Logaritmi e funzioni goniometriche

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Logaritmi

log_ab ⇔ a^x = b

Proprietà di a

a ≠ 1

a > 0 per le funzioni logaritmiche

Proprietà

• log_a(x · y) = log_ax + log_ay
• log_a(^x⁄_y) = log_ax − log_ay
• log_ax^m = m · log_ax
• log_ab⁻¹ = log_a¹⁄_b
• log_ab⁻¹ = −log_ab
• log_a^mx = ¹⁄_m · log_ax
• a^log_ax = x
• log_aa = 1
• log_a1 = 0
• log_ab^m = m · log_ab
• log_ab = ^log_cb⁄_logca

Cambiamento di base

Angoli noti

Formule goniometriche

Addizione e sottrazione

sin(α + β) = sinα · cosβ + sinβ · cosα

sin(α - β) = sinα · cosβ - sinβ · cosα

cos(α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ

cos(α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ

tan(α - β) = tanα - tanβ / 1 + tanα·tanβ

tan(α + β) = tanα + tanβ / 1 - tanα·tanβ

Duplicazione

sin(2α) = 2sinα · cosα

cos(2α) = cos²α - sin²α = 1 - 2sin²α = 2cos²α - 1

tan2α = 2tanα / 1 - tan²α

cos²α = (1 + cos2α) / 2

Bisezione

sinα/2 = ±√ 1-cosα / √ 2

cosα/2 = ±√ 1+cosα / √ 2 con sinα ≠ 0

tanα/2 = sinα / 1+cosα = ±√ 1-cosα / sinα = ±√ 1-cosα / √ cosα

Relazioni e def fondamentali

-1 ≤ sin α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

1. cos²α + sin²α = 1

2. tan α = sinα / cosα

3. cosα = ±√ 1 - sin²α = ±1/√ 1 + tan²α

4. sinα = ±√ 1 - cos²α = ±tanα / √ 1 + tan²α

5. secα = 1 / cosα

6. cscα = 1 / sinα

7. cotα = cosα / sinα = 1 / tanα

Formule parametriche

Val α per cui tanα è definito, cioè per α ∉ π/2 + kπ

sinα = 2t / 1 + t²

cosα = 1 - t² / 1 + t²

tanα = 2t / 1 - t²

con tanα/2 = t in -π

sinα = 2t / 1 + t²

cosα = 1 - t² / 1 + t²

tanα = 2t / 1 - t²

Formule di Werner

sinα sin β = ½ [cos(α-β) - cos(α+β)]

cosα cos β = ½ [cos(α+β) + cos(α-β)]

Formule di prostaferesi

sinα + sin β = 2 sin _α+β² cos _α+β²

sinα - sin β = 2 sin _α-β² cos _α+β²

cosα + cos β = 2 cos _α+β² cos _α-β²

cosα - cos β = -2 sin _α+β² sin _α-β²

Equazioni goniometriche

Elementari

sinx = m   con -1 ≤ m ≤ 1   ⇔   x = α + 2kπ   ∨   x = π-α + 2kπ   con α = arcsin m

cosx = m   con -1 ≤ m ≤ 1   ⇔   x = ±α + 2kπ   con α = arccos m

tanx = m   con m ∈ R   ⇔   x = α + kπ   con α = arctan m

Lineari

asinx + bcosx + c = 0   con a ≠ 0   b ≠ 0

distinguendo due gruppi:

c ≠ 0   vi sono 3 metodi risolutivi:

• Utilizzo formule parametriche
• Pongo cosx=X e sinx=Y e risolvo il sistema
• Trasformo l'equazione nella forma Asin(x+ϕ)+B=0

c = 0

Si usa il metodo abbreviato. Si riconduce all’equazione equivalente. atanx+b=0 dividendo i due membri per cosx.