Limiti di Taylor

Limiti con Taylor

Calcolare i seguenti limiti:

• 2 log(cos x) 1x √e +(1) lim ;2x x+x→0 √
• 2 log( 1 + x) 1√−cos x(2) lim ;x x+x→0 4p x4 −1 + tan(x ) e
• (3) lim ;x sin x 2− −e x sin x cos(2x )x→0 4 px 4− 1 + sin(x )e ;
• (4) lim x tan x 2− −e x tan x cos(2x )x→0
• 2 2−arcsin x tan x(5) lim ;2 2−log(1 + arctan x) xx→0
• 2 2−sin x arctan(log(1 + x ))√ ;(6) lim 4 −x→0 1 + tan x
• 1√√ − −cos( x) 1 sin x(7) lim ;−x log(1 + sin x)x→0 x − −e
• 1 log(1 + sin x)√(8) lim .− − −1 x 1 sin xx→0

Svolgimento

(1)

Osserviamo che −1 2 log(1 + (cos x 1)) 12 log(cos x)x x√ √= e + .e + 2 2x xx x→

Utilizzando gli sviluppi di Taylor delle funzioni log(1 + x) e cos x (per x 0) abbiamo:

−log(1 + (cos x 1))1 2 2− − − −= (cos x 1) (cos x 1) + o((cos x 1) )2 !2 22 4 2 4 2 4

x x 1 x x x x4 4 4− − − −= + + o(x ) + + o(x ) + o + + o(x )2 4! 2 2 4! 2 4!2 4 4 6 8

x x 1 x x x4 8− − −= + + o(x ) + + o(x )22 4! 2 4 4! (4!)2 4

x x 4−− + o(x ).= 2 12 12 x →

Tenendo conto dello sviluppo di e per x 0 deduciamo 2 log(cos x) 1x √e + 2x x − 12 log(1 + (cos x 1))x √= e + 2x x 2 4

x1 1 2 x 12 3 3 4 √− −= 1 + x + x + x + o(x ) + + o(x )22 3! x 2 12

x 1 1 1 12 3 3 2 2 √− −= 1 + x + x + x + o(x ) 1 x + o(x )2 3! 6 x 1 12 2 √= x + x + o(x ) .3 x

Pertanto 2 log(cos x) 1 11x 2 2√ √lim e + x + o(x )= lim x + = 0.2x 3x x+ +→x→0 x 0

(2)

α ∈ Dalle proprietà dei logaritmi (in particolare log(x ) = α log(x) per ogni x > 0 e α segueR)che √ 11 + x) = log(1 + x)log( 2quindi si ha √ 1 + x) 1 log(1 + x) 12 log( √ √−− = cos x .cos x x xx x→

Usando gli sviluppi di Taylor delle funzioni log(1 + x) e cos x (per x 0) abbiamo:

√ 2 log( 1 + x) 1√−cos x x x 1log(1 + x) √−= cos x x x2 4 2 3 4

x x 1 x x x 15 5 √− − −= 1 + + o(x ) x + + + o(x )2 4! x 2 3 4 x

1 5 12 2 √−= x x + o(x ) .2 6 x

Dunque √ 2 log( 1 + x) 1 1 5 12 2√ √− −lim cos x = lim =