Meccanica applicata alle macchine

Meccanica applicata alle macchine | Terna solidale e CIR

Meccanica applicata alle macchine

Dispensa n. 2

Cinematica del corpo rigido

Terna solidale · Vincolo di rigidità · Centro di istantanea rotazione

Trascrizione e trattazione strutturata della lezione

1. La terna solidale con il corpo rigido

La lezione riprende dalla definizione di terna solidale introdotta nella lezione precedente e ne approfondisce le implicazioni. Associare una terna di riferimento mobile solidale con il corpo rigido è la mossa fondamentale che permette di semplificare drasticamente lo studio della cinematica.

1.1 Cosa significa “terna solidale”

Una terna solidale con un corpo rigido è un sistema di riferimento (origine O' con assi x', y', z') che si muove insieme al corpo: si trasla con lui e ruota con lui. In questa terna, tutti i punti del corpo rigido sono fermi, le loro coordinate relative non cambiano mai nel tempo. Descrivere il moto del corpo equivale allora a descrivere come questa terna si muove rispetto alla terna assoluta.

Nella costruzione geometrica discussa a lezione, partendo da due punti P1 e P2 si è visto che l'asse x' può essere scelto nella direzione del vettore (P2 − P1). L'asse y' è perpendicolare a x' e può essere orientato in due modi possibili (versore k' uscente o entrante nel piano della lavagna), dando luogo a due configurazioni speculari del sistema di riferimento.

1.2 La scelta del verso del versore k': informazione di montaggio

Qui il docente introduce una distinzione sottile ma importante. Nel caso del moto piano, una volta scelto se il versore k' esce o entra nel piano, quella scelta è fissa per tutta la durata del moto: il corpo non può “cappottarsi” uscendo dal piano, poiché il vincolo di moto piano lo impedisce.

Di conseguenza, la scelta del verso di k' non costituisce un grado di libertà aggiuntivo: è una semplice informazione di montaggio, ovvero una scelta iniziale che stabilisce la convenzione con cui si è costruito il modello cinematico. Una volta fissata, rimane immutata per sempre.

Analogia utile: è come scegliere se avvitare un bullone in senso orario o antiorario. Una volta scelto e avvitato, quella convenzione non cambia più: non è una variabile del problema, è una costante di configurazione.

Per il moto piano i gradi di libertà rimangono quindi soltanto 3: le due coordinate dell'origine O' (ovvero di P1) e l'angolo θ che orienta l'asse x' rispetto all'orizzontale.

GdL nel piano = 3: {x_O'(t), y_O'(t), θ(t)}

1.3 Estensione al caso tridimensionale: i 6 gradi di libertà

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Nello spazio tridimensionale il vincolo di moto piano non esiste, quindi la terna solidale può ruotare liberamente in tutte le direzioni. Il docente mostra come si arriva a 6 gradi di libertà attraverso una costruzione progressiva con 3 punti non allineati:

• Posizione di P1 (origine della terna): tre coordinate (x, y, z) 3 parametri.
• Il punto P2 giace su una sfera di raggio |P2−P1|; direzione dell'asse x' (da P1 a P2): per identificarlo sulla sfera servono due angoli θ (longitudine nel piano orizzontale) e φ (elevazione) 2 parametri aggiuntivi.
• P3 soddisfa sia |P3−P1| = costante sia |P3−P2| = costante; posizione di P3 attorno all'asse x': geometricamente giace su una circonferenza costruita attorno all'asse x' (come una trottola che ruota attorno al proprio asse). Per identificarlo su questa circonferenza serve un ulteriore angolo ψ − 1 parametro aggiuntivo.

Una volta posizionato P3, il piano del triangolo P1-P2-P3 nello spazio è completamente determinato, e con esso anche gli assi y' e z' della terna solidale. Il totale è:

GdL nello spazio = 6: {x, y, z, θ, φ, ψ} − 3 traslazioni + 3 rotazioni

1.4 Aggiunta di altri punti: saturazione dei gradi di libertà

Un risultato importante: aggiungere un quarto punto (o un quinto, un sesto, ...) al corpo rigido non aumenta i gradi di libertà del sistema. Il ragionamento è il seguente:

• Ogni nuovo punto aggiunge 3 incognite di posizione (le sue coordinate nello