Matematica generale

Matematica generale

Gli insiemi

Sono composti da elementi individuati in base ad una certa specificazione.

A = {a, b, c}

Diagramma di Venn

Relazioni tra insiemi

Uguaglianza

Insiemi con gli stessi elementi.

A = B

Inclusione

Ogni elemento di A è anche elemento di B.

A ⊆ B

Inclusione stretta

A ⊆ B ma esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A.

A ⊂ B

Insieme delle parti

È costituito da tutti i suoi sottoinsiemi; P(A).

Se A è formato da n elementi, P(A) è costituito da 2ⁿ elementi.

A = {1, 2}

P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

Operazioni tra insiemi

Unione

A ∪ B = {X: X ∈ A ∨ X ∈ B}

(∨ = oppure)

Intersezione

A ∩ B = {X: X ∈ A ∧ X ∈ B}

(∧ = tale che...)

Se A ∩ B = ∅ gli insiemi sono disgiunti.

Complementare

A^c ⊆ U (U: insieme universo)

A^c = A = {X: X ∈ U ∧ X ∉ A}

Matematica generale

Gli insiemi

Sono composti da elementi individuati in base ad una certa specificazione.

A = {a, b, c}

Diagramma di Venn

Relazioni tra insiemi

Uguaglianza insiemi con gli stessi elementi.

A = B

Inclusione ogni elemento di A è anche elemento di B.

A ⊆ B

Inclusione stretta A ⊆ B ma esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A.

A ⊂ B

Insieme delle parti

È costituito da tutti i suoi sottoinsiemi; P(A).

Se A è formato da n elementi, P(A) è costituito da 2ⁿ elementi.

A = {1, 2}

P(A) = {∅, {1}, {2}, {1,2}}

Operazioni tra insiemi

Unione A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

(∃: tale che...)

(∨: oppure)

Intersezione A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

(A = ∅)

Se A ∩ B = ∅ gli insiemi sono disgiunti.

Complementare A ∪ U (U: insieme universo)

A^C = A̅ = {x : x ∈ U ∧ x ∉ A}

Differenza insiemistica

A \ B : {x : x ∈ A ∧ x ∉ B }

Classificazione degli insiemi numerici

Numeri naturali

N = {0, 1, 2, ... }

Numeri interi relativi

Z = {..., -2, -1, 0, +1, +2, ...}

Numeri razionali

Q = { m/n con m, n ∈ N, n ≠ 0}

Gli insiemi N e Z sono discreti: non sempre tra due elementi è composto un altro elemento. L’insieme Q è denso: dati q₁ e q₂∈Q esiste sempre q₃∈Q (q₃ = (q₁+q₂)/2). R\Q è discontinuo: si può trovare un numero non razionale (√2 ∉ Q).

Numeri reali

R: √2∈R, e∈R, π∈R

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Le disequazioni

Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni. L’obiettivo è trovare l’intervallo di valori da dare all’incognita affinché la disequazione sia soddisfatta.

Disequazione razionale intera di I grado

5X - 3 > 2X > 1 X ∈ ]1, +∞[ determinato

Disequazione razionale fratta di I grado

2X + 1 ≤ 0

X - 3

2X + 1 ≤ 0 → X ≤ -1/2

X > 3 → X > 3

-1/2 ≤ X

Disequazioni di secondo grado

-5x² + 3x + 2 ≥ 0

Δ = b² - 4ac = 49

x_1,2 = ^{-b ± √Δ}/_2a = ^{3 ± 7}/₁₀ ⇒ x₁ = -²/₅ x₂ = 1

Se: Δ = 0 una sola soluzione x = - ^b/_2a

Δ ≥ 0 due soluzioni reali e distinti (x₁, x₂)

Δ

Disequazioni con valore assoluto

|x| = {x se x ≥ 0} {-x se x <

1. |x + 3| = 1{x + 3 se x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3}{-x - 3 se x + 3
2. |x + 4| {x + 4 se x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ -4}{-x - 4 se x + 4
3. {x - 4 {-x - 4 x x x - 7 -5 -5 -5 -5 -5

3) |x + 3| < |x - 4|

|x + 3| = { x + 3 se x + 3 >= 0 => x >= -3 -x - 3 se x + 3 < 0 => x < -3 }

|x - 4| = { x - 4 se x - 4 >= 0 => x >= 4 -x + 4 se x - 4 < 0 => x < 4 }

1){ x < -3 -x - 3 < -x + 4 { x < -3 3 < 4 x < -3

-3 4x < -3

2){ -3 < x < 4 x + 3 < x + 4 { -3 < x < 4 x < 2 -3 2 4

-3 < x < 1/2

x < 1/2

3){ x >= 4 x + 3 < x - 4 { x >= 4 3 < -4 -4 3 4