Lista completa Dimostrazioni e teoremi di Analisi e geometria 1 (21/22)

Analisi e geometria 1

Teoremi da sapere con dimostrazione

A) Numeri reali e complessi

1) Irrazionalità di √2

Non esiste un numero razionale x in Q tale che x² = 2, cioè per ogni x in Q vale: x² != 2, x != √2.

l x in Q, x² = 2

Dimostrazione per assurdo: supponiamo che esista x in Q con x² = 2.

Detto che x in Q, x è m/n ridotto ai minimi termini, m, n in Z.

x² = m²/n² = 2

m² = 2n² m è pari -> m è pari

m = 2m' con m' in N -> 2n² = (2m')² -> n² = 2(m')² n è pari

Quindi m/n non è ridotto ai minimi termini. Assurdo

2) Formula di De Moivre (prodotto e divisione)

Siano z₁ = r₁ (cos(phi₁) + i sin(phi₁))

z₂ = r₂ (cos(phi₂) + i sin(phi₂))

Numeri complessi

Allora

z₁ z₂ = r₁ r₂ (cos(phi₁ + phi₂) + i sin(phi₁ + phi₂))

z₁/z₂ = r₁/r₂ (cos(phi₁ - phi₂) + i sin(phi₁ - phi₂))

(Se z₂ != 0)

Dimostrazione (usando formule di addiz. seno e coseno)

Prodotto: z₁ z₂ = r₁ r₂ (cos(phi₁) + i sin(phi₁))(cos(phi₂) + i sin(phi₂))

= r₁ r₂ (cos(phi₁) cos(phi₂) + i sin(phi₁) cos(phi₂) + i sin(phi₂) cos(phi₁) - sin(phi₁) sin(phi₂))

= r₁ r₂ (cos(phi₁ + phi₂) + i sin(phi₁ + phi₂))

Divisione: z₁/z₂ = z₁ z₂ / |z₂|²

con z₂ = r₂ (cos(phi₂) - i sin(phi₂))

= r₂ (cos(-phi₂) + i sin(-phi₂))

Quindi:

z₁ z₂ / r₂² = r₁ r₂ (cos(phi₁ - phi₂) + i sin(phi₁ - phi₂)) / r₂² = r₁/r₂ (cos(phi₁ - phi₂) + i sin(phi₁ - phi₂))

Analisi e geometria 1

Teoremi da sapere con dimostrazione

A) Numeri reali e complessi

1) Irrazionalità di √2

Non esiste un numero razionale x ∈ Q tale che x² = 2, cioè per ogni x ∈ Q vale: x² ≠ 2, x ≠ √2

∀ x ∈ Q, x² = 2

Dimostrazione per assurdo: supponiamo che esista x ∈ Q con x² = 2

Detto che x ∈ Q, x = m/n ridotto ai minimi termini, m,n ∈ Z

x² = m²/n² = 2

m² = 2n²

m = 2m' con m' ∈ N

Quindi m non è ridotto ai minimi termini, assurdo

2) Formula di De Moivre (prodotto e divisione)

Siano z₁ = r₁ (cos(θ₁) + i sin(θ₁))

z₂ = r₂ (cos(θ₂) + i sin(θ₂))

Numeri complessi

Allora

z₁ · z₂ = r₁r₂ (cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂))

z₁/z₂ = r₁/r₂ (cos(θ₁ - θ₂) + i sin(θ₁ - θ₂))

(Se z₂ ≠ 0)

Dimostrazione (usando formule di addiz. seno e coseno)

Prodotto: z₁z₂ = r₁r₂ (cos(θ₁) + i sin(θ₁))(cos(θ₂) + i sin(θ₂))

= r₁r₂ cos(θ₁)cos(θ₂) + i sin(θ₁)cos(θ₂) + i sin(θ₂)cos(θ₁) - sin(θ₁)sin(θ₂)

= r₁r₂ (cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂))

Divisione: z₁/z₂ = z₁·z̄₂/|z₂|²

Con z̄₂ = r₂ (cos(θ₂) - i sin(θ₂))

= r₂ (cos(-θ₂) + i sin(-θ₂))

Quindi:

= (r₁/r₂) (cos(θ₁ - θ₂) + i sin(θ₁ - θ₂))

3) Radici n-esime di un numero complesso

Sia w e C, w != 0

Esistono esattamente n distinte radici n-esime (z₀, ..., z_n-1) di w

Se w = r (cos q + i