Modulazioni multiportante (OFDM)

Modulazione multiportante OFDM

Introduzione alla tecnica OFDM

Per combattere gli effetti della evanescenza selettiva (fading selettivo), cioè della selettività del canale, si usano le tecniche multiportante, cioè tecniche che prevedono la trasmissione dell’informazione non più andando a modulare una portante, come per la QAM.

Ad esempio nella QAM: si prendeva la portante e le si attribuiva una molteplicità di valori, di combinazioni di ampiezza della portante in fase e inquadratura, associando così l’informazione a queste informazioni. Per la 16QAM 16 combinazioni, 4 in fase e 4 in quadratura, 64QAM 8 in fase e 8 in quadratura ecc., ma si applicava alla singola portante.

Principio delle modulazioni multiportante

Nelle modulazioni multiportante parliamo di tecniche con l’obiettivo di suddividere l’informazione in una molteplicità di sottoflussi (N sottoflussi) informativi, ciascuno dei quali modula differenti portanti opportunamente allocate in frequenza (portanti che subiscono l’effetto piatto del canale) e poi sommate tra loro. La scelta che si fa è quella di far sì che la Banda occupata da ciascuna sottoportante sia minore della Banda di coerenza del canale.

Quando si riduce la banda occupata di ogni sottoportante sotto la banda di coerenza, significa che su ogni sottoportante non ci sarà più ISI ma solo attenuazione piatta. L’obiettivo di questa modulazione è inizialmente quello di evitare l’ISI trasmettendo su tante porzioni di spettro, in ognuna delle quali Bn < Bc.

Uniformità degli effetti del canale

Da tale formulazione iniziale si otterrà un risultato ancora più importante, legato alla dipendenza delle condizioni di propagazione dalla frequenza. Se si ha uno spettro del canale che sarà la trasformata della risposta impulsiva del canale, si osserva che se si prende una fetta dello spettro e suddividendolo in tanti sottocanali, l’effetto del canale sulle singole sottoportanti è piatto, perché si è scelta la larghezza della sottoportante tale da essere inferiore alla Bc di questo canale (effetto del canale variabile alle varie portanti).

Questa tecnica garantirà un’uniformità degli effetti del canale sull'informazione da trasmettere.

Implementazione e vantaggi dell'OFDM

L’implementazione OFDM parte dal desiderio di ridurre l’effetto del canale, da selettivo (presenza di ISI) a piatto sulle singole sottoportanti, ma nella realtà il vero effetto considerevole che otteniamo con l’OFDM è quello di randomizzare l’effetto di tutto il canale sulle singole sottoportanti, ottenendo una distribuzione degli errori introdotti sulle singole sottoportanti, cioè una distribuzione uniforme sullo stream dati tale da rientrare nella capacità correttiva dei codici.

Quindi la combinazione della modulazione multiportante, assieme alle tecniche di codifica di canale, daranno luogo a performance tali per cui l’OFDM è la tecnica di modulazione che oggi usiamo ovunque.

Necessità della modulazione multiportante

La necessità di introdurre una modulazione multiportante risiede nel fatto di dover risolvere il problema del multipath nel momento in cui, appena definito l’ambiente di propagazione per il quale è stata definita una Bc, la banda che andiamo a trasmettere su questo canale è B > Bc, ovvero siamo in presenza di fading selettivo (forte ISI), quindi c’è una forte disuniformità della risposta in frequenza (H(f)) del canale (massimi e minimi irregolari come nelle figure precedenti).

Tale disuniformità crea una notevole distorsione nel momento in cui si trasmette il segnale a banda larga (ordine del GHz).

Si è pensato, come detto prima, a ridurre l’occupazione spettrale del nostro segnale andando a suddividere l’informazione da trasmettere in N sottoflussi, ognuno che modula una portante opportuna, tale da garantire per ogni sottoportante modulata una B < Bc.

Dettagli tecnici e vantaggi

Si parte da un flusso informativo con una bit rate Rbps, che viene suddiviso attraverso un convertitore serie-parallelo (S\P) in N flussi paralleli, ciascuno caratterizzato da una rate R/N; per cui se nel flusso originale il tempo di bit è pari a Tb, allora su ciascun sottoflusso il tempo di bit sarà uguale a Tb’.

Nel momento in cui con un flusso Tb’ si va a modulare la portante, in ogni ramo dello schema si otterrà una B < Bc, ovviamente se N è opportuno; quindi si deve necessariamente scegliere una N opportunamente grande per far sì che la banda di ogni sottoportante modulata sia minore della Bc.

Quindi il tempo di simbolo di ogni sottoflusso sarà N volte maggiore del flusso originale, e di conseguenza la banda Bn di ogni sottocanale sarà N volte minore di B del segnale originale: Bn = B/N.

Su ogni ramo quindi il flusso a rate R/N viene mappato su un simbolo e poi passa attraverso un filtro sagomatore d’impulso.

Il Symbol Mapper è il blocco che associa, alla sequenza di dati in ingresso, una combinazione di modulo e fase (quindi parte reale e immaginaria), che rappresenta l’ampiezza della portante, in relazione allo schema di modulazione che si vuole adottare.

In uscita dal Mapper si ha un numero complesso, che è legato allo schema di modulazione adottato, quindi sono ancora a livello di numeri (s0 è un num complesso); a tal punto si va a sagomare l’impulso, perché si vuole una funzione del tempo (andamento temporale).

Il sagomatore di impulso può essere un sagomatore rettangolare, se si vuole che per tutto il tempo di simbolo l’ampiezza della portante sia pari a s0 (se g(t) è rettangolare, per tutto Ts la portante avrà quel preciso valore di ampiezza e fase).

Per g(t) però si sceglie un andamento a coseno rialzato, che ha dei vantaggi.

Il vantaggio è che nel momento in cui si va a moltiplicare l’impulso sagomato s0(t) con la portante cos(2πf0t), lo spettro risulta decisamente più attenuato in banda (lobi laterali contenuti), e quindi si va a contenere l’occupazione spettrale, si riduce l’interferenza nei canali adiacenti, perché i lobi del nostro spettro sono più bassi.

La contropartita è che si allarga lo spettro, ovvero si allarga il lobo principale, perché in realtà rispetto ad un impulso rettangolare, questo impulso uscirebbe fuori.

Quindi occorre ridurre il più possibile questo effetto coda, e per far stare il nostro impulso a coseno rialzato dentro la finestra, si deve necessariamente allargare la banda.

Quindi in relazione al fattore di roll-off del coseno rialzato, la banda associata ad ogni canale che si va a considerare, è leggermente più larga rispetto a quella che si avrebbe ottenuto con un impulso rettangolare.

Forma d'onda del segnale

La forma d’onda del segnale, sommatoria di tutte le portanti dello schema, che complessivamente si va ad ottenere è la seguente: s(t) è una sovrapposizione di tutte le portanti modulate, ciascuna con una propria sagomatura e con proprio modulo e fase.

In questo discorso si ipotizza che la sagomatura sia la stessa per tutte le sottoportanti. Otteniamo quindi una sequenza di spettri, allocati in frequenza, adiacenti, e quindi abbiamo una B occupata che per ciascuna sottoportante è < Bc, ma leggermente superiore a quella che avrei considerando il solo lobo principale della moltiplicazione per l’impulso rettangolare, a seguito del fattore di roll-off.

Demodulazione del segnale

Come demodulo questo segnale s(t)?

Banalmente il modo più semplice sarebbe quello di filtrare in ricezione le singole sottoportanti. In ricezione, il segnale utile s(t) sovrapposto al rumore n(t), viene suddiviso in N rami dove applico in ognuno un filtro centrato sulla frequenza di portante usata in trasmissione (f0…fN-1).

Quindi seleziono le porzioni di banda d’interesse, demodulo le singole portanti e ottengo i miei flussi a bit rate R/N, che riconverto da parallelo a seriale per ottenere il flusso originale a Rbps.

Problemi e soluzioni

Problema: devo tener conto della non idealità dei filtri (ovvero che fronti di salita e discesa così ripidi non possono essere realizzati); quindi occorre necessariamente distanziare gli spettri, introducendo un fattore correttivo ε, in modo da spaziare in frequenza i vari sottocanali ed evitando che le pendenze graduali dei filtri distorcano lo spettro. In tal modo la banda di ogni sottocanale, sarà: Bn = B/N + ε.

Tale incremento di banda per ciascuna sottoportante, dovrò considerarlo per tutte le N sottoportanti, ottenendo quindi una banda totale occupata molto più grande rispetto a quella che avrei ottenuto andando a modulare una singola portante; Infatti la banda totale è pari a:

Esempio pratico

Esempio: Consideriamo un sistema multiportante con una B = 1MHz, ipotizzando un Delay Spread di 20 us. Quanti canali sono necessari per ottenere un flat fading su ciascun sottocanale?

Per assicurarci un flat fading su ogni canale, dobbiamo avere che la banda su ogni sottoportante sia: Bn < Bc. Occorrono almeno 200 sottocanali.

Se poi si considera un Tn = 0.2 ms, con sistema di 128 canali, β = 1 e ε = 0.1, la banda occupata sarà pari a 1.344 MHz, ottenendo un incremento notevole della banda.

Risoluzione del problema

Tale problema viene risolto sovrapponendo le sottoportanti, introducendo in ricezione una tecnica che si basa sull’utilizzo di un set di portanti ortogonali (sottoportanti ortogonali), in modo da poter essere separate dal demodulatore in ricezione; posso quindi implementare uno schema tale per cui le forme d’onda modulate vanno parzialmente a sovrapporsi.

Le sottoportanti scelte sono della forma:

Sono set di portanti ortogonali distanziati di 1/Tn. Questo set di funzioni di base è ortogonale nell’intervallo [0, Tn], per ogni set di fasi delle portanti [φi].

Il fatto che sia ortogonale in [0, Tn] lo vediamo andando ad integrare su Tn il prodotto tra due coseni:

-nell’intervallo tra 0 e Tn il coseno della somma lo posso, con buona approssimazione, porre a 0, ottenendo il coseno della differenza degli argomenti;

Tale risultato è diverso da 0 solo quando i = j, altrimenti per i ≠ j ho un periodo intero del coseno che viene considerato dall'integrale e mi dà un valore medio nullo.

Quindi la regola che mi definisce l’ortogonalità è verificata perché i ≠ j e le mie portanti sono tra loro ortogonali.

Ecco quindi che riesco a sovrapporre parzialmente le portanti: Le portanti saranno spaziate solo di 1/Tn e di conseguenza la banda totale occupata sarà:

Chiaramente devo poi ricostruire gli effetti ai bordi, ma la possibilità che ho di sovrapporre le portanti utilizzando questo set di portanti ortogonali, mi dà la possibilità di occupare una banda identica a quella che occuperei andando a trasmettere con una singola portante. (L’impatto di β e ε sulla larghezza di banda è trascurabile).

Conclusioni sull'implementazione OFDM

Da qui il nome OFDM (trasmissione multiportante a frequenze ortogonali), perché si vanno a modulare delle portanti ortogonali.

Lo schema in ricezione è il seguente: Il segnale ricevuto viene suddiviso in N rami e in tal caso avrò uno schema di demodulazione che prevede la modulazione per ciascuna sottoportante alle frequenze che abbiamo individuato, e che sono multiple di 1/Tn; poi abbiamo la desagomatura la moltiplicazione per g*(-t) (complesso coniugato) del nostro impulso; poi c’è l’integrale su Tn, in modo da avere i simboli ricostruiti, poi si va al demapper ecc.

Qui notiamo, rispetto allo schema precedente, l’effetto del canale (prima c’era solo s(t) + n(t)): e ne dobbiamo tener conto perché agisce sul nostro segnale, attraverso la convoluzione tra s(t) e la risposta impulsiva h(t) del canale.

Quindi la presenza di h(t), ovvero del canale, e la presenza del rumore, dà luogo al fatto che il simbolo ricevuto potrebbe non essere identico a quello trasmesso sulle singole sottoportanti.

Ripasso finale

Ripasso fino a qui: Trasmetto un segnale a rate R suddividendolo in N sottoflussi ciascuno a rate R/N, ciascun sottoflusso viene mappato determinando modulo e fase (in relazione allo schema di demodulazione), poi vado a sagomarlo e di seguito moltiplico per le varie portanti avendo fatto sì che le portanti scelte siano ortogonali, poi sommo tutto.

Dal lato ricevitore devo rimoltiplicare il segnale ricevuto per le N sottoportanti, andare a compensare la sagomatura dell’impulso in trasmissione e andare a integrare nel tempo di simbolo per eliminare su ogni ramo il contributo delle sottoportanti che non interessano; alla fine ottengo dei simboli che vado a demappare.