Metodi matematici 1

Metodi matematici

I y = f(x) → la y dipende da x, legame tra due variabili variabile indipendente.

Cenni di logica

Proposizioni (p, q): affermazione che può essere vera o falsa.

Opposto p̅ q̅ Λ q: proposizione collegata con 2 precedenti, è vera solo quando sono vere entrambe. "e" consente di collegare proposizioni.

V q: nuova proposizione costituita da 2 proposizioni originali, ne basta una vera. "o"

⇒ q implica q, se p è vera allora q è vera, non implica l'altra ma non si devono trarre conclusioni. p implica q ma q non implica p.

p condizione sufficiente, è sufficiente che sia vera p per q, se è vera p allora lo è anche q.

Se p non è vera non si può concludere nulla su q, si può concludere su q solo se p è vera.

q condizione necessaria per p.

Siccome qis implica q, q diventa condizione necessaria affinché p sia vera, se q non è vera non lo è p.

⇒ q è vero, p può essere sia vera che falsa, se q è falsa allora lo è anche p.

⇔ q: p implica ed è implicata da q, p è condizione necessaria e sufficiente per q e viceversa.

"Se e solo se" (sse).

Metodi matematici

I y = f(x) → y dipende da x, legame tra due variabili variabile indipendente.

Cenni di logica

Proposizioni (p, q): affermazione che può essere vera o falsa.

p ^ q: proposizione collegata con 2 propositori, è vera solo quando sono vere entrambe. "e"

p V q: nuova proposizione costituita da 2 propositori originali, ne basta una vera. "o"

p => q: p implica q, se p è vera allora q è vera, uno implica l'altro ma non si devono trarre conclusioni (p implica q ma q non implica p).

p condizione sufficiente, è sufficiente che sia vera p per q, se q è vera e p non è vera, non si può concludere nulla su q, si può concludere su q solo se p è vera.

q condizione necessaria per p.

Siccome p implica q, q diventa condizione necessaria affinché p sia vera, se q non è vera non lo è p.

=> q è vera, p può essere sia vera che falsa, se q è falsa allora lo è anche p.

p <=> q: p implica ed è implicata da q, p è condizione necessaria e sufficiente per q e viceversa.

"Se e solo se" (sse).

Teoria degli insiemi

3; 0; 2; numeri naturali.

{0; 1; 2; 3; ...} insieme con un numero illimitato di elementi quindi si scrive solo la regola generale, infiniti e numerabili.

{...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; ...} insieme illimitato di elementi, infiniti e numerabili. NB non sono il doppio di rappresentazione degli insiemi numerici.

-2 -1 0 1 2 3...

Q: insieme dei numeri razionali.

Es. 3/3 = 0,75 1/3 = 0,3333... parte decimale.

Es. 2,25 48732~48732~... parte intera parte periodica => infiniti ma numerabili.

I: non vanno a coprire tutta la retta, là dove ci sono dei buchi ci sono i numeri irrazionali.

A _O B: inclusione stretta.

a _ε A => a _ε B

∃ b _ε B: b ∉ A, esiste tale che.

A ⊆ B: inclusione.

a _ε A a _ε B

A ∅ B: uguaglianza.

Operazioni tra insiemi

A ∪ B: unione.

{x : x ∈ A ∨ x ∈ B} gli elementi x appartengono o all'insieme A o all'insieme B.

A ∩ B: intersezione.

{x : x ∈ A ∧ x ∈ B} l'insieme degli elementi tali che appartengono ad A e B.

A ∩ B = ∅ insieme vuoto.

Naturali N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R, interi razionali.

R: insieme di tutti i numeri reali, comprende tutte le rette.

R \ Q: numeri irrazionali.

Sono infiniti ed M sono numerabili.

Intervalli

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

Es. (2, 10) tutti i numeri compresi tra 2 e 10, esclusi 2 e 10.

Incluso a ma escluso b.

Es. I₁ = [-10 ; 5)

I₂ = (0 ; 6]

I₁ ∩ I₂ = (0 ; 5)

I₁ ∪ I₂ = [-10 ; 6]

Può essere rappresentato con una sinuosa.

Insieme ambiente.

L^C = { a ∈ L : a ∉ A }

L, insieme complementare.

A \ B = { a ∈ A : a ∉ B }

L, insieme differenza.

Togliere da A tutti gli elementi che appartengono a B.

Es. I = (-2, -3]   A = { 0 ; 2 ; 3 }

In A, in A, in \

Intervalli illimitati

-3 0 2 I

I₁ = [2 ; +∞) da 2 incluso fino all'infinito.

I₂ = (-∞ ; -3) da -∞ a -3 escluso.

VA