Metodi matematici 1

Metodi matematici

Iy = f(x) -> y dipende da x, legame tra due variabili variabile indipendente

Cenni di logica

Proposizioni (p, q): affermazione che può essere vera o falsa

Opposti: ¬p ¬q

p ∧ q: proposizione collegata con 2 precedenti, è vera solo quando sono vere entrambe
"e"

p ∨ q: nuova proposizione costruita da 2 proposizioni originali, ne basta una vera
"o"

p ⇒ q: p implica q, se p è vera allora q è vera, una implica l'altra ma non si devono trarre conclusioni

p implica q ma q non implica p

p = condizione sufficiente, è sufficiente che sia vera p per q, se è vera q allora lo è anche q

Se p non è vera, non si può concludere nulla su q, si può concludere se q solo se p è vera

q = condizione necessaria per p

Siccome p implica q, q diventa condizione necessaria affinché p sia vera, se q non è vera non lo è p

⇔ q è vero, p può essere sia vera che falsa, se q è falso allora lo è anche p

p ⇔ q: p implica ed è implicata da q, p è condizione necessaria e sufficiente per q e viceversa
"se e solo se" (sse)

Metodi matematici

Iy = f(x) → la y dipende da x, legame tra due variabili variabile indipendente

Cenni di logica

Proposizioni (p, q): affermazione che può essere vera o falsa

p ¬q

(p ∧ q): proposizione collegata con 2 proposizioni precedenti, è vera solo quando sono vere entrambe

E: consente di collegare proposizioni

(p ∨ q): nuova proposizione costruita da 2 proposizioni originali, ne basta una vera

O

p ⇒ q: p implica q, se p è vera allora q è vera, uno implica l'altro ma non si devono trarre conclusioni

p implica q ma q non implica p

p: condizione sufficiente, è sufficiente che sia vera p per q, se q è vera allora lo è anche q

Se p non è vera, non si può concludere nulla su q, si può concludere su q solo se p è vera

q: condizione necessaria per p

Siccome p implica q, q diventa condizione necessaria affinché p sia vera, se q è vera non lo è p

⇔ q è vera p può essere sia vera che falsa, se q è falsa allora lo è anche p

p ⇔ q: p implica ed è implicata da q, p è condizione necessaria e sufficiente per q e viceversa
"se e solo se" (ssse)

Teoria degli insiemi

3 ; 0 ; 2

Numeri naturali

{0 ; 1 ; 2 ; 3 ...} infinito e numerabili

Numeri interi {... ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...}

Insieme illimitato di elementi infiniti e numerabili NB non sono il doppio di IN

Rappresentazione degli insiemi numerici

-2 -1 0 1 2 3

Insieme dei numeri razionali

{n / m, n, m ∈ IN, m ≠ 0}

Es. 3 = 0,75 ; 1/3 = 0,3333... → 0,3 parte decimale

Es. 325 493732 493732 ... → 325 parte intera 493732 parte periodica

Periodica semplice

Infiniti ma numerabili

Non vanno a coprire tutta la retta, là dove ci sono dei buchi, ci sono i numeri irrazionali

Inclusione e uguaglianza

Inclusione stretta

a ∈ A ⇒ a ∈ B

Inclusione s∈A ⇔ s ∈ B

Uguaglianza A = B

A ∪ B = unione l'insieme degli elementi che appartengono o all'insieme A o all'insieme B

A ∩ B = intersezione l'insieme degli elementi tali che appartengono ad A e B

A ∩ B = ∅ : insieme vuoto

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Insieme di tutti i numeri reali, sia razionali che irrazionali comprende tutte le rette

R \ Q

Numeri irrazionali, sono infiniti e non sono numerabili

Intervalli

(a ; b) = {x ∈ R : a < x < b}

[a ; b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

Es. (2 ; 10) tutti i numeri compresi tra 2 e 10, esclusi 2 e 10 incluso a ma escluso b

I₁ = [-∞ ; 5) I₂ = (0 ; 6]

I₁ ∩ I₂ = (0 ; 5) I₁ ∪ I₂ = [-∞ ; 6]

Può essere rappresentato con VENN insieme ambiente

A^C = {a ∈ ∪ : a ∉ A} L. insieme complementare

A \ B = {a ∈ A : a ∉ B} L. insieme differenza togliere ad A tutti gli elementi che appartengono a B

Es. I = (-2 ; 1]

A = {0 ; 2}

-2 _________ 0 _________ 2 _________ R

Intervalli illimitati

I₁ = [2 ; + ∞) da 2 incluso fino ai infinito I₂ = (-∞ ; -3) da -∞ a -3 escluso

Valore assoluto