Metodi matematici 1

Metodi matematici

y = f(x) → y dipende da x, legame tra due variabili.

Variabile indipendente.

Cenni di logica

Proposizioni (p, q): affermazione che può essere vera o falsa.

Opposto: ~p ~q.

p ∧ q: proposizione collegata con 2 precedenti, è vera solo quando sono vere entrambe.

"e" consente di collegare proposizioni.

p ∨ q: nuova proposizione costruita da 2 proposizioni originali, ne basta una vera.

"o".

p ⇒ q: p implica q, se p è vera allora q è vera, una implica l'altra ma non si devono trarre conclusioni.

p implica q ma q non implica p.

Condizione sufficiente, è sufficiente che sia vera p per q, se q è vera se p non è vera, non si può concludere nulla su q, si può concludere su q solo se p è vera.

Condizione necessaria per p siccome q implica p, q diventa condizione necessaria affinché p sia vera, se q non è vera non lo è p.

⇒ q è vera p può essere sia vera che falsa, se q è falsa allora lo è anche p.

p ⇔ q: p implica ed è implicata da q, p è condizione necessaria e sufficiente per q e viceversa.

"se e solo se" (sse).

Metodi matematici

y = f(x) → y dipende da x, legame tra due variabili.

Variabile indipendente.

Cenni di logica

Proposizioni (p, q): affermazione che può essere vera o falsa.

Opposto: p̅ q̅.

p ∧ q: proposizione collegata con 2 precedenti, è vera solo quando sono vere entrambe.

Consente di collegare proposizioni.

p ∨ q: nuova proposizione costituita da 2 proposizioni originali, ne basta una vera.

p ⇒ q: p implica q, se p è vera allora q è vera, uno implica l'altro ma non si devono trarre conclusioni.

p implica q ma q non implica p.

Condizione sufficiente, è sufficiente che sia vera p per q, se è vera p allora lo è anche q.

Se p non è vera non si può concludere nulla su q, si può concludere su q solo se p è vera.

q condizione necessaria per p siccome p implica q, q diventa condizione necessaria affinché p sia vera, se q non è vera non lo è p.

⇒ q è vera, p può essere sia vera che falsa, se q è falsa allora lo è anche p.

p ⇔ q: p implica ed è implicata da q, p è condizione necessaria e sufficiente per q e viceversa.

“se e solo se” (sse).

Teoria degli insiemi

{3; 0; 2} → es. di un insieme con un numero finito di elementi.

a ∈ A, 2 ∈ A: simbolo di appartenenza.

N = {0; 1; 2; 3; ...}: insieme con un numero illimitato di elementi, quindi si scrive solo la regola generale, infiniti e numerabili.

Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2; ...}: insieme illimitato di elementi infiniti e numerabili.

NB non sono il doppio di N.

Rappresentazione degli insiemi numerici

-2 -1 0 1 2 3.

Fra 0 1 2 3.

7_0/1 7_1/1 7_2/1 7_3/1.

7_0/2 7_1/2 7_2/2 7_3/2.

7_0/3 7_1/3 7_2/3 7_3/3.

Insieme dei numeri razionali.

Q = {ⁿ/_m, n, m ∈ N, m ≠ 0}.

Es. 3 = 3/3 = 0,75.

Es. 1/3 = 0,3333 → parte decimale = 0,³.

Es. _925 483732 483732... → parte intera parte periodica.

→ infiniti ma numerabili.

Q non vanno a coprire tutta la retta, là dove ci sono dei buchi, ci sono i numeri irrazionali.

Inclusione e uguaglianza

A ⊂ B: inclusione stretta.

Un elemento di A è automaticamente un elemento di B, ma non necessariamente un elemento di B appartiene ad A.

a ∈ A → a ∈ B.

b ∈ B, ∃ g ∉ A.

Esiste tale che.

A ⊆ B: inclusione, a ∈ A ⇔ a ∈ B.

A ⊆ B: uguaglianza.

Unione e intersezione

A ∪ B: unione = { x : x ∈ A ∨ x ∈ B }, insieme degli elementi tali che appartengono ad A oppure a B.

A ∩ B: intersezione = { x : x ∈ A ∧ x ∈ B }, insieme degli elementi tali che appartengono ad A e B.

A ∩ B = ∅: insieme vuoto.

Naturali ℕ, interi ℤ, razionali ℚ.

ℝℝ: insieme di tutti i numeri reali, sia razionali che irrazionali comprendente tutta la retta.

ℝ \ ℚ: numeri irrazionali, sono infiniti e numerabili.

Intervalli

(a, b) = { x ∈ ℝ : a

[a, b) = { x ∈ ℝ : a ≤ x.

Es. (2, 10) tutti i numeri compresi tra 2 e 10 esclusi 2 e 10.

Incluso a ma escluso b.

I₁ = [-10, 5).

I₂ = (0, 6].

I₁ ∩ I₂ = (0, 5).

I₁ ∪ I₂