] ξ(k)

​ ​

2.5 Funzioni di trasferimento ridotte

Decomposizione di raggiungibilità — funzione di trasferimento: n(z)

−1

G(z) = C ( zI − A B D =

) +

r r r

​ ​ ​ ​

det(zI − A )

r ​

I poli di sono solo gli autovalori della parte raggiungibile.

G(z)

Decomposizione di osservabilità — funzione di trasferimento: n(z)

−1

G(z) = C ( zI − A B D =

) +

o o o

​ ​ ​ ​

det(zI − A )

o ​

I poli di sono solo gli autovalori della parte osservabile.

G(z