Riassunti teoria matematica generale

Intorno circolare e insiemi

Intorno circolare: un intorno circolare di centro x0 e raggio delta è l’insieme di punti che hanno una distanza dal centro minore di delta.

Punto interno: un punto x0 è interno all’insieme A se esiste un intorno di x0 interamente contenuto in A.

Punto di frontiera: un punto x0 è di frontiera rispetto all’insieme A se ogni suo intorno contiene punti appartenenti e non appartenenti ad A.

Punto di accumulazione: un punto x0 è di accumulazione dell’insieme A se in ogni suo intorno sono contenuti punti diversi da x0.

Punto isolato: un punto x0 è isolato dell’insieme A se esiste un intorno in cui è contenuto solo x0.

Insieme aperto: un insieme A è aperto se tutti i suoi punti sono interni.

Insieme chiuso: un insieme A è chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera.

Insieme limitato: un insieme A è limitato se esiste un intorno di raggio finito che lo contiene.

Insieme illimitato: insieme che non è limitato.

Insieme convesso: un insieme A è convesso se è possibile prendere due punti arbitrari di A e congiungerli con un segmento interamente contenuto in A.

Funzioni, dominio e grafico

Funzione: legge o regola che ad ogni elemento dell’insieme X detto dominio associa uno ed un solo elemento dell’insieme Y detto codominio.

Campo di esistenza: insieme più grande dei numeri reali in cui ha significato calcolare la funzione. È deciso dalla funzione stessa.

Dominio di definizione: insieme più piccolo dei numeri reali in cui è definita la funzione. È deciso dall’esercizio.

Grafico di una funzione: è l’insieme delle coppie (x, y) ottenute al variare di x nel dominio di definizione.

Massimi e minimi

Punto di massimo assoluto: un punto x0 è di massimo assoluto per una funzione f se la funzione è ≤ alla funzione nel punto per ogni x appartenente al dominio.

Punto di minimo assoluto: un punto x0 è di minimo assoluto per una funzione f se la funzione è ≥ alla funzione nel punto per ogni x appartenente al dominio.

Punto di massimo relativo: un punto x0 è di massimo relativo per una funzione f se esiste un intorno I del punto tale che la funzione è ≤ alla funzione nel punto per ogni x appartenente all’intorno intersecato il dominio.

Punto di minimo relativo: un punto x0 è di minimo relativo per una funzione f se esiste un intorno I del punto tale che la funzione è ≥ alla funzione nel punto per ogni x appartenente all’intorno intersecato il dominio.

Punti di massimo/minimo relativo/assoluto stretto: le definizioni sopra descritte senza l’uguale.

Limiti

Limite: può essere calcolato anche se la funzione non è definita in quel punto. (sia f che va dal �dominio a R e x0 punto di accumulazione per il dominio). Il limite di x che tende a x0 è uguale a � �se per ogni epsilon > 0 esiste un delta > 0 tale che – epsilon < f(x) < + epsilon per ogni x appartenente (x0 – delta, x0 + delta) con x ≠ x0.

Teorema dell’unicità: se esiste il limite di x che tende a x0 di una funzione allora questo è unico.

Limite destro: (sia f che va dal dominio a R e x0 punto di accumulazione per il dominio). Si ha il limite se per ogni epsilon > 0 esiste un delta > 0 tale che ogni x appartiene (x0, x0 + delta).

Limite sinistro: (sia f che va dal dominio a R e x0 punto di accumulazione per il dominio). Si ha il limite se per ogni epsilon > 0 esiste un delta > 0 tale che ogni x appartiene (x0 – delta, x0).

Teorema limiti: (sia f che va dal dominio a R e x0 punto di accumulazione per il dominio). Il �limite di una funzione è = se e solo se il limite destro = limite sinistro.

Se il limite di una funzione = +∞ allora la funzione stessa non ammette massimo assoluto.

Continuità e teoremi fondamentali

Continuità di una funzione: una funzione f è continua in x0 se il limite di x che tende a x0 di f(x) = f(x0).

La funzione in generale è continua solo se lo è per ogni x0 appartenente al dominio.

Teorema della permanenza del segno: (sia f che va dal dominio a R e x0 punto di accumulazione per il dominio). Se il limite di x che tende a x0 di f(x) ≠ 0 allora esiste un intorno I di x0 tale che f(x) assume lo stesso segno del limite per ogni x appartenente all’intorno, x ≠ x0. 

Teorema di Weierstrass: (sia f che va da [a,b] (insieme chiuso e limitato) R) Se f è continua allora f ammette massimo e minimo valore e tutti i valori compresi tra i due.

Teorema degli zeri: uno zero di una funzione f è un punto x0 tale che f(x0)=0.

Quindi quando f è una funzione definita e continua sull’intervallo chiuso e limitato [a,b], dove a e b con segno discorde, esiste un punto c appartenente all’intervallo tale che f(c)=0.

Derivata e tassi di variazione

Tasso variazione medio (T.V.M.): coefficiente della retta secante passante per( ) −f (f x x 0)(x )∆ f(x0, f(x0)) e (x, f(x)). = (rapporto incrementale)x−x 0∆x

Tasso variazione istantaneo (T.V.I.) o derivata prima: limite, se esiste finito, del rapporto incrementale o tasso di variazione medio. Questo tasso considera una variazione in un( )−f (xf x 0)tempo ristretto. . Se questo limite esiste ed è finito diremo che la funzione èlim x−x 0x→x 0derivabile.

Teorema del rapporto tra continuità e derivabilità: (sia f che va dal dominio a R e x0 appartenente al dominio) se una funzione è derivabile in un punto x0 è anche continua in x0 ma non viceversa.

Applicazioni del concetto di derivata

• Trovare l’equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare non dato: ( ) =fy−f x 0 '( x 0)( x−x 0)
• Stabilire se una funzione definita a tratti è derivabile: dopo aver stabilito che la funzione è continua nel punto di congiunzione, resta da controllare se è derivabile nel punto di congiunzione. È necessario calcolare la derivata di ciascuna funzione e la derivata della funzione che passa per il punto di congiunzione e se tutte sono uguali la funzione è derivabile;
• Calcolare l’elasticità puntuale di una funzione: essa stima la variazione percentuale di una funzione a fronte di una variazione percentuale unitaria della variabile indipendente. Se l’elasticità è < 0 la domanda è inelastica, altrimenti sarà elastica. x 0' ( )¿ ∨¿f x 0 × ( )f x 0
• Calcolare il costo e il ricavo marginale di una funzione costo o ricavo in economia.

Teoremi sulle derivate

Teorema di Fermat: (sia f che va dal dominio a R) Se x0 punto interno e punto di massimo o minimo relativo per f e f funzione derivabile in x0 allora la derivata è uguale a 0. Questo teorema non vale al contrario.

Teorema di Rolle: (sia f: [a,b] in R) funzione definita e continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] e derivabile nell’intervallo aperto (a,b) e f(a)=f(b). Se queste ipotesi sono verificate allora esiste un punto x0 appartenente (a,b) tale che f’(x0)=0. Riprendendo anche il teorema di Weierstrass che afferma che se la funzione è definita nell’intervallo chiuso e limitato ammette massimi e minimi valori, possiamo distinguere 3 casi:

• M=m, f è costante e f’(x)=0 per ogni x appartenente all’intervallo aperto e la tesi è dimostrata;
• ≠ ≠ M m e M f(a)=f(b), allora esiste un punto x0 interno all’intervallo aperto tale che f(x0)=M ovvero esiste un punto di massimo assoluto e quindi relativo;
• ≠ M m e M=f(a)=f(b), allora esiste un punto x0 di minimo assoluto ovvero f(x0)=m, poiché x0 appartiene all’intervallo aperto (a,b) ed è di minimo relativo.

Teorema di Lagrange: (sia f: [a,b] in R) funzione definita e continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] e derivabile nell’intervallo aperto (a,b) allora esiste un punto x0 appartenente( )−f (f b a)all’intervallo aperto (a,b) tale che f’(x0)= . Conseguenze:b−a

• I. (sia f una funzione definita e continua su un intervallo I e derivabile nei punti interni all’intervallo). Se f’(x)=0 per ogni x interno ad I allora f è costante per ogni x appartenente ad I.
• II. (sia f una funzione definita e continua su un intervallo I e derivabile nei punti interni all’intervallo). Se f’(x)>0 per ogni x interno all’intervallo allora f è crescente. Se f’(x)<0 per ogni x interno all’intervallo allora f è decrescente.

Regola di de l’Hopital

Regola di de l’Hopital: per utilizzarla occorre che:

• F e g siano derivabili in un intorno di un punto x0;
• ≠ G’(x) 0 per ogni x dell’intorno( )=¿f x 0( )=¿ ¿f x lim ∞ ∞- o o -x→ x 0¿limx→x 0(x)f 0 ∞olim ∞ ∞/∞

Quindi = o 0* (trasformandolo in 0/0 o ). A questo punto è0 ∞(x)gx → x 0possibile applicare de l’Hopital.

(x) (x) ( )f ' f f ' x=lim lim limSe esiste allora( (x) (x)g ' x) g g 'x→x 0 x→x 0 x→ x 0

Funzioni concave e convesse

Funzioni concave e convesse: (sia f da A in R con A contenuto in R, insieme aperto e convesso e f di classe C1 ovvero derivabile e la sua derivata è una funzione continua)

( ) ( ) + (f x ≥ f x 0 f ' x 0)(x−x 0) F è convessa se e solo se per ogni x e x0 appartenenti ad A.

( ) ( ) +f (xf x ≤ f x 0 ' 0)( x−x 0) F è concava se e solo se per ogni x e x0 appartenenti ad A.

Da un punto di vista geometrico se f è convessa il suo grafico non sta mai al di sotto della retta tangente al grafico, qualunque sia il punto x0. Se è concava viceversa.

Teorema caratterizzazione al II ordine: sia f che va da A a R ed A contenuto in R e f di classe C2 (derivata prima derivabile e derivata seconda una funzione continua): f è convessa se e solo se f’’(x)>0 per ogni x appartenente ad A f è concava se e solo se f’’(x)<0 per ogni x appartenente ad A

Punto di flesso: punto in cui si verifica un cambio di concavità/convessità.

Asintoti

Asintoti verticali: limite di x che tende ai valori esclusi dal dominio e deve venire infinito.

Asintoti orizzontali: limite di x che tende a -infinito (sinistro) o +infinito (destro) e deve venire un numero finito.

Asintoti obliqui: possono esserci solo se non esistono asintoti orizzontali e quindi se il limite di x che tende a infinito è uguale a infinito. Hanno come equazione y=mx+q. La m si calcola( )f xlim ≠ 0facendo xx →∞ ( )−mxlim f x ≠ ∞ Q invece si trova facendo x →∞

Convessità e concavità di funzioni costo e ricavo

• Se una funzione Ct(x) è convessa, allora ad un aumento proporzionale della quantità prodotta x corrisponde un aumento proporzionale o più che proporzionale dei costi.
• Se la funzione Ct(x) è concava, allora ad un aumento proporzionale della quantità prodotta x corrisponde un aumento proporzionale o meno che proporzionale dei costi.
• Se la funzione R(x) è convessa allora un aumento proporzionale della quantità venduta x corrisponde un aumento proporzionale o più che proporzionale dei ricavi.
• Se la funzione R(x) è concava allora un aumento proporzionale della quantità venduta x corrisponde un aumento proporzionale o meno che proporzionale dei ricavi.

Proprietà delle funzioni convesse

Teorema I proprietà delle funzioni convesse: (sia f che va da A a R e A contenuto in R, A aperto e convesso e f derivabile in A). Se f è una funzione convessa e x0 appartiene ad A è punto critico per f, allora x0 è punto di minimo assoluto di f su A.

( ) ( (xf x ≥ f x 0)+ f ' 0)(x− x 0)

Dimostrazione: essendo f convessa si ha: per ogni x e x0 appartenente ad A. Sostituendo il generico punto x0 con il punto critico, la disuguaglianza diventa ( ) ( (f x ≥ f x 0)+ f ' x 0)(x− x 0) per ogni x appartenente ad A. Poiché per ipotesi f’(x0)=0 si ha f(x)≥ f(x0) per ogni x appartenente ad A da cui la tesi.

Teorema II proprietà delle funzioni convesse: (sia f che va da A a R, A aperto e sia I=[a, b] un intervallo contenuto in A e f derivabile in A). Se f è convessa nell’intervallo e x0 appartenente ad I è punto di minimo relativo per f sull’intervallo I, allora x0 è punto di minimo assoluto di f su I.

Dimostrazione teorema degli zeri

• Per il teorema di Weierstrass, f ammette valore massimo e minimo. Indichiamo con M il valore massimo e m con il valore minimo. (a)f (b)<0 (a) (b)f f e f
• Poiché hanno segno discorde (a) (b) m<0m≤ f m≤ f
• Di conseguenza, poiché e si ha >(a) (b) M 0M ≥ f M ≥ f
• Analogamente, poiché e si ha >m<0 M 0
• Poiché per il teorema di Weierstrass f assume tutti i valori compresi tra e , ( ) ( )=0∈c a , b f cesiste un punto tale che .

Sul quaderno (teoria):

• Azioni;
• Borsa;
• FTSE MIB;

Dimostrazione teorema della permanenza del segno

Per definizione di limite si ha che per ogni epsilon > 0 esiste un delta > 0 tale che:

( )( )<l ∀ ∈+ −δ +δl−E< f x E x x , x x ≠ x0 0 0

Possono esserci 2 casi:

• l>0 E<l1) Se , la tesi è dimostrata scegliendo . In questo caso infatti si ottiene ( )∀ ∈ −δ +x x , x δ x ≠ x( )<f <l+l−E> 0 0<l−E x Ee quindi 0 0 0
• l<0 E←l2) Se , la tesi è dimostrata scegliendo . In questo caso infatti si ottiene ( )∀ ∈ −δ +x x , x δ x ≠ x( )<l+l+ E<0 l−E< f x E< 0e quindi 0 0 0

Dimostrazione teorema del rapporto tra continuità e derivabilità

xInnanzitutto bisogna stabilire se la funzione è continua in . Per farlo bisogna calcolare:0

( )−¿ ( ) ( )+f x f x 0 f x 0( )lim f x che è uguale a dire ¿limx→x 0 x→ x 0x−x ≠ 0

Poiché possiamo scrivere:0

( )−f ( )f x x 0 ( ) ( )+flim x−x 0 x 0x−x 0x→x 0

Siccome:

• ( ) è una funzione continua, il suo limite è = 0;x−x 0
• ( ) ( ) è una funzione costante, il suo limite è =f x 0 f x 0
• ( ) ( )−ff x x 0 ( )essendo il rapporto incrementale è uguale a f ' xx−x 0

Quindi otteniamo:

'( )=f ( ) ( )=f ( )f x x × 0+¿ f x 0 x 0¿limx → x0

Dimostrazione teorema di Lagrange

Consideriamo la funzione:

( )−f ( )f b a( )=f ( )− (F x x x−a)b−a

Osserviamo che F è definita e continua su [a,b] poiché somma di funzioni continue, infatti:

• f(x) è continua per ipotesi
• ( )−f ( )f b a è continua poiché polinomio di I grado( x−a)b−a
• ( )−f ( )f b a (F è derivabile su (a,b) perché f(x) è derivabile su (a,b) per ipotesi e x−a)b−a poiché polinomio di I grado, da cui segue che F è somma di funzioni derivabili.

( ) ( )−ff b a( )=f ( )− ( )=f ( )F a a a−a ab−a

( ) ( )−ff b a( )=f ( )− ( )=f ( )−f ( ) ( )=f+ (a)F b b b−a b b f ab−a ∃ ∈(ax ,b)F verifica le ipotesi del teorema di Rolle e quindi tale che F’(x)=00

( )−f ( )f b a( )=f ( )−F ' x ' x b−a

( )−f ( )f b a( )−∃ ∈(a )=0=fx ,b) F '( x ' xDa cui tale che0 b−a

( )−f ( )f b a( )=f ' x 0Da cui b−a

Dimostrazione II conseguenza di Lagrange

xx∀ ∈ <x , x I x xSi deve dimostrare che con si ha (¿¿f 2)1 2 1 2 (¿¿f 1)<¿¿x e x

Consideriamo due punti arbitrari dell’intervallo I e applichiamo il teorema di Lagrange ad f1 2x , x x , x x , xnell’intervallo [ ]. Infatti per ipotesi f è continua in [ ] e derivabile in ( ). Per il1 2 1 2 1 2∈(x )x , xteorema di Lagrange esiste un punto tale che:0 1 2

( ) ( )−ff x x2 1( ) =f ' x 0 −xx 2 1

( ) >0f ' xPer ipotesi per ogni punto interno ad I e quindi0

( ) ( )−ff x x2 1 >0−xx 2 1

( ) ( ) ( ) ( )< −x > −f > >x x x 0 f x x 0 f x f xEd essendo si ha e quindi ovvero1 2 2 1 2 1 2 1

Algebra lineare: matrici

m× n

Matrice: una matrice A è una tabella ordinata di elementi disposti su m righe e n colonne. Ogni elemento è denotato con a dove i rappresenta l’indice di riga e j l’indice di colonna.ij

Matrici uguali: matrici A e B sono uguali quando hanno la stessa dimensione e se a = b per ogni i,j.ij ij

[ ] [ ]−4 −43 3A= B=2 0 2 0

Sottomatrice: una sottomatrice di una matrice A è la matrice che si ottiene cancellando da A righe e/o colonne.

2 3 7 2 3 7A= B=−40 10 −91 13−91 13 T

Matrice trasposta: si dice trasposta di A e si indica con A la matrice ottenuta da A scambiando ordinatamente le righe con le colonne.

2 3 7 2 0 1A= B=−4 −40 10 3 13−9 −91