Lezione 1 Analisi matematica 1

Lezione 1

Logica

• Definizioni
• Assiomi
• Dimostrazioni
• Teoremi

Logica

Teorema = Hp + Th

Hp = ipotesi = condizioni da soddisfare per avere la tesi

Th = tesi

Legame tra tesi e ipotesi

L'ipotesi implica la tesi Hp => Th.

Se vale l'ipotesi allora vale la tesi.

L'ipotesi è una condizione sufficiente per avere la tesi.

La tesi è una condizione necessaria.

Se un numero è divisibile per 6 allora ipotesi tesi.

Condizione sufficiente (Hp)

Basta l'ipotesi per avere la tesi.

Se ho meno proprietà dell'ipotesi, la tesi non vale.

Esempi

• Se n è un numero primo, allora è dispari -> Falso.
• Non basta per soddisfare (2 è primo e pari).
• Se n è un numero divisibile per 6 e 3, allora è pari -> Vero.
• Inutile dato che qualsiasi n divisibile per 6 è divisibile per 3.

Lezione 1

17/08/2024

Logica

• Definizioni
• Assiomi
• Dimostrazioni
• Teoremi

Logica

Teorema = Hp + Th

Hp = ipotesi = condizioni da soddisfare per avere la tesi

Th = tesi

Legatura tesi e ipotesi

L'ipotesi implica la tesi Hp => Th.

Se vale l'ipotesi allora vale la tesi.

L'ipotesi è una condizione sufficiente per avere la tesi.

La tesi è una condizione necessaria.

Se un numero è divisibile per 6 allora ipotesi tesi.

Condizione sufficiente (Hp)

Basta l'ipotesi per avere la tesi.

Se ho meno proprietà dell'ipotesi, la tesi non vale.

Esempi

• Se n è un numero primo, allora è dispari -> Falso.
• Non basta per soddisfare (2 è primo e pari).
• Se n è un numero divisibile per 6 e 3, allora è pari -> Vero.
• Inutile dato che qualsiasi n divisibile per 6 è divisibile per 3.

Condizione necessaria (Th)

Se n è primo e maggiore di 2, allora è dispari - Vero.

Se n non è dispari, allora non è primo e maggiore di due.

La tesi è necessaria perché se la negò non valgono più le ipotesi.

Dimostrazioni

Lineare (Hp -> Th)

Teo: Se n è dispari, allora n² è dispari -> Vero.

Dim: Se n è dispari -> n = 2k + 1 k = 0,1,2,...

Quindi n² = (2k + 1)² = 4k² + 2k + 1 = pari.

Un numero pari sommato ad 1 dà un numero dispari quindi n² è dispari.

Per assurdo (Th -> Hp)

Teo: Se n è pari, allora n è pari.

Dim: Faccio finta che n sia dispari.

Quindi se n è dispari allora n² è dispari -> No.

n² è pari perciò il teorema è dimostrato.

Una sola condizione può annullare l'ipotesi.

Teo: Se n è un numero primo, allora è dispari.

Dim: Dato che 2 è un numero primo ed è pari è falso.

Insiemi

A = { abitanti di Milano di i } -> Non è un insieme.

B = { abitanti di Milano > 180 } -> È un insieme.

L'insieme è indicato con la lettera maiuscola mentre gli elementi con quella minuscola.

Esempi

A = { a, b, c, d }

B = { a, b, c }

a è A

e = appartiene

e non A

e = non appartiene

A != B

!= diverso

B c A

c = contenuto

c = contenuto o uguale

Operazioni con gli insiemi

Intersezione (n)

Siano A e B due sottoinsiemi di universo U, si chiama intersezione tra A e B l'insieme A n B.

A n B = { x e U : x e A E x e B }

Unione (u)

Siano A e B due sottoinsiemi di universo U, si chiama unione di A e B l'insieme A u B.

A u B = { x e U : x e A O x e B }

A u B = B u A

Differenza (\)

Siano A e B due sottoinsiemi di universo U, si chiama differenza tra A e B l'insieme A \ B.

A \ B = { x e U : x e A E x != B }

A \ B != B \ A

Complementare

Sia A, C, si chiama complementare di A rispetto ad U l'insieme A^c.

A^c = U \ A

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali (N)

Insieme dei numeri interi (Z)

Insieme dei numeri razionali (Q)

• Decimali limitati
• Periodici

q = m/n

n, m e Z

n != 0

Insieme dei numeri reali (R)

Decimali illimitati