Lista completa Dimostrazioni e teoremi di Analisi e geometria 1 (21/22)

ANALISI E GEOMETRIA

TEOREMI DA SAPERE CON DIMOSTRAZIONE

A) NUMERI REALI E COMPLESSI:

1. IRRAZIONALITÀ DI √2

NON ESISTE UN NUMERO RAZIONALE x ∈ Q TALE CHE x² = 2 CIOÈ PER OGNI x ∈ Q VALE x² ≠ 2, x ≠ √2.

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO:SUPPONIAMO CHE ESISTE x ∈ Q CON x²=2.

DETTO CHE x ∈ Q x = m/n RIDOTTO AI MINIMI TERMINI m,n ∈ Zx² = m²/n² = 2 → m² = 2n²

m = 2 PQ(q), m° È PARIm = 2mi CON mi ∈ N → 2n² = (2mi)² → n = (mi)² → n È PARI

QUINDI m/n NON È RIDOTTO AI MINIMI TERMINI: ASSURDO

2. FORMULA DI DE MOIVRE (PRODOTTO E DIVISIONE)

SIANO z₁ = r₁ [cos (φ₁) + i sin (φ₁)]z₂ = r₂ [cos (φ₂) + i sin (φ₂)]

NUMERI COMPLESSI

ALLORA

• z₁ ∙ z₂ = r₁ ∙ r₂ [cos (φ₁ + φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂)]
• z₁/z₂ = r₁/r₂ [cos (φ₁ - φ₂) + i sin (φ₁ - φ₂)] (SE z₂ ≠ 0)

DIMOSTRAZIONE (USANDO FORMULE DI ADDIZIONE SENO E COSENO)

• PRODOTTO: z₁ ∙ z₂ = r₁ ∙ r₂ [cos (φ₁) + i sin (φ₁)][cos(φ₂) + i sin(φ₂)]= (r₁ ∙ r₂ [(cos φ₁ ∙ cos φ₂ - i sin φ₁ ∙ sin φ₂) + i(sin φ₁ ∙ cos φ₂ + sin φ₂ ∙ cos φ₁)] = r₁ ∙ r₂ [(cos(φ₁ + φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂)])
• DIVISIONE: z₁/z₂ = z₁ ∙ z₂̅ / |z₂|² = r₁ [cos φ₁ - i sin (φ₁)]

QUINDI:

z₁ ∙ z₂ / z₂ = r₁ ∙ r₂ [cos (φ₁ - φ₂) + i sin (φ₁ - φ₂)] = r₁/ r₂ [cos (φ₂ - φ₁) + i sin (φ212 - φ₁)]

Analisi e Geometria 1

Teoremi da sapere con dimostrazione

A) Numeri reali e complessi:

1. Irazionalita di √2

   Non esiste un numero razionale x ∈ Q tale che x²=2 cioè per ogni x ∈ Q, √2 ≠ x² > 2, x ≠ √2

   Dimostrazione per assurdo: supponiamo che esista x ∈ Q con x²=2 dato che x ∈ Q x = m/n ridotto ai minimi termini m, n ∈ ZZ

   x² = m²/n² = 2 m² = 2 n² m² = (pari)

   m² = 2 mi con m² ∈ N 2 n² = {(2mi)²} n² Φ pari

   Quindi m/n non è ridotto ai minimi termini, assurdo □

2. Formula di De Moivre (Prodotto e Divisione)

   Siano z₁ = r₁ [cos(φ₁)+i sin(φ₁)]

   z₂ = r₂ [cos(φ₂)+i sin(φ₂)]

   • Numeri complessi
   • Allora:
   • z₁ ∙ z₂ = r₁ ∙ r₂ [cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)]
   • z₁/z₂ = r₁/r₂ [cos(φ₁ - φ₂) + i sin(φ₁ - φ₂)]

   (se z₂ ≠ 0)

   Demostrazione (usando formule di addizioni seno e coseno)

   • Prodotto: z₁ ∙ z₂ = r₁ r₂ [cos(φ₁) + i sin(φ₁)] [cos(φ₂) + i sin(φ₂)]
   • = r₁r₂ [cos(φ₁) cos(φ₂) - i sin(φ₂) cos(φ₁) + i sin(φ₁) cos(φ₂) - sin(φ₁) sin(φ₂)]
   • = r₁ r₂ [cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)
   • Divisione: z₁/z₂ = (z₁ ∙ z₂)/(1/z₂)²
   • Con z₂ = r₂ [cosφ₂ - i sin(φ₂)]
   • = r₂ [cos(φ₂) + i sin(φ₂)]

   Quindi:

   z₁ ∙ z₂ / z₂²

   r₁r₂ [cos(φ₁ - φ₂) + i sin(φ₁ - φ₂)] =

Radici n-esime di un numero complesso

Sia w ∈ C, w ≠ 0

Esistono esattamente n distinte radici n-esime (z₀,...,zₙ₋₁) di w

Se w = r (cos θ + i sin θ) allora

z_k = ⁿ√r [cos (^{θ + k 2π}/_n) + i sin (^{θ + k 2π}/_n) ]

Con k = 0,...,n-1

Dimostrazione

• Se consi