Lezione 2 Analisi matematica 1

Lezione 2

Q ≠ R

Teorema

Non esiste un numero q appartenente all'insieme Q tale che q² è uguale a 2.

∃ q ∈ _Q t.c. q² = 2

Dimostrazione (per assurdo)

Faccio finta che q ∈ _Q.

Allora q = m/n, n ≠ 0 e m, n ∈ _Z con m e n primi tra loro.

q² = (m/n)² = m²/n².

Se q² = 2 allora m²/n² = 2, perciò m² = 2n².

m² è pari, perciò 2n² è per forza pari e di conseguenza m².

Allora m² è pari, quindi m è pari, perciò m = 2k con (k ∈ _Z).

Abbiamo m² = 2n² ⇒ (2k)² = 2n² ⇒ 4k² = 2n² ⇒ 2k² = n².

2k² è pari, quindi n² è pari e di conseguenza n è pari.

m ed n sono pari → assurdo perché due numeri primi tra loro non possono essere entrambi pari.

Perciò q non è un numero razionale e non appartiene a _Q.

Lezione 2

18/09/2024

Q ≠ ℝ

Teorema

Non esiste un numero q appartenente all'insieme Q tale che q² è uguale a 2.

∃ q ∈ Q t.c. q² = 2

Dimostrazione (per assurdo)

Faccio finta che q ∈ Q.

Allora q = m/n, n ≠ 0 e m, n ∈ Z con m, n primi tra loro.

q² = (m/n)² = m²/n².

Se q² = 2 allora m²/n² = 2, perciò m² = 2n².

m² è pari, perciò 2n² è per forza pari e di conseguenza m².

Allora m² è pari, quindi m è pari, perciò m = 2k con (k ∈ Z).

Abbiamo m² = 2n² ⇒ (2k)² = 2n² ⇒ 4k² = 2n² ⇒ 2k² = n².

Perciò n² è pari e di conseguenza n² è pari.

m ed n sono pari → assurdo perché due numeri primi tra loro non possono essere entrambi pari.

Perciò q non è un numero razionale e non appartiene a Q.

Operazioni

Addizione

• Proprietà commutativa: ∀ a, b ∈ a + b = b + a.
• Proprietà associativa: ∀ a, b, c ∈ (a + b) + c = a + (b + c).
• ∃ 0 t.c. a + 0 = a, ∀ a.
• ∀ a ∃ opposto t.c. a + (-a) = 0.

L'addizione opera all'interno dell'insieme ℤ (-a).

Prodotto

• Proprietà commutativa: ∀ a, b ∈ a ⋅ b = b ⋅ a.
• Proprietà associativa: ∀ a, b, c ∈ (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).
• ∃ 1 unità t.c. a ⋅ 1 = a ∀ a.
• ∀ a ≠ 0 ∃ inverso t.c. a ⋅ (a^-1) = 1.

Il prodotto opera all'interno dell'insieme ℚ (a^-1).

Il prodotto opera all'interno dell'insieme ℚ (a ⋅ r).

Il più piccolo insieme per poter effettuare i conti è quindi ℚ.

Relazione d'ordine

• ∀ a ∈ a ≤ a.
• ∀ a, b se a ≤ b e b ≤ a, allora a = b.
• ∀ a, b, c se a ≤ b e b ≤ c, allora a ≤ c.
• ∀ a, b, c se a ≤ b allora a + c ≤ b + c.
• ∀ a, b, c (> 0) se a ≤ b allora a ⋅ c ≤ b ⋅ c.

Un insieme in cui valgano tutte le operazioni e le relative proprietà è detto campo ordinato.

ℚ ed ℝ sono campi ordinati.

Assioma di completezza

Siano A, B ⊂ U (non vuoti): se ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B si ha a ≤ b, allora ∃ c ∈ U t.c. a ≤ c ≤ b.

c ∈ U ed è l'elemento separatore.

Esempio

Sia U = Q.

Sia A = {a ∈ Q: a ≤ 0} ∪ {a ∈ Q: a > 0, a² > 2}.

Sia B = {b ∈ Q: b > 0, b² ≤ 2}.

In Q A e B non sono separati da niente.

In Q non vale l'assioma di completezza, mentre in IR sì.

Limite superiore e inferiore

Limite superiore

Un insieme A è limitato superiormente se ∃ M ∈ IR t.c. x ≤ M ∀ x ∈ A.

Limite inferiore

Un insieme A è limitato inferiormente se ∃ m ∈ IR t.c. m ≤ x ∀ x ∈ A.

Limite

Un insieme A è limitato se ∃ m, M ∈ IR t.c. m ≤ x ≤ M ∀ x ∈ A.

m = minimo.

M = massimo.

Esempi

IN è limitato inferiormente dato che esiste almeno un numero minore di zero.

IN non è limitato superiormente perché prosegue all'infinito.

ZN non è né limitato superiormente né inferiormente dato che è infinito.

Esempi

A = {1/n | n ∈ ℕ \ {0}}.

A è limitato superiormente e inferiormente.

B = {n / (n + 1) | n ∈ ℕ}.

B è limitato superiormente e inferiormente.

Maggi[oranti] e Mino[ranti]

Sia A ⊂ ℝ: un elemento x ∈ ℝ si dice maggiorante di A se x ≥ a ∀ a ∈ A.

Sia A ⊂ ℝ: un elemento m ∈ ℝ si dice minorante di A se m ≤ x ∀ x ∈ A.

Se un insieme è limitato superiormente, ha dei maggioranti.

Se un insieme è limitato inferiormente, ha dei minoranti.

Estremo superiore e inferiore

Il più piccolo dei maggioranti prende il nome di estremo superiore.

Il più grande dei minoranti prende il nome di.

Esempi

A = {1/n | n ∈ ℕ \ {0}} = {1/1 > 1/2 > 1/3 > 1/4 > ...}.

A ⊂ (0; 1] ➝ se x ≤ 0, allora x ≤ a ∀ a ∈ A.

Noto che 0 ≤ a ∀ a ∈ A, perciò 0 è minorante di A.

0 è il maggiore dei minoranti, perciò è l'estremo inferiore di A.

Se x ≥ 1, allora x ≥ a ∀ a ∈ A.

Noto che a ≤ 1 ∀ a ∈ A, perciò 1 è maggiorante di A.

1 è il minore dei maggioranti, perciò è l'estremo superiore di A.

inf_ℝ A = 0.

sup_ℝ A = 1.

Massimo e minimo

Si dice massimo di A l'elemento n che:

• n ∈ A.
• n ≥ ∀ x ∈ A.

Si significa che il massimo di A è un maggiorante che appartiene all'insieme.

Si indica con max A.

Si dice minimo di A l'elemento m che:

• m ∈ A.
• m ≤ ∀ x ∈ A.

Si significa che il minimo di A è un minorante che appartiene all'insieme.

Si indica con min A.

Esempio

A = {1/n | n ∈ ℕ \ {0}}.

sup A = 1, 1 ∈ A.

inf A = 0, 0 ∉ A.

1 è il massimo di A mentre 0, non essendo compreso al suo interno, non può essere il minimo.

max A = 1 ∄ min A.

Ricerca del limite superiore

A ⊆ ℝ.

A⥲aM.

A = {x ∈ ℝ: a ≤ x ∀ a ∈ A}.

Abbiamo che a ≤ x ∀ a ∈ A, ∀ x ∈ ℝ siamo in ℝ.

In ℝ vale l'assioma di completezza.

∃ c ∈ ℝ t.c. 0 ≤ c ≤ x ∀ a ∈ A, ∀ x ∈ ℝ.

C'è un maggiorante di A: a ≤ c ∀ a ∈ A.

Quindi c ∈ A.

Inoltre c ≤ x ∀ x ∈ A, quindi c = min A e c = sup A.

In Q non vale l'assioma di completezza quindi un insieme limitato superiormente in Q non ammette sicuramente estremi.

Per quanto riguarda l'insieme ℝ, sono ammessi limiti superiori.

sup A = {a se A è limitato superiormente, +∞ se non è limitato superiormente.

ℝ massimo dei minoranti se A è limitato inferiormente.

inf A = {-a se A non è limitato inferiormente.

Esempio

A = {x ∈ ℚ, x > 0} non ha limite superiore in ℚ ma in ℝ sì.

sup A = Ω⁰ (in ℝ).

Esercizi

Esercizio 1

A ⊂ ℝ, come faccio a dire che sup A = 3 ∈ ℝ?

1. a ≤ s ∀ a ∈ A, perciò s è un maggiorante di A.
2. ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A t.c. s - ε ≤ a, perciò s - ε ∉ A.
3. Se s - ε ∈ A, allora s - ε.

Esercizio 2 (Fac simile parziale)

Dato l'insieme E = {n - 1 / n + 1, n ∈ ℕ} trovare:

inf E.

sup E.

min E.

max E.

1. E = {-1 ∪ {1/3, 2/4, 3/5} ∪.
2. Dato che tutti gli elementi di E sono positivi tranne -1.

n - 1 ≥ 0 → n ≥ 1.

Per ottenere un numero positivo perciò n deve essere ≥ 1. L'unico valore < 1 che n può assumere all'interno di ℕ è 0, perciò:

0 - 1 = -1 ∼ -10/2 = 1.

Il minimo di E è quindi -1.

min E = -1.

3. Dato che -1 è anche il valore minimo di E perciò è anche limite inferiore.

inf E = -1.

4. Dato che il numeratore n + 1 è sempre più piccolo del denominatore n + 1, quindi.