Meccanica applicata alle macchine - terza parte

Esercizio 1

n = 1500 rpm => ω = 2πn / 60 = 1500 · 2π / 60 = 157 rad/s

s = me = 0,8 kg m

M = 530 kg

Rmax = 12 · 10³ N - forza max che il basamento può sopportare

k = 7 · 10⁶ N/m

c = 17 · 10³ N s/m - se ho una forza lineare

1 La forza trasmessa è ammissibile?

Fc(t) = F0 cos(ωt) = meω² cos(ωt) => F0 = meω² = 0,8 · 157² = 19,7 · 10³ N

L'ampiezza della forza applicata

Trasmissibilità ammessa = Rmax / F0 = 12 · 10³ / 19,7 · 10³ = 0,61 - la trasmissibilità deve essere minore di questa.

|Tr| = sqrt((1 + (2ζ ω / ωn)²) / ((1 - (ω / ωn))² + (2ζ ω / ωn)²))

ωn = sqrt(k / M) = sqrt(7 · 10⁶ / 530) = 114,9

ω / ωn = 157 / 114,9 = 1,366 < sqrt2

ma l'andamento della trasmissibilità:

Da ciò noti che |Tr| > 1    |Tr| > 0,61    |Tr| ≤ |Tr| ammissibile

2 Soluzioni alternative

Per prima cosa bisogna ridurre la trasmissibilità - per cambiarla bisogna variare il rapporto ω/ωn - o cambi ω o ωn, ma dall'applicazione ω è fissa, non può essere modificata, quindi agisci su ωn

ω / ωn > sqrt2

Lo ωn = sqrt(k / M), in fase di progettazione puoi variare sia l'una che l'altra.

Caso 1: vario M - maggiore è M, il denominatore aumenta e ωn diventa più piccola e viceversa. Quello che serve è aumentare M, aumenta il rapporto ω / ωn, per capire di quanto aumentare M, si riscrive il modulo della trasmissibilità:

|Tr| = sqrt((1 + (2ζ ω / ωn)²) / ((1 - (ω / ωn))² + (2ζ ω / ωn)²))

ζ = c / c_c = c / (2sqrtkM)

ωn = sqrt(k / M)

|Tr| < 0,61 = |Tr|_am

-> Risolvere la disuguaglianza

(k² + w²c²) / ((k - w²M*)² + w²c²) = 0,61

k² + w²c² = Tr²_am(k - w²M*)² + Tr²_amw²c²

M* = k / w² +/- 1 / w² sqrt((k² + w²c² - Tr²_amw²c²) / Tr²_am)

-203 kg x

772 kg v

Devo aggiungere una zavorra Delta M = M* - M = 242 kg

caso 2: cambiare la rigidezza, variando k

la massa e collegata al terreno con 2 isolatori in serie

k* = k / 2 = 7 . 10⁶ / 2 = 3,5 . 10⁶ N/m

c* = c / 2 = 17 . 10³ / 2 = 8,5 . 10³ Ns/m

Il nuovo wn = sqrt(k*) / sqrt(M) = 81,26 rad/s

w / wn* = 1,33

z = c* / (2 sqrt(k*M)) = 0,1

|Tr| = sqrt((1 + (2 z w/wn*)²) / ((1 - [w/wn*]²)² + (2 z w/wn*)²)) = 0,388 < 0,61 v

Esercizio 2

L = 1,2 m

μ = 3 kg

k₁ = k₂ = 144 N/m

k₃ = 72 N/m

c = 12 Ns/m

F(t) = F₀cos(wt), F₀ = 20 N, w = 30 rad/s

-> equazioni del moto = ?

-> wn

-> Θ₀

cerniera

deformazione dell'asta

Bilancio dei momenti rispetto al polo O

Fe1,A l/2 cosθ + Fe1,B l cosθ + Fsm,B l cosθ + Fl cosθ = I0*ddotθ

= solo di rotazione

ddotθ = acc. alta -

Momento d'inerzia = I0 = 1/3 ML² = 1,44 kgm²

-Forze elastiche e di smorzamento;

Fe1,A = -(k1+k2)xA

lo smorzamento lineare

Le molle sono in parallelo

Fe1,B = -(k3xB)

Fsm,B = -cxB

gli spostamenti sono quelli dovuti alla rotazione dell'asta -

xA = l/2 sinθ ≈ l/2

xB = l sinθ ≈ l

ẋB = l cosθ θ̇ - derivata xB = l θ̇

linearizzazione: I0*ddotθ + cL² θ̇ + ((k1+k2)/4 + k3) L² θ = FL

cosi si ha un termine relativo all'accelerazione, uno alla velocita' e uno alla posizione -

La forza F non e' una forza ma una coppia -

piccole oscillazioni: sinθ≈0

cosθ≈0

x

masse

smorz. lineari

rigidezze lineari

Forze

θ

inerzie

smorz. rotaz.

rigidezze torsionali

coppie T

c* = cL²

c* θ̇ = τ

[ ] [rad/s] = [Nm]

c* = [Nm] [s/rad] = [Nms]

unità che puoi trascurare

k* = ((k1+k2)