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Prerequisiti 1

Teoria dei vettori liberi applicati

Definizione di vettore e versore

Il vettore è l'ente costituito da una direzione, un'intensità (modulo) ed un verso ed è rappresentabile mediante uno dei segmenti orientati aventi la stessa direzione, verso ed intensità. Dato un vettore a, ci si riferisce al generico segmento orientato che ne è rappresentazione parlando dell'applicazione A. La retta R è la sua direzione mentre il termine verso è il termine in cui si muove il vettore.

Un versore è un vettore di lunghezza unitaria, il cui scopo è quello di individuare una specifica direzione.

Un versore è dunque un vettore avente stessa direzione e verso del vettore corrispondente, ma modulo uguale a 1.

La somma di vettori

1. Regola del parallelogramma

La risultante di due vettori U e V è il vettore R individuato dalla diagonale orientata del parallelogramma, che ha per lati i due vettori U e V.

2. Somma dei vettori per componenti

Supponiamo che dei due vettori U e V siano note le componenti cartesiane U = (u₁, u₂, u₃), V = (v₁, v₂, v₃).

3. Proprietà della somma di vettori

U + V = V + U - Proprietà commutativa

(U + V) + W = U + (V + W) - Proprietà associativa

U + 0 = U - Proprietà del vettore nullo

U + (-U) = 0 - Proprietà del vettore opposto

Prerequisiti 1

Teoria dei vettori liberi applicati

Definizione di vettore

Il vettore è l'ente costituito da una direzione, un'intensità (modulo) ed un verso ed è rappresentabile mediante uno degli infiniti segmenti congruenti a (con) \(\overline{AB}\), seguenti ordinati aventi direzione, uguale intensità e verso assegnati, quando esso può essere disegnato ogni segmento corrispondente al vettore assegnato, il verso del vettore è quello che va dalla prima alla ultima lettera, questo può essere rappresentato con (PD) (PA) con (indicato con la freccia).

Un versore è un vettore di lunghezza unitaria, il cui scopo è quello di individuare una specifica direzione.

Dato un vettore \(\vec{v}\) possiamo sempre pensare di associare un versore vers(\(\vec{v}\))= \(\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)

Somma di vettori

2. Somma di vettori

Regola del parallelogramma

1. Regola del parallelogramma

La risultante di due vettori \(\overrightarrow{v}\) e \(\overrightarrow{u}\) è il vettore \(\overrightarrow{n}\) individuato dalla diagonale orientata \(O\) del parallelogramma che ha per lati i due vettori \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\). L'operazione consiste nel trasportare i due vettori \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) parallelamente fino a far combaciare l'origine di uno con l'origine dell'altro.

Somma dei vettori date componenti

2. Somma dei vettori date componenti

Supponiamo che dei due vettori \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) siano note le componenti cartesiane: \(\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)\) e \(\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)\).

Allora il vettore somma \(\overrightarrow{u + v}\) si ottiene dalle componenti di \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\), cioè: \(\overrightarrow{u + v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)\)

Proprietà della somma di vettori

3. Proprietà della somma di vettori

\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v + u}\) proprietà commutativa

\((\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})\) proprietà associativa

\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}\) proprietà del vettore nullo

\(\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{u}) = 0\) proprietà del vettore opposto

Definizione di prodotto scalare, calcolo diretto e per componenti

Si definisce prodotto scalare fra due vettori u e v (u,v scalare) l’operazione che associa ai due vettori il numero reale |u| |v| cos (u,v) essendo quest’ultimo l’angolo fra le direzioni orientate di u e v.

u x v = |u| |v| cos (u,v)

Inoltre è uguale al prodotto di modulo di uno per un componente orientata dell’altro, secondo la direzione orientata del primo.

u x v = |u|u_v = |v|v_u

Data una retta orientata r e il suo versore e, vettore unitario parallelo e con verso concorde a r, sia u per un generico vettore v.

u x e = |u| |e| cos (u,e) = u_r

Il calcolo per componenti è il seguente, due u₁(ux, uy, uz) e N = (V_x, V_y, V_z)

u x v = ux x V_x x uy