Limiti, potenze, teoremi fino ad esponenziali

Limite

Si dice che a_n tende al limite L ⇔ ∀ε > 0 ∃ n_ε : ∀n > n_ε L - ε < a_n < L + ε a_n ε (L - ε, L + ε) (punto medio tra [L - ε e L + ε]).

Per ogni intervallo centrato in L esiste un indice (che dipende dall'intervallo) tale che per tutti gli indici successivi i valori di a_n stanno nell'intervallo.

Es. a_n = 1/n

lim_{n → +∞} a_n = 0

L = 0

def. ∀ε > 0 ∃ n_ε : ∀n > n_ε 0 - ε < 1/n < 0 + ε

V (perché n_ε > 0) ∀n - ε < 0 < 1/n

ε > 1/n ⇔ n_ε > 1 ⇔ n > 1/ε

∀ n > min { n : n > 1/ε }

dimostrato che L = 0

Teorema

Il limite, se c'è, è unico.

Dim. Per assurdo, supponiamo che

lim_{n → +∞} a_n = l₁

lim_{n → +∞} a_n = l₂ (l₁ ≠ l₂)

Supponiamo che l₁ < l₂; la condizione che definisce il limite deve valere ∀ε > 0.

Scelgo ε in modo che: ⋯ non hanno intersezioni ovvero l₁ + ε < l₂ - ε

Si dice che a_n tende al limite L ⟺ ∀ε>0 ∃n_ε : ∀n>n_ε L-ε < a_n < L+ε; a_n ∈ (L-ε, L+ε)

Per ogni intervallo centrato in L esiste un indice (che dipende dall'intervallo) tale che per tutti gli indici successivi i valori di a_n stanno nell'intervallo.

es. a_n = 1/n

lim a_n = 0 n→+∞ n

L = 0

∀ε>0 ∃n_ε : ∀n>n_ε -ε < 1/n < 0+ε

☑ (perché n_ε > 0) ∀n : -ε < 0 < 1/n

ε > 1/n ⟺ n_ε > 1 ⟺ n > 1/ε

∀n > min ⎧n : n > 1/ε⎫ dimostrato che L = 0

Teorema

Il limite, se L, è unico.

dim. Per assurdo, supponiamo che lim a_n = L₁ n→+∞ n

lim a_n = L₂

Supponiamo che L₁ < L₂; la condizione che definisce il limite deve valere ∀ε>0.

Scelgo ε in modo che:

(L₁-ε, L₁+ε) ∩ (L₂-ε, L₂+ε) = ∅

non hanno intersezioni ovvero L₁+ε < L₂-ε

lim_n→+∞ a_n = L → ∃n_ε,1 : ∀n > n_ε,1 : a_n ∈ (L-ε, L+ε)

∃n_ε,2 : ∀n > n_ε,2 : a_n ∈ (L₂-ε, L₂+ε)

se n > n_ε,1, n_ε,2 im... impossibile ↦ perché gli intervalli non hanno p.ti in comune

allora il limite è unico.

Una successione può non avere un limite. Es.: a_n = (-1)ⁿ

è una successione periodica

equivalente a "tende a" lim_n→+∞ a_n = L ⇔ a_n converge a L

Teorema

lim_n→+∞ a_n = L { ⇔ ∀n_k : lim_k→+∞ a_nk = L

Es. a_n = (-1)ⁿ ha sottosuccessioni costanti (e infinite)

a_2k = (-1)^2k = 1 ⇔ lim_k→+∞ a_2k = 1

a_2k+1 = (-1)^2k+1 = -1 ⇔ lim_k→+∞ a_2k+1 = -1

Le potenze

Xⁿ ⋅ X^k = X^n+k per n, k ≥ 2

Xⁿ = X^n−k per n > 2, k ≥ 2

Se n < k?

Xⁿ / X^k = 1 / X^k−n = X^n−k, n−k < 0

X⁻ⁿ = 1 / Xⁿ

def. X^α = X^n/k per n, k ∈ ℤ

def. di √ √²X = y ⇔ X = y² ⇒ y² = y ⇔ X = X¹

X² = X³

X^α = X³

X^α ⇒ 2α = 1 ⇒ α = 1/2

(√ⁿX)² = n/k Xⁿ = n/2

√X² = (X²)^1/h :: (Xⁿ)^1/k

(Xⁿ)^k = X^n−k ⇒ X^k/h = n/k

√X^k = (√ⁿX)^k (quando è possibile)

X > 0

es. X^5/6 = (X^5/3)^1/2 = √²X^5/3

X^h/k ➝ X^α, α ∈ ℝ

X^α ⋅ X^β = X^α+β

(X^α)^β = X^αβ

X > 0

f(x) = 2^x esiste!

g(x) = (−2)^x non esiste!

f(x) = a^x