Lezione 1 Analisi matematica 1

Lezione 1

17/08/2024

Logica

• Definizioni
• Assiomi
• Dimostrazioni
• Teoremi

Teorema = H_p + Th

H_p = ipotesi = condizioni da soddisfare per avere la tesiTh = tesi

Legami tra tesi e ipotesi

• L'ipotesi implica la tesi H_p => Th
• Se vale l'ipotesi allora vale la tesi
• L'ipotesi è una condizione sufficiente per avverare la tesi
• La tesi è una condizione necessaria

• Se un numero è divisibile per 6 allora
• ipotesi
• tesi

Condizione sufficiente (H_p)

Basta l'ipotesi per avere la tesi.Se ho meno proprietà dell'ipotesi, la tesi non vale

Esempi

• Se n è un numero primo, allora è dispari -> FALSONon basta per soddisfare (2 è primo e pari)
• Se n è un numero divisibile per 6 e 2 allora è pari -> VEROInutile dato che qualsiasi n divisibile per 6 è divisibile per 3.

Lezione 1

Logica

• Definizioni
• Assiomi
• Dimostrazioni
• Teoremi

Teorema = H_p + Th

H_p = ipotesi = condizioni da soddisfare per avere la tesi Th = tesi

Legami tra tesi e ipotesi

• L'ipotesi implica la tesi H_p => Th
• Se vale l'ipotesi allora vale la tesi
• L'ipotesi è una condizione sufficiente per avverare la tesi
• La tesi è una condizione necessaria

Se un numero è divisibile per 6 allora

• ipotesi
• tesi

Condizione sufficiente (H_p)

Basta l'ipotesi per avere la tesi Se ho meno proprietà dell'ipotesi, la tesi non vale

Esempi

• Se n è un numero primo, allora è dispari -> FALSO

Non basta per soddisfare (2 è primo e pari)

• Se n è un numero divisibile per 6 e 3 allora è pari -> VERO

Inutile dato che qualsiasi n divisibile per 6 è divisibile per 3

CONDIZIONE NECESSARIA (Th)

• Se n è primo e maggiore di 2, allora è dispari. → VERO
• Se n non è dispari, allora non è primo e maggiore di due.

La tesi è necessaria perché se la nego non valgono più le ipotesi.

DIMOSTRAZIONI

LINEARE (Hp → Th)

• TEO: Se n è dispari, allora n² è dispari. → VERO
• DIM: Se n è dispari → n = 2k + 1   k = 0, 1, 2

Quindi n² = (2k+1)² = 4k² + 2k + 1 + 1

Un numero pari sommato ad 1 dà un numero dispari. Perciò n²è dispari.

PER ASSURDO (Th → Hp)

• TEO: Se n² è pari, allora n è pari.
• DIM: Faccio finta che n sia dispari.

Quindi se n è dispari, allora n² è dispari → NO

n² è pari, perciò il teorema è dimostrato.

UNA SOLA CONDIZIONE PUÒ ANNULLARE L’IPOTESI

• TEO: Se n è un numero primo, allora è dispari.
• DIM: Dato che 2 è un numero primo ed è pari è falso.

Insiemi

A = {abitanti di Milano alti}

Non è un insieme

B = {abitanti di Milano > 1.80}

È un insieme

L'insieme è indicato con la lettera maiuscola mentre gli elementi con quella minuscola.

Esempi

A = {a, b, c, d}

B = {a, b, c}

• q ∈ A
• e ∉ A
• A ≠ B
• B ⊂ A
• ∈ = appartiene
• ∉ = non appartiene
• ≠ = diverso
• ⊂ = contenuto
• ⊆ = contenuto o uguale

Operazioni con gli insiemi

• Intersezione (∩)Siano A e B due sottoinsiemi di universo U, si chiama intersezione tra A e B l'insieme A ∩ BA ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Unione (∪)Siano A e B due sottoinsiemi di universo U, si chiama unione di A e B l'insieme A ∪ BA ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B} A ∪ B ≠ B ∪ A
• Differenza (\)Siano A e B due sottoinsiemi di universo U, si chiama differenza tra A e B l'insieme A \ BA \ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∉ B} A \ B ≠ B \ A

• Complementare
  • Sia A ⊂ U, si chiama complementare di A rispetto ad U
  • L’insieme A^c = U \ A

Insiemi numerici

• Insieme dei numeri naturali (ℕ)
  • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…
• Insieme dei numeri interi (ℤ)
  • …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
• Insieme dei numeri razionali (ℚ)
  • Decimali limitati
  • Periodici
  • q = ^m/_n | m, n ∈ ℤ, n ≠ 0
• Insieme dei numeri reali (ℝ)
  • Decimali illimitati