Parte 1 sui vettori

Proposizione (linearmente dipendenti)

Combinazione lineare almeno anUkdei av ++...·uno ,Doppia implicazione Vettori LD1 VUK Un 0V anUkE +...· ar + =Ok . ,, .., ., .- . .,,..., tutticombinazione ononconè anaLD 2 , ...,# rimanentilineare dei

Dimostrazione 1

1)Supponiamo diad , 0esempio, aavere,=v ac -a -= --., V... = - ...ala al,Ho dimostrato linearecombinazioneche diè Ecvi UK...,, -

Dimostrazione 2

2)Supponiamo ba buzt bkkchead v +siaesempio +=, , ...b22 biv 0> + +...+ == > tuttihaLa coefficienticombinazione lineare nulli perchévettoridei Un iVi non, ...,quello di è pari -1v, a .

Definizione di indipendenza lineare

I vettori linearmente indipendenti dicono Se sonononV UK Si, ..., cl cheimplicadipendentilinearmente anUn 0.0 a, ak=... =va =ana =ovvero presa ,, .,. .

Proposizione

↑eV/Un vettore1 è coloLD 0v vsese e =EV/Due vettori LD paralleli-2 U soloM sono se se sonoe,Tre LDV complanari-3 vettori solocono sonoV e se sec eM ,,

Dimostrazione 1

1)Sia def(D~ per o V 0av + 0cona == =LD~ 10 V0 0 01 t #- ==

Dimostrazione 2

2) b)defLD be (a ,(0M V +am o con 0)per + =, , ,. stessamultiplo parallelidell'altro direzione quindiuno -- e>--be paralleliquindid0 Msupponiamo Me V sono= ,, (quindiViceversa paralleli dell'altro) alloral'uno multiplopuòe nonom, scriveresise come 1yM 30=possibile)(una delle due èBMv sempreM xV oppure == U 0V M= .1/3vV = MC HOMV· 0 xvV =LD u =PM v[1 avM sonoo = ↳=- ,0+

Dimostrazione 3

3) bwwLD ,A D' verticiCB= diMir M =av + i= sono un, , ,parallelogramma complanariquindi