Metodi di analisi e teoremi di rete

Metodi di analisi

Possiamo riformulare il circuito con la teoria dei grafi:

Risolvere un circuito:

• Calcolare tensioni di lato;
• Correnti di lato.

2L incognite → 2L equazioni indipendenti

Esempio

N = 3

L = 5 → 10 incognite

Equazioni indipendenti:

• L equazioni costitutive
• N-1 LK CL
• L-N+1 LK TS
• Selezionare nodi non intersecati da rami

Metodo algebrico o di tableau

Circuito individuare:

• N nodi
• L lati

Individuare: 2L incognite (V,I)

Scriviamo le equazioni di lato

Eqs. topologiche

• N-1 LK C
• L-N+1 LK T

Risolviamo il sistema di equazioni

Metodi di analisi

Possiamo riformulare il circuito con la teoria dei grafi.

Risolvere un circuito:

• Calcolare tensioni di lato.
• Correnti di lato.

2L incognite → 2L equazioni indipendenti

Esempio

N = 3

L = 5 → 10 incognite

Equazioni indipendenti:

• L equazioni costitutive
• N - 1 LKCL
• L - N + 1 LKT

A: i₁ - i₃ - i₅ = 0

B: i₂ - i₁ - i₄ = 0

C: i₁ - i₂ + i₃ - i₄ - i₅ = 0 → non è indipendente

C = A + B

M₁: V_a - V_b = 0

M₂: V_c - V_a = 0

M₃: V_b - V_c = 0

Metodo algebrico o di tableau

Circuito

Individuare:

• N nodi
• L lati

Individuare:

2L incognite: V, i

Scriviamo le equazioni di lato

• N - 1 LKCL
• L - N + 1 LKT

Risolviamo il sistema di equazioni

Esempio

N = 2

L = 3

Equazioni di lato

• E_a = E₁
• E_a = E₂
• V_B = R₃ i₃ → V₃ = R₃ i₃

V_a = E₂ - R₂i₂

LKC i₁ + i₂ + i₃ = 0

LKT: V₁ + V₄ - e = 0

V_B = E₂ - R₃i₃ = 0 → R₂i₂ - R₃i₃ = E₂

i₁ + i₂ + i₃ = 0

i₁ = _Ea/^R₁

i₂ = _{E2 - R3i3}/^R₂

i₃ = i₄ + i₂

Metodo dei potenziali di nodo

• Scegliere un nodo di riferimento
• Assegnare le tensioni agli altri nodi
• LKC ai nodi non di riferimento
• Scrivere le correnti in funzione dei potenziali di nodo
• Risolvere il sistema di equazioni

Esempio

• LKC i_B + i_C + I = 0
• LKC i_B - i_e - i = 0
• _{I - EA}/^R₁ = _eA/^R₃
• i_A = _QB/^R₃
• i₄ = _QB/^R₄
• _{EA - eA}/^R₁ = I - _{eB - eB}/^R₃
• e_A - e_c - I - _ee/^R₄ = 0
• e_B - e_B - I = 0

Esempio

• LKC ( - ) i + i₂ + i₃ = 0

- E₁ - e_A + E₂ - e₂ - e_A = 0

Teoremi di rete

Linearità

f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂)

f(k x) = k f(x)

Passivare un generatore

Annulliamo il contributo del generatore al circuito.

Es.

• Corto circuito
• Circuito aperto

Teorema di sostituzione

Passa una sola F, in cui I - V sono le uniche grandezze tra loro in comune (no accoppiamenti magnetici).

Possiamo sostituire Z con un generatore di tensione o di corrente.

Importante che il punto di intersezione sia sempre lo stesso.

Teorema di sovrapposizione

Ipotesi: linearità

Le variabili di rete I e V possono essere calcolate come la somma dei contributi delle cause generatorie.

Esempio

Cause generatorie

Effetti V e I

Donava al generatore mentre l'altro è passivato

Nulla al generatore mentre l'altro è passivato

Esempio

Errore!

Teorema di Thevenin

Ci permette di sostituire una parte di un circuito con una parte equivalente.

Ipotesi: linearità, no accoppiamenti magnetici tra 1 e 2, nessuna ipotesi sul carico.

(2)

Dim...

Per teo. sost.

Per teo. sovr.

V = V'^I + V"^II = E_eq - R_eqI

Esempio

I = ^{E₁ - E₂}/_{R1 + R2}

Risultato:

I') = ^E_eq/_{Req + R3}

Teorema di Norton

Ipotesi: linearità, no accoppiamenti magnetici tra A e B, nessuna ipotesi sul carico (Z).

Relazione tra Thevenin e Norton

R_equT = R_equN

E_equT = R_equ I_aIN

Teorema di Millman

In un circuito con 2 nodi la tensione è il rapporto tra le correnti di corto circuito dei singoli rami e le conduttanze equivalenti di ogni ramo.

Le resistenze poste in parallelo a un generatore di tensione o in parallelo a generatori di tensione non influenzano il circuito.

Esempio

V_AB = ^E₁/_R1 - ^E₂/_R2 + ^I -------------------------------------------- 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R_G

Dim. LKC ♠∑i₂+i₃-i_G-i₂=0 E_A = ∑cv (i_A E₁/R₂)

Esempio

V_AB = ^E₁/_R1 - ^E₂/_R2 - ^A/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃

Teorema del massimo trasferimento di potenza

Bisogna ricondurre a questa forma per poter usare questo teorema.

P = T - v = R_L - T = (E²/R²+R_L)

dPL/dRL = 0 → ♠(R+R_L)² - R_L(R+R_L)/^2E/R²+R_L² = 0 → Subvar: massimo ♠♠(R+R_L)²-E²/R²+R_L² = 0 → ⊂ 0

Potenza massima

P_L,max = ^R_L/((R+R_L)²) = R_L²/^R-->u