Matematica generale - Teoria

Matematica generale

Nozioni generali

f: a→b = la funzione f manda l'elemento a nell'elemento b, ovvero: f(a)=b
f: a→b = funzione con dominio in a e codominio in b

Insiemi numerici

→ Concetto primitivo, quindi non si può definire se non ricorrendo a circoli viziosi
Insieme dei numeri interi e relativi → Z
Insieme dei numeri razionali → Q
→ Interpretazione geometrica: ad ogni numero razionale q, corrisponde uno e un solo punto p sulla retta r la cui distanza da o è data dal numero q

Elementi di logica

Proposizione: entità logica suscettibile ad assumere un solo valore, vero o falso

• Connettivi logici
• Negazione
• Congiunzione: Vero → entrambi veri
• Disgiunzione: Vero → almeno 1 vero
• Disgiunzione esclusiva: Vero → solo 1 vero
• Implicaizione: Falso solo quando p= Vero e q=Falso
• Doppia implicazione: Vero → entrambe vere o false

Tautologia: P è una tautologia se è vera per ogni assegnazione dei valori di verità attribuiti alle proprietà che contiene
Contraddizione: P è una contraddizione se è falsa per ogni assegnazione dei valori di verità attribuiti alle proposizioni che contiene

Implicazioni logiche e teoremi

• I teoremi hanno la forma di implicazioni (o doppie) in cui P è l'ipotesi e Q la tesi
• Espressioni significa: ⇒ - p è condizione sufficiente per q (se p è vera anche q è vera)
• q è condizione necessaria per p (se q è vera, anche p è vera)
• L'espressione significa p è condizione necessaria e ⇔ sufficiente per q

Predicati e quantificatori

Predicato: un'espressione contenente una variabile x e la cui verità dipende dai valori che attribuiamo alla variabile stessa

Trasformazione di un predicato in una proposizione:

• Sostituire la variabile con una costante
• Impiegare uno o più qualificatori

• Qualificatore esistenziale: esiste almeno un ∃ valore di x per cui un dato predicato è vero
• Quantificatore universale: per ogni valore di x ∀ rende un dato predicato vero

Elementi di insiemistica

Insieme vuoto: insieme privo di elementi
Singleton: insieme con un solo elemento

Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice che A è contenuto (o incluso) in B se ogni elemento di A è anche elemento di B → A⊆B
Si dice anche che A è sottoinsieme di B (B soprainsieme di A) → Proprietà riflessiva, antisimmetrica (principio di doppia inclusione) e transitiva
Si dice che A è strettamente contenuto in B se tutti gli elementi di A stanno anche in B ma ci sono elementi di B che non stanno in A → A⊊B
A contenuto propriamente: non tutti gli elementi di A in B

Insieme delle parti e insieme potenza

Dato un insieme delle parti o un insieme potenza di A (P(A)), l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A nA è formato da n elementi P(A) ha 2ⁿ elementi
Insieme ambiente E: è un soprainsieme per tutti gli insiemi A, B, C → R è l'insieme ambiente per tutti i sottoinsiemi numerici

Insieme intersezione

Siano A e B sottoinsiemi di E, si chiama insieme intersezione di A con B l'insieme ∩ = { ∈ : ∈ ∩ ∈ }

Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice che A e B sono disgiunti se A⋂B = Ø

Insieme unione

Siano A e B due sottoinsiemi di E, si chiama insieme unione di A con B l'insieme ∪ = { ∈ : ∈ ∪ ∈ }

Complementare di un insieme

Sia A⊆E, il complementare di A è {Ã = ∈ : ∈ ∩ ∈ } → formula di De Morgan

Insieme differenza

Dati A e B sottoinsiemi di E, l'insieme differenza tra A e B ⇒ − = { ∈ : ∈ ∩ ∉ } B-A è l'insieme formato dagli elementi che appartengono a B, non ad A
Anche il complementare di un insieme può essere visto come differenza tra l'insieme ambiente e l'insieme stesso à =⇒ −

Insieme differenza simmetrica

Dati A e B sottoinsiemi di E, l'insieme differenza simmetrica di A rispetto a B ⇒ ∆ = ( − ) ∪ ( − )

Intersezione e unione di famiglie di insiemi - caso finito

Dati n insiemi A₁, A₂, …, A_n

• Insieme intersezione =
• Insieme unione =

Intersezione e unione di famiglie di insiemi - caso infinito

Dati numero infinito di insiemi A₁, A₂, …

• Insieme intersezione =
• Insieme unione =

Ripartizione e costituenti

Dato un insieme A, diremo che la famiglia di sottoinsiemi di A {A_α} αεI è una RIPARTIZIONE di A se: ∈ = α α, per ogni alpha e beta appartenenti ad ∩ = ⊘ αβ
I sottoinsiemi sono detti COSTITUENTI → Se è una ripartizione di A, allora esiste uno e un ∈ ∈ { }α solo α ∈: ∈ α

Applicazioni

Siano A (dominio) e B (codominio) due insiemi non vuoti, un'APPLICAZIONE di f di A in B è una legge che ad ogni elemento associa uno e un solo elemento (=valore/immagine ∈ ∈ di x)
L'APPLICAZIONE COSTANTE associa ad ogni elemento ∈ sempre lo stesso ∈
Dato un qualunque insieme A, l'applicazione : → ↦ che ad ogni elemento x ε A associa l'elemento x stessi si dice APPLICAZIONE IDENTICA ( () = )

Data un'applicazione : → diremo INSIEME IMMAGINE di f l'insieme () = { ∈ : ∃ ∈ : = ()} = {(): ∈ }
Dato si dice RESTRIZIONE di f a l'applicazione ⇒ ⊆ (| ): (⊆ ) → ↦()

Un'applicazione : A → B si dice INIETTIVA se ossia se f porta ∀, ∈ ≠ ⇒ ( ) ≠ ( )
Punti distinti di A in punti distinti di B
SURIETTIVA se ossia se l'immagine di f coincide con B () = B
BIETTIVA se è sia iniettiva che suriettiva

Proprietà delle applicazioni

Proposizione: Sia : A → B un 'applicazione e siano . Allora, ⊆ valgono le seguenti relazioni

• ( ∪ ) = () ∪ ()
• Dimostrazione:
• Se allora . Pertanto ∈ ( ∪ ) ∃ ∈ ∪: = () e quindi cioè ∈ () ∨ ∈ ()
• ∈ () ∪ () ( ∪ ) ⊆ () ∪ ()
• Se allora . Dunque ∈ () ∪ () ∈ () ∨ ∈ (). Pertanto, cioè ∃: ∈ ∨ ∈ () = ∈ ( ∪ )
• ( ∪ ) ⊇ () ∪ ()
• Se uniamo il punto 1 e il punto 2 otteniamo la dimostrazione
• ( ∩ ) = () ∩ ()
• Dimostrazione:
• Sia . Allora . Pertanto ∈ ( ∩ ) ∃ ∈ ∩: () = e quindi ∈ () ∩ ()
• ( ∩ ) = () ∩ ()
• Si può sostituire con = solo nel caso la funzione sia Iniettiva ⊆

Concetto funzione iniettiva

f è iniettiva se con ∀ , ∈ ≠ ⇒ ( ) ≠ ( )
: → ⇒ ⇔ ¬ ⇒

Applicazione inversa

Sia biettiva. L'applicazione con dominio B e codominio A si: → dice APPLICAZIONE INVERSA di f. −1 −1: → ↦ () = −1
Funzione inversa ≠ reciproca di () 1 → = dominio di: ⊆ → ' = {∀ ∈: () ≠ 0} −1

Proposizione: l'applicazione inversa è biettiva
Dim: Per la suriettività di f si ha tale che . Per ∀ ∈, ∃ ∈ () = l'iniettività di f, tale che x è unico, da qui la tesi.

Il dominio di una funzione inversa coincide con l'insieme immagine della corrispondenza
Se un'applicazione f ammette l'inversa (cioè è biettiva) allora si dice che f è INVERTIBILE −1 −1 se f è invertibile lo è anche la sua inversa ⇒ ( ) = se invertibile allora A e B si possono mettere in ∃: → CORRISPONDENZA BIUNIVOCA
Se f non è suriettiva, si possono mettere in corrispondenza biunivoca e (quest'ultima è il dominio dell'inversa) ()
Il dominio di una funzione inversa coincide con l'insieme immagine della corrispondente funzione diretta f
Il dominio della funzione diretta f coincide con l'insieme immagine della relativa funzione inversa

Applicazione composta

Date due applicazioni e , si dice APPLICAZIONE COMPOSTA di f e g l'applicazione così definita: ◦ ◦: → ↦(())
Due applicazioni e sono COMPONIBILI se il: → : → codominio di f è incluso nel dominio di g è condizione definitoria per il dominio di g o f, sennò () ⊆ bisogna restringere f a un sottoinsieme D di A : f(D) B⊆

Proprietà della composizione di applicazioni

Date due applicazioni f e g, di solito avviene che ◦ ◦ ≠
Se sono componibili tra loro sia f e g che g e h, allora si ha ◦ ◦ ◦ ◦ ℎ ( ) = (ℎ )

Unicità dell'inversa

Se è biettiva allora: → −1 −1 oppure (()) = ∀ ∈ ( ()) = '∀' ∈ −1 −1 ◦ ◦ = = Teorema : l'applicazione inversa di un'applicazione, se: → esiste è unica
Dim: −1 −1 siano e due inverse di f, allora si ha 1 2 −1 −1 −1 −1 −1 −1 ◦ ◦ ◦ ◦( ) = ( ) ⇒ = 2 1 2 1 1 2

Controimmagine

Siano e C B, si dice CONTROIMMAGINE di C per la ⊆: → funzione f l'insieme −1 () = {∈ : () ∈ }
Proposizione: siano un'applicazione invertibile e x, y due: → sottoinsiemi di A, allora valgono le seguenti relazioni

• −1 −1 1. ( ∪ ) = () ∪ ()
• Dim: −1 ( ∪ ) = {: () ∈ ∪ } = {: (() ∈ ) ∨ (() ∈ )} −1 −1 = {: () ∈ } ∪ {: () ∈ } = () ∪ ()
• −1 −1 −1 2. ( ∩ ) = () ∩ ()

Insieme prodotto

Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice INSIEME PRODOTTO di A per B l'insieme, ossia l'insieme × = {(, ): ∈, ∈} costituito dalle coppie di coordinate con e (, ) ∈ ∈ 2
Se A = B, allora × = = {(, ): , ∈}
2o = piano cartesiano × Dati e una funzione , si definisce GRAFICO di f, ⊆ : → 2 l'insieme, è l'insieme costituito () = {(, ()): ∈} () ⊆ dalle coppie di coordinate con e (, ()) ∈ () ∈ ()

Relazioni

Dato un insieme E si dice RELAZIONE BINARIA in E ogni legge ℝ su che dichiara per ogni coppia di elementi x e y di E se essi × sono o non sono in relazione
x y = x è in relazione con y ℝ
x y = x non è in relazione con y ℝ

Proprietà

x ℝ x ε E → Proprietà Riflessiva ∀ xx ℝ x ε E → Proprietà Antiriflessiva ∀ xx ℝ y y ℝ x → Proprietà Simmetrica ⇒ ∀, ∈ x ℝ y Λ y ℝ x → Proprietà Antisimmetrica ⇒ = ∀, ∈ x ℝ y Λ y ℝ z x ℝ y → Proprietà Transitiva ⇒ ∀, , ∈

La relazione di uguaglianza soddisfa le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva
Sia e consideriamo x ℝ y, questa soddisfa le ⇔ ℝ = ≤ proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva
Sia e consideriamo x ℝ y, questa soddisfa le ⇔ ℝ = < proprietà antiriflessiva e transitiva
Una relazione binaria che soddisfi le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva è detta RELAZIONE DI EQUIVALENZA
Una relazione di equivalenza tra due elementi x e y si indica con x ~ y

Classi di equivalenza

Data una relazione di equivalenza in un insieme E e fissato, ∈ definiamo CLASSE DI EQUIVALENZA di x il sottoinsieme di elementi E equivalenti ad x → lo si indica con [x] e x è detto rappresentante della classe [ ] = {: ∈ ∧ ∼}

Dato un insieme E, si dice EQUIVALENZA DISCRETA una relazione di equivalenza tale che [] = {}, ∀ ∈ EQUIVALENZA NULLA una relazione di equivalenza tale che [] = , ∀ ∈
Proposizione: due classi di equivalenza o sono disgiunte o coincidono
Dim: siano e due classi di equivalenza e supponiamo che [] ['] questo vuol dire che ~ e ~ ', per la proprietà ∃: ∈ [] ∩ ['] transitiva, si ha che ~ '. Proviamo che può essere solo [] = [']:
sia (cioè w ~ x), allora per la proprietà transitiva, si ⊆ ∈ [] ha che w ~ x', ossia ∈ ['] → [] ⊆ [']: si dimostra analogamente ⊇
L'insieme delle classi di equivalenza forma una ripartizione di E

Insieme quoziente

Dato un insieme E e una relazione di equivalenza su E, l'insieme delle classi di equivalenza di E rispetto a si dice INSIEME QUOZIENTE e si indica con / ∼

Nell'insieme definiamo la seguente relazione di × ( − {0}) equivalenza, allora l'insieme quoziente (, ) ∼ (', ') ⇔ ' = ' è l'insieme Q dei numeri razionali × ( − {0}/0)

Dimostriamo che è una relazione d'equivalenza: ∼ è:
∼ riflessiva essendo (, ) ∼ (, ) = simmetrica poiché (, ) ∼ (', ') ⇒ (', ') ∼ (, ) ' = ' e si può leggere ' = '
transitiva (, ) ∼ (', ') ⇔ ' = ' (', ') ∼ ('', '') ⇔ ''' = ''' ⇔ ''' = ''' = ''' da cui, essendo ' ≠ 0 '' = '' ⇔ (, ) ∼ ('', '')

Relazioni d'ordine

Una relazione binaria che soddisfa le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva è detta RELAZIONE D'ORDINE
Una relazione d'ordine tra due elementi, si indica con e si ≺ legge 'x precede y'

• Nell'insieme delle delle parti P(E) di un certo insieme ambiente E ≺ ⇔ ⊆, ⊆ ()
• Dim: è una relazione d'ordine ≺ Riflessiva → ⊆ ∀ Antisimmetrica → ⊆ ∧ ⊆ ⇒ = ∀, Transitiva → ⊆ ∧ ⊆ ⇒ ⊆ ∀,
• In R ≺ ⇔ ≤
• Nell'insieme delle funzioni definite su un certo E R e a valori ⊆ reali non negativi, una relazione d'ordine è, ovvero f precede g se e solo se il ≺ ⇔ () ≤ () grafico di f non sta mai sopra a quello di g

Se tutti gli elementi di un insieme E sono due a due confrontabili si dice che è una RELAZIONE D'ORDINE TOTALE (in E) ed E è ≺(totalmente) ORDINATO MASSIMO E MINIMO