Appunti Metodi matematici 1

Metodi matematici

Iy = f(x) → la y dipende da x, legame tra due variabili variabile indipendente.

Cenni di logica

Proposizioni (p, q): affermazione che può essere vera o falsa.

¬ p collegata con 2 precedenti, è vera solo quando sono vere entrambe “e”.

Nuova proposizione costruita da 2 proposizioni originali, ne basta una vera “o”.

⇒ implica: se p è vera allora q è vera, una implica l'altra ma non si devono trarre conclusioni.

p implica q ma q non implica p.

Condizione sufficiente

È sufficiente che sia vera p per q, se q è vera allora lo è anche q se p non è vera, non si può concludere nulla su q, si può concludere su q solo se p è vera.

Condizione necessaria

Perché q implica p, q diventa condizione necessaria affinché p sia vera, se q non è vera non lo è p.

⇒ q è vera p può essere sia vera che falsa, se q è falsa allora lo è anche p.

⇔ q implica ed è implicata da q, p è condizione necessaria e sufficiente per q e viceversa “se e solo se” (sse).

Metodi matematici

Iy = f(x) → y dipende da x, legame tra due variabili variabile indipendente.

Cenni di logica

Proposizioni (p, q): affermazione che può essere vera o falsa.

¬ p: opposto.

p ∧ q: proposizione collegata con 2 precedenti, è vera solo quando sono vere entrambe.

p ∨ q: nuova proposizione costruita da 2 proposizioni originali, ne basta una vera.

⇒ (p ⇒ q): p implica q, se p è vera allora q è vera, o implica l'altra ma non si devono trarre conclusioni.

p implica q ma q non implica p.

p condizione sufficiente, è sufficiente che sia vera p per q, se è vera p allora lo è anche q.

Se p non è vera non si può concludere nulla su q, si può concludere se q solo se p è vera.

q condizione necessaria perché p implica q, q diventa condizione necessaria affinché p sia vera, se q non è vera non lo è p.

⇒ q è vera q può essere sia vera che falsa se q è falsa allora lo è anche p.

⇔ (p ⇔ q): p implica ed è implicata da q, p è condizione necessaria e sufficiente per q e viceversa "se e solo se" (sse).

Teoria degli insiemi

{ 3 ; 0 ; 2 }

Numeri naturali.

I.N. { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... } insieme con un numero di elementi infiniti e numerabili.

Z { ... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... } numeri interi insieme illimitato di elementi infiniti e numerabili NB ma sono il doppio di IN.

Rappresentazione degli insiemi numerici.

a ∈ A   2 ∈ A simbolo di appartenenza.

Q insieme dei numeri razionali.

Es. 3/4 = 0,75   ;   1/3 = 0,3333 → parte decimale.

Es. ...425 48732=48732 = parte periodica → infiniti ma numerabili.

I non vanno a coprire tutta la retta, là dove ci sono dei buchi ci sono i numeri irrazionali.

A Ø B: inclusione stretta   a ∈ A → a ∈ B   ∃ b ∈ B: b ∉ d.

A ⊆ B: inclusione a ∈ A ⇔ a ∈ B.

A = B: uguaglianza.

A ∪ B unione = { x : x ∈ A ∨ x ∈ B } gli elementi x appartengono o all'insieme A o all'insieme B.

A ∩ B intersezione = { x : x ∈ A ∧ x ∈ B } insieme degli elementi tali che appartengono ad A e B.

A ∩ B = ∅ insieme vuoto.

Naturali N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R interi razionali reali.

R: insieme di tutti i numeri reali, sia razionali che irrazionali comprende tutta la retta.

R \ Q numeri irrazionali sono infiniti e m sono numerabili.

Intervalli

(a , b) = { x ∈ R : a < x < b } es. (2 , 10) tutti i numeri compresi tra 2 e 10, esclusi 2 e 10.

[a , b) = { x ∈ R : a ≤ x < b } incluso a ma escluso b.

Es. I₁ = [-10 ; 5)

I₂ = (0 ; 6 ]

I₁ ∩ I₂ = (0 ; 5)

I₁ ∪ I₂ = [-10 ; 6 ]

Può essere rappresentato con Omega insieme ambiente.

A^c = {a ∈ Ω : a ∉ A}

L'insieme complementare.

L'insieme differenza togliere ad A tutti gli elementi che appartengono a B.

Intervalli limitati

Valore assoluto

x ∈ ℝ |x| = { x se x > 0 -x se x uguale per definizione.

Prodotto cartesiano

A, B insiemi non vuoti.

A x B = { (a, b) : se a ∈ A e b ∈ B }

L'insieme delle coppie ordinate di 2 elementi dove il 1^o elemento appartiene ad A ed il 2^o a B.

Si usa la lettera e non il simbolo ∈ perché ha valo