Analisi matematica - potenza e logaritmi

Funzione potenza

Esponente intero

Siano m, n interi. Si ottiene:

• 1. yⁿ = x^n/m, n, m ∈ ℕ
• 2. radice, m√x = x^1/m, m a denominatore
• 3. 1/xⁿ = x^-n

Proprietà:

• 1. x^m * xⁿ = x^m+n
• 2. (x^m)ⁿ = x^m*n = x^n*m
• 3. x^m/xⁿ = x^m-n
• 4. (M * y)ⁿ = mⁿ * yⁿ

Attenzione: (x*y)ⁿ ≠ xⁿ * yⁿ.

Se n*x² > 0 se x pari.

Se n*x² ≤ 0 se x dispari, x pari.

5. ∑ cos(x) ⇒ xⁿ ≤ yⁿ ⇒ ≥

Grafico di funzione in potenza con n intero

x³ pari x⁽³⁾ dispari.

Funzione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (y).

Crescente nell’intervallo [0;+∞).

Decrescente nell’intervallo (-∞;0].

Crescente se m₁ ≤ n₂ f(m₁) ≤ f(n₂).

Decrescente se m₁ ≥ n₂ f(m₁) ≥ f(n₂).

∆q(m) = f(n).

Funzione potenza

Esponente intero

Siano m, n ∈ ℤ ∀ x ∈ ℝ.

xⁿ = x^n-1 ⋅ x, n ≠ 0, base x ≠ 0.

x⁰ = 1.

x^-n = ¹/_xⁿ ∀ x ∈ ℝ.

√x ∈ ℝ.

x^m ⋅ xⁿ = x^m+n.

Proprietà:

• 1. (x^m)ⁿ = x^{m ⋅ n}
• 2. x^m ⋅ y^m = (x ⋅ y)^m
• 3. xⁿ = ¹/_x^1/n
• 4. (m⋅y)ⁿ = n ⋅ y^m = x^m = ¹/_m^-n

Attenzione: (n ⋅ y)ⁿ ≠ nⁿ ⋅ yⁿ.

Se n⋅n>0 se n è pari ∀ n ∈ ℝ.

Se n²y → yⁿ.

Grafico di funzione potenza con n intero

"n" pari y = xⁿ.

"n" dispari y = xⁿ.

Funzione simmetrica rispetto all'asse y, simmetrica rispetto all'origine.

Funzione ordini x.

Crescente nell'intervallo (0; +∞).

Decrescente nell'intervallo (-∞;0].

Crescente se n₁ 2 f(m₁) ≤ f(m₂).

Decrescente se n₁ 2 f(m₁) ≤ f(m₂).

∀ q(m) = f(¬n).

Funzione pari f(n) = f(-n).

Funzione dispari f(n) = -f(-n).

∀n ∈ ℝ.

f(0) = -f(0) = 0.

Tutte le funzioni dispari passano per zero (0,0).

Radici e n-esimo intero

Radici e n-esimo intero: o codici. inversa o decodifica. a potenza.

\(\sqrt[n]{n^n} = (n^m)^{n/m} \)

\(y = \sqrt[n]{y^n} = y\)

\( \sqrt[n]{y^n} \leftrightarrow y \Leftrightarrow y^n = n \)

Se n è dispari.

\(\sqrt[n]{n^n} = y\) ; \(y^n=n\)

\( \left\{ \begin{array}{c} y^n = n^n \\ -y^n = n^n \end{array} \right. \) se \(n \notin \mathbb{R}\) non distanti.

Perché sa una funzione.

Potenza ad esponente frazionario

\(a^{b/c} \cong (a^b)^{1/c}\) con \(\large{a \in \mathbb{Z}}\)

a = \(\sqrt[3]{2} \sqrt[5]{2} \)= 2 a = \(\sqrt[3]{4} \)= 2= \(\left( \frac{2^{5/2}}{2} \right)^{1/4} \)

Equazioni e disequazioni esponenziali

• \(\sqrt[n]{a(n)} = b(n)\)
• \(a(n) > 0\)
• \(b(n) > 0\)
• \(a(n) = [b(n)]^{n}\)
• \(n\) pari e non nullo
• \(\sqrt[n]{a(n)} = b(n)\)
• \(a(n) = [b(n)]^{n}\)
• \(n\) dispari

Esempio: \(\sqrt[3]{n+1} = -2\)

Definita \(\forall n \in \mathbb{R}\)

\(n+1 = (2)^{3}\)

\(n+1 = 8 \quad \Rightarrow \quad n = 9\)

Disequazioni pari ed n pari non nullo

• \(\sqrt[n]{a(n)} \leq b(n)\)
• \(a(n) \geq 0\)
• \(b(n) \geq 0\)
• \(a(n) \leq [b(n)]^{n}\)
• \(\sqrt[n]{a(n)} > b(n)\)
• \(a(n) > 0\)
• \(a(n) > [b(n)]^{n}\)
• \(0\( 0n² + 9 < 0-n² + 16 - n² ≤ 0(4+n)(4-n)-4 < n < 4 ^n/k 4

Funzioni esponenziali

Funzioni di potenza e funzione esponenziale

• 1. _a¹ = a
• 2. _aⁿ = _aⁿ ∀ n &in; &reals;

Se a ≥ 0 e n ∈ &naturals; a² > 0.

Se a ≤ 0 e n ∈ 2&naturals; a^r = a^n-1.

({a}^n)' > 0.

• 3. _aⁿ × _aⁿ = _aⁿ × _aⁿ
• 4. _(aⁿ)¹ = _aⁿ
• 5. _a^n-y = _aⁿ / _a^y
• 6. _a^n-r = _{1 / a^m-r}

(a)^{1/n} &neq; 0.

8.8.1. Se 0 < a < 1 allora se n > y allora _aⁿ > _a^y.

8.2. Se a > 1 allora se n > y → _{a^{2(a)(1 logan > logay (>= decres)}}.

6.2 Se a > 1 allora o x y => log_an ay (cresc).

0 y⁄_n delucidante ∀ _n1 ∈ ℝ, log_an₁ ≥ log_an₂.

Equazioni esponenziali e logaritmiche

Metodo algebrico

Metodo algebrico. Incognita all'esponente.

• a^(f(n)) = b^(g(n))
• (Stessa base) ⇒ f(n) = g(n) Eq. algebrica
• (Stesso esponente) ⇒ f(n) = 0 Eq. algebrica
• a^(f(n)) = a^(g(n))
• (Stesso esponente) ⇒ f(n) = g(n)

(usi le proprietà dei log) ⇒ f(n) log_a = g(n) log_b Eq. algebrica.

Esercizio

Esercizio:

n + 2. 2n - 1 =5 = 0.

n = 3 = 0 n = 3.

n = era.

Esercizio

Esercizio ³⁄_uⁿ + ^u⁄₃ⁿ = ²⁵⁄₁₂.

³⁄_uⁿ + ³⁄_u^-n = ²⁵⁄₁₂.

³⁄_u²ⁿ + ³⁄_u⁰ = ²⁵⁄₁₂ [3⁄u]ⁿ.

³⁄_u²ⁿ - ²⁵⁄₁₂[3⁄u]ⁿ + 1 = 0.

[³⁄_u]ⁿ = t.

t² - ²⁵⁄₁₂t + 1 = 0.

t² - 25t + 12 = 0.

Δ = 625 - 576 = 49.

t_1,2 = ^{25 &pm; √49}⁄_2u = ^{25 &pm; 7}⁄₂₄.

³²⁄₂₄ = ^u⁄₃.

¹⁸⁄₂₄ = ³⁄₈.

• [³⁄_u]ⁿ = ^u⁄₃ => n = 1
• [³⁄_u]ⁿ = ³⁄_u => n = 1

Esercizio

Esercizio ^{2 + √16}⁄_{1 - √16} = ¹⁄₂.

^{2 + 2√n}⁄_{1ⁿ * 2^√2n} = ¹⁄₂.

e ²⁄_{u + 2t} = t.

^{2 + 2√n}⁄_{u - t} - ¹⁄₂ => ^{2 + t(2)}⁄_2(u-t) = (^{u - t}⁄₂).

2t + t = 10 = 0.

Δ = x + 80 - 81.

t = ^{u + 9}⁄₄ - ⁹⁄₂.

Equazioni logaritmiche

log_a f(n) = log_a g(n) <=> f(n) = g(n).

f(n) > 0.

g(n) > 0.

Non si possono calcolare log dei numeri negativi o zero.

n² + u > 0 ∀ n ∈ ℝ.

5n > 0 n > 0.

Esercizio 1

Esercizio 1.

log (n² + u) = log 5n.

n² + u = 5n.

n² - 5n + u = 0.

n = 5 ± √9 / 2.

n₁ = 1 ok.

n₂ = 4 ok.

log (n²-1) / log (2n-n²) = 1/2.

m² - 1 > 0.

2n - n² > 0.

log (2n-n²) ≠ 0.

(n+1)(n-1)>0.

(∀n-1)(∪) (∀2-n)(∪2,n,n) > 0.

2-1 n ≠≥ 1.

n² - 1 > 0.