Appunti Metodi pt 1

Metodi matematici

Prof.ssa Giuffrè

25-09-2017

Prodotto tra numeri complessi

(a,b)(r,d) = (ac-bd, ad+bc)

(a,b)(a,b) = -1 ⇒ (a²b², 2ab) = (-1, 0) ⇒ a²b² = -1 2ab = 0

z è un numero complesso z = (a,b) ⇒ a,b ∈ R; il sistema precedente equivale a 2 sistemi:

a²b² = -1
a = 0
∪
a²b² = 1
b = 0

⇒ -b² = -1
a = 0
∪
a² = -1 ⇒ non ha sol. in R
b = 0

∈ il sistema ha soluzioni:

b² + 1
a = 0

Ho ottenuto 2 numeri complessi che soddisfano l'equazione:

z² = -1

e sono z = (0,1) e z = (0,-1)

La soluzione z = (0,1) si chiama unità immaginaria i, ovvero i = (0,1)

Possiamo ricorrere quindi alla forma algebrica:

(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a + (0,1)(b,0) = a + ib

Verifichiamo che (0,1)(b,0) = (0,b) per le regole.

Dato un numero complesso z = a + ib, il suo coniugato è z̄ = a - ib.

Numeri complessi e ordinamento

L'insieme C è stato costruito per poter fare ciò che in R non si può fare, ma bisogna rispettare le regole di R.

L'ordine è invariato, però si può estendere se ne fa C.

Considerando "i", per esempio, sappiamo che non è nullo.

Può essere positivo? x > 0? ⇒ No, perché i² > 0 ⇒ -5 > 0

Può essere negativo? x < 0? ⇒ i² > 0 ⇒ i · i > 0

Non possiamo trasportare le proprietà di ordinamento da R e C ⇒ C è chiuso algebricamente ma non è ordinato.

Rappresentazione sul piano di Gauss

I numeri complessi si rappresentano sul piano di Gauss:

z · z̄ = (a+ib)(a-ib) = a² + (i²b²) = a²-b²

In genere si intesa con ρ e si dichiara modulo del numero complesso la quantità ρ: √(a²+b²)

θ è l'angolo formato dal semiasse delle ascisse con la congiungente op.

{a = ρcosθ
b = ρsinθ;} ⇒ θ si chiama argomento ed è definito a meno della costante 2π.

θ ∈ ] -π ; π ]

Dalla forma algebrica possiamo alla forma trigonometrica:

z = a + ib = ρcosθ + iρsinθ = ρ(cosθ + isinθ)

Dati 2 numeri complessi scritti in forma triangolare:

{z₁ = ρ₁ (cosθ₁ + isinθ₁)
z₂ = ρ₂ (cosθ₂ + isinθ₂)} ⇒ z₁z₂ = ρ₁ρ₂ [ cos(θ₁ + θ₂) + isin(θ₁ + θ₂) ]

Quindi zⁿ = ρⁿ [ cos(nθ) + isin(nθ) ]

Radici n-sime

Per le radici IMPORTANTE:

ⁿ√z = w; wⁿ = z con z ∈ ℂ e w ∈ ℂ. In ℂ le radici n-sime sono n.

w_k = ρ^1/n [cos ^{q + 2Kπ}/_n + i sin ^{q + 2Kπ}/_n] con K: 0, 1,..., n

Esempio

⁴√1 → ci aspettiamo 4 soluzioni. Scriviamo 1 in forma trigonometrica.

w_k = (1)^1/4 [cos ^2Kπ/₄ + i sin ^2Kπ/₄] con K: 0, 1, 2, 3

w₀ = cos 0 + i sin 0 = 1

w₁ = cos ^π/₂ + i sin ^π/₂ = i

w₂ = cos π + i sin π = -1

w₃ = cos ³/₂π + i sin ³/₂π = -i

Funzioni elementari in ℂ

Esponenziale complesso

f: ℂ → ℂ

Vogliamo sapere chi è e^z con z ∈ ℂ.

Vediamo prima il sottocaso: e^ix con x ∈ ℝ.

Per definizione e^ix del cosx + isin x (1)

e^-ix = cos(-x) + isin(-x) = cosx - isinx (2) perché il coseno è pari, il seno è dispari.

Sommando a.m. le (1) e le (2), ottengo:

e^ix + e^-ix = 2cosx → cosx = (e^ix + e^-ix)/2

Sottraendo a.m.:

e^ix - e^-ix = 2isinx → sinx = (e^ix - e^-ix)/2i

Se z è in qualunque num. complesso: z = x+iy então z = x+iy => def = e^x . e^iy = e^x (cosy + isiny)

perché e^iy = cosy + isiny

Abbiamo 4 forme, quindi:

• Z = (a,b)
• Z = a + ib
• Z = ρ (cosθ + isinθ)
• Z = ρ e^iθ

Proprietà

• E^z₁ . e^z₂ = e^{z₁ + z₂} con z₁, z₂ ∈ ℂ