Orale/Scritto Analisi 1

IR: è un insieme che verifica i seguenti assiomi

Assiomi per l'operazione di + e °

• Proprietà associativa -> (a+b)+c = (a+c)+b
• Proprietà commutativa -> a+b = c+a=c+b
• Proprietà distributiva -> a(ab) = (ab)=a-b
• Esistenza elemento neutro -> a+0=a
• Esistenza dell’opposto/Reper Reciproco -> a=a-0=0

Assiomi dell'ordinamento

Assioma della completezza

2 sottoinsiemi di R (non vuoti) tale che tutti gli elementi del '1' precedono tutti gli elementi del secondo ∃ elemento C elemento C separatore

Limitato/Illimitato

Dato insieme A⊂R, A non vuoto (A≠0)

• Limitato inferiormente: ∃h∈R :∀h ∈A a≥h ∀a∈A h≤h+0 a=IN
• Limitato superiormente: ∃MeR: a≤M ∀h∈A
• Illimitato superiormente: MeR: a≤M
• Illimitato inferiormente: ∀h∈R a≥h : a≥-{Mi, Mi∈N}

Estremi

• Superiore -> + piccolo fra M (maggioranti)
• Inverso ↓: ∃−ε ∈a (numeri 12.0)
• Inferiore -> + grande fra mi (minoranti)
• Inverso ↑+ε ≥a

IR: è un insieme che verifica i seguenti assiomi

Assiomi per l'operazione di + e °

• Proprietà associativa → (a+b)+c = (a+c)+b
• Proprietà commutativa → a+b+c = a+c+b
• Proprietà distributiva → a°(2b) = 2a°b 2a°b
• Esistenza elemento neutro → a+0=a a°1=a
• Esistenza dell'opposto/Reale Reciproco → a⋅a^-1=1

Assiomi dell'ordinamento

Assioma della completezza

2 sottoinsiemi A, B (non vuoti) tale che tutti gli elementi del 1° precedano tutti gli elementi del secondo ∃ elemento C separatore

Limitato/Illimitato

• Limitato inferiormente → ∃ m ∈ R: a ≥ h ∀ a ∈ A
• Limitato superiormente → ∃ M ∈ R: a ≤ M ∀ a ∈ A
• Illimitato superiormente → ∀ M ∈ R: ∃ a ∈ A: a ≥ M

Estremi

• Superiore: è il più piccolo fra h (maggiori)
• Inferiore: è il più grande fra h (minori)

Funzione

Funzione: è una corrispondenza che associa ogni elemento dell'insieme A (insieme di partenza) ad un solo elemento di B (insieme di arrivo)

Dominio: è il sottoinsieme di A (insieme di partenza) in cui ha senso applicare la funzione

Codominio: è il sottoinsieme di B (insieme di arrivo) composto dalle immagini del dominio

Successioni

Successioni: sono funzioni il cui A = ℕ e B = ℝ

Successioni regolari

• Convergenti -> l = k
• Divergenti -> l = ∞

Esempio

a_m = (-1)^m

a = (-1)ⁿ . m

Teorema regolarità successioni monotone

Ipotesi

(a_m)_m Monotona

Tesi

(a_m)_m Regolare

Dimostrazione

• Prendo (a_m)_m Monotona Crescente, e prendo a 2 estremi
• Se l_a(a_m)_m ∀m∈N∀ε>0 (a_m) ≯ λ-ε

Dimostrato ⇒ Entrambe sono regolari

Teorema unicità limite

• a_m → l l'è unico
• Assumo {a_m→l₁}
• Assumo {a_m→l₂}

Teorema permanenza segno

Se: a_m → a a ≠ 0⇒ a un certo punto a_m mostra lo stesso segno di a

a_m⋅ a > 0

Dimostrazione

Se a ≠ 0 creiamo un I₀ di segno sempre costante (0 ∉ I₀)

2) Quindi se a_n → a ∃ m : a_m ≥ m > 0 con m : a > 0 a_m ∈ I_a

Se a_m ∈ I_a allora ha lo stesso segno di a

Dimostrato

Teorema confronto dei limiti

Se: a_m ≤ b_m ∀m ∈ IN Uso: a ≤ b

a_m → a b_m → b

Dimostrazione

Assumo b < a

• Definizione di Limite (Convergente)
• A) ∃ M ∈ IN: m ≥ M => a_m ≥ a - ε ; a_m ∈ I_a
• B) ∃ M ∈ IN: m ≥ M => b_m ≥ b_m ; b_m∈ I_L

(Ci dice che: a' _m≤ b' _M se a > b)

Conseguenze

Se a_m > 0 (b^m = 0) => a > 0

Valore assoluto Se a_m → a ⇒ a_m| → |a|

Esempio a_m = (-1)^M No Limite

Teorema dei carabi