Guida alla risoluzione degli esercizi di Geometria/Algebra Lineare

Guida allo svolgimento degli esercizi di Geometria

Alessio Balistreri 13 gennaio 2023 1

Indice

• Capitolo 1 Spazi e sottospazi vettoriali 6
• Sezione 1.1 Stabilire se un sottoinsieme sia anche un sottospazio . . . . . . . 6
• Sezione 1.2 Trovare le equazioni cartesiane dati i vettori della base . . . . . . 7
• Sezione 1.2.1 Esempio I (Metodo del determinante) . . . . . . . . . . . 7
• Sezione 1.2.2 Esempio II (Metodo del determinante) . . . . . . . . . . . 8
• Sezione 1.2.3 Esempio III (Riduzione di Gauss) . . . . . . . . . . . . . 8
• Sezione 1.3 Trovare il vettore generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• Sezione 1.3.1 Dai vettori della base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• Sezione 1.4 Scrivere la proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio . 10
• Sezione 1.4.1 Esempio (calcolo dell’espressione della proiezione) . . . . 11
• Capitolo 2 Matrici 13
• Sezione 2.1 Definizioni e corollari utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• Sezione 2.2 Tipi di matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• Sezione 2.3 Calcolo del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• Sezione 2.3.1 Metodo del determinante (con esempio) . . . . . . . . . . 14
• Sezione 2.4 Scrivere la matrice del cambio di base . . . . . . . . . . . . 15
• Sezione 2.4.1 Esempio di scrittura della matrice del cambio di base . . 15
• Sezione 2.4.2 Esempio di passaggio di base . . . . . . . . . . . . . . . 16
• Sezione 2.5 Calcolo della matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• Sezione 2.5.1 Esempio con metodo dei cofattori . . . . . . . . . . . . . 17
• Sezione 2.5.2 Esempio con la riduzione di Gauss (con base canonica) . . 18
• Capitolo 3 Il determinante 20
• Sezione 3.1 Concetto e tipologie di forma multilineare . . . . . . . . . . . 20
• Sezione 3.2 Definizioni e corollari utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• Capitolo 4 Applicazioni lineari 22
• Sezione 4.1 Definizioni e corollari utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• Sezione 4.2 Verificare l’esistenza e l’unicità . . . . . . . . . . . . . . . 22
• Sezione 4.2.1 Esempio (con uso del determinante) . . . . . . . . . . . 22
• Sezione 4.2.2 Esempio (caso di non esistenza) . . . . . . . . . . . . . . 23
• Sezione 4.3 Verificare la linearità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• Sezione 4.4 Scrivere la matrice associata . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• Sezione 4.4.1 Esempio (con base assegnata) . . . . . . . . . . . . . . . 24
• Sezione 4.4.2 Esempio (con base generica) . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• Sezione 24.5 Scrivere le equazioni cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . 25
• Sezione 4.5.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• Sezione 4.6 Trovare il . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 kerf
• Sezione 4.7 Trovare le dimensioni di e . . . . . . . . . . . . . . 26 kerf Imf
• Sezione 4.8 Capire se un endomorfismo è diagonalizzabile . . . . . . . . . . 26
• Sezione 4.8.1 Esempio di diagonalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . 27
• Sezione 4.9 Descrivere un autospazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• Sezione 4.9.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• Sezione 4.10 Verificare che una matrice ammetta un dato come suo autovalore 29 λ
• Sezione 4.10.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• Capitolo 5 Spazi vettoriali euclidei 30
• Sezione 5.1 Definizioni e corollari utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• Sezione 5.2 Identità degli spazi vettoriali euclidei . . . . . . . . . . . . . 30
• Sezione 5.3 Come trovare una base ortogonale a partire da una base qualsiasi (Gram-Schmidt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• Sezione 5.4 Isometrie di spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• Sezione 5.5 Come trovare la base per il complemento ortogonale di un sotto-spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• Sezione 5.5.1 Esempio (con vettori della base fissati) . . . . . . . . . . 32
• Sezione 5.5.2 Esempio (con vettori della base generici e matrice associata) 33
• Sezione 5.6 Verificare che due spazi vettoriali euclidei con prodotto scalare siano isomorfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
• Sezione 5.6.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
• Capitolo 6 Forme Bilineari 36
• Sezione 6.1 Definizioni e corollari utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• Sezione 6.2 Verificare la bilinearità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• Sezione 6.3 Matrice di una forma bilineare . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• Sezione 6.4 Verificare se la forma bilineare sia degenere . . . . . . . . . . 37
• Sezione 6.4.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• Sezione 6.5 Scrivere l’espressione di una forma bilineare a partire dalla sua matrice associata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• Sezione 6.5.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• Sezione 6.6 Conversione in forma di Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . 38
• Sezione 6.6.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• Sezione 6.7 Studio del segno di un prodotto euclideo . . . . . . . . . . . . 41 3
• Sezione 6.7.1 Esempio (con metodo degli autovalori) . . . . . . . . . . . 41
• Sezione 6.7.2 Esempio (con metodo della forma di Sylvester) . . . . . . 42
• Sezione 6.8 Trovare i vettori isotropi non nulli . . . . . . . . . . . . . . 43
• Capitolo 7 Forme Sesquilineari ed Hermitiane 44
• Sezione 7.1 Definizioni e corollari utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• Sezione 7.2 Verificare la sesquilinearità . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• Sezione 7.2.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• Sezione 7.3 Scrivere la matrice di una forma sesquilineare . . . . . . . . . 45
• Sezione 7.3.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• Sezione 7.4 Scrivere l’espressione di una forma sesquilineare a partire della sua matrice associata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• Sezione 7.4.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• Sezione 7.5 Calcolare il prodotto hermitiano standard tra due vettori . . . . 47
• Sezione 7.5.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• Sezione 7.6 Calcolare la norma di un vettore col prodotto hermitiano standard 47
• Sezione 7.6.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• Sezione 7.7 Verifica dell’ortogonalità di due vettori . . . . . . . . . . . . . 48
• Sezione 7.7.1 Esempio (con parametro) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• Sezione 7.8 Studio del segno di un prodotto hermitiano . . . . . . . . . . 49
• Sezione 7.8.1 Esempio (con metodo degli autovalori) . . . . . . . . . . . 49
• Capitolo 8 Ulteriori esempi 50
• Sezione 8.1 Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• Sezione 8.1.1 Controllare se un sistema lineare non omogeneo abbia soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• Sezione 8.2 Complementi ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• Sezione 8.2.1 Complemento ortogonale dato da una forma hermitiana di uno spazio di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Introduzione

4 Introduzione Questo manuale è una raccolta di esercizi personali, riassunti di nozioni apprese a lezione ed esercizi trovati sparsi su internet. Spero che possa tornare utile nella risoluzione degli esercizi. In ogni caso è bene ricordare che, nonostante il mio grande impegno, potrebbero sempre esserci errori, quindi prestare sempre attenzione e non prendere tutto ciò che è scritto come oro colato. Detto questo, vi auguro buon lavoro.

Alessio Balistreri 13/01/2023 5

Insiemi importanti

• Insieme 1. {f → |Hom(V, W ) = : V W f omomorf ismo} Spazio degli omomor-fismi da V a W
• Insieme 2. −1 −1 −1{M |M ∈ ∃N ∈ | ∃A |:= A, A M A = AM = 1 , (A ) = A}U(A) A Insieme degli elementi invertibili
• Insieme 3. ·GL(n, := (K), ) Gruppo degli elementi invertibiliK) U(M n,n
• Insieme 4. On(K) Gruppo ortogonale (insieme delle matrici ortogonali, che hanno ±1) ⊆det(A) = On(K) GL(n,tutte K)
• Insieme 5. (insieme SOn(K) Sottogruppo speciale ortogonale delle matrici con det(A) = 1)

1 Spazi e sottospazi vettoriali

1.1 Stabilire se un sottoinsieme sia anche un sottospazio

Bisogna verificare che presi due elementi del sottoinsieme, la loro somma sia ancora un elemento del sottoinsieme e che lo stesso valga per un vettore qualsiasi moltiplicato per uno scalare.

Quindi, dato lo spazio e il suo sottoinsieme , questo è anche sottospazio se,V W dati ∈ ∈v, w W e λ K: ∈ ∧ ∈v + w W λv W

Inoltre deve contenere il vettore nullo.

Ad esempio, sia e siano:V = [t]R 32 2{p ∈ |p(−1) −V = V p(1) = 0}1 2 2{p ∈ |p(−1)V = V + p(1) = 0}.2

Possiamo vedere che se prendiamo entrambi appartengono ap(t) = 1 e q(t) = tma la loro somma non appartiene all’insieme.V p(t) + q(t) = 1 + t1

Notiamo inoltre che in la somma di due numeri positivi da 0 solo se entrambiV 2sono 0

Quindi se dividiamo in:V 21 {p ∈ |p(1)V = V = 0}22 {p ∈ |p(−1)V = V = 0}2 6e prendiamo una lineare e notiamo che sono parte del1 2→f : V e VV R 2 2quindi siccome questo è uno spazio vettoriale, lo sono anche e di1 2kerf V e V2 2conseguenza la loro intersezione V2

1.2 Trovare le equazioni cartesiane dati i vettori della base

1.2.1 Esempio I (Metodo del determinante)

Dato uno spazio con e il suo sottospazio di dimensioneV dim V =: n WKdim W = mK

Definiamo la il valore questa coincide−codim W = n m,Codimensione di W Kcon il numero di equazioni da trovare.

Possiamo ora scrivere la matrice che ha per colonne i vettori della base e come ultima colonna le incognite:  α ϵ θ x 1 β ε ϑ x2  γ ζ ι x 3 δ η κ x4

A questo punto occorre fare una valutazione, se il rango di tale matrice è pari al suo ordine allora possiamo procedere ponendo il suo determinante uguale a 0; l’equazione risultante sarà quella cercata.

Se il suo rango dovesse essere minore dell’ordine della matrice allora dovremo calcolare il determinante delle matrici ottenute escludendo un numero di righe pari alla differenza tra il rango della matrice e il suo ordine e porlo uguale a 0.

Ripentendo questo processo (eliminando righe diverse ogni volta) fin tanto che non avremo ottenuto un numero di equazioni pari alla avremocodim W = n−mKil sistema di equazioni cartesiane cercato.

Ad esempio se edim V = 4 dim W = 2 v = (1, 2, 0, 1) v = (1, 1, 1, 0)1 2K K" #1 1Siccome la sottomatrice è la più piccola con determinante diverso da 0 al-2 1lora per il teorema degli orlati tutte le matrici di di ordine 3 hanno determinante uguale a 0.  1 1 x 1    1 1 x 1 1 x1 1 2 1 x 2  ⇒ 2 1 x 2 1 x     2 2   0 1 x  3 0 1 x 1 0 x  3 41 0 x 4 7I cui determinanti ci daranno le equazioni cercate.codim W = 2K

1.2.2 Esempio II (Metodo del determinante)

Dati due sottospazi: −1, −2, −1, −2,U :=< (0, 1, 1), (1, 1, 3), (1, 1) >1 R−2, −3, −1), −1)U :=< (1, 0), (2, 0, 1, (1, 2, 2, >2 R

Ne cerchiamo l’intersezione, quindi ⇒dim U = dim U = 3 codim U =1 2 1R R Rcodim U = 12R

Scriviamo allora le matrici e poniamo il loro deterministicamente determinante uguale a 0: 0 1 1 x −11 1 y  ⇒= 0 w = 2x + ydet  −1 −2 −2 z  1 3 1 w 1 2 1 x −2 0 2 y  ⇒ −2xdet = 0 y = −3 1 2 z  −1 −10 w

Quindi:  w = 2x + y w = 0 ⇒−2x −2xy = y = 

1.2.3 Esempio III (Riduzione di Gauss)

Per trovare le equazioni di un sottospazio vettoriale a partire dai vettori della base mediante la riduzione di Gauss cerchiamo di far combaciare il rango della matrice dei coefficienti con quello della matrice completa. Sia infatti −1, −2, −1, −2,U :=< (0, 1, 1), (1, 1, 3), (1, 1) >1 R8

Per trovare la sua equazione cartesiana scriviamo la sua matrice dei coefficienti e la sua matrice completa (che contiene anche la colonna delle incognite) 0 1 1 x0 1 1  −1−1 1 1 y1 1  M =M = Completa  −1 −2 −2−1 −2 −2 z   1 3 1 w1 3 1

Ora riduciamole con Gauss:  −1−1 1 11 10 1 1  −1 0 1 10 1 11 1  →→  −2−1 −3−1 −2 −2 0 00   0 0 00 2 21 3 1     −1−1 1 1 y1 1 y0 1 1 x    −1 0 1 1 x0 1 1 x1 1 y     →→     −2−1 −3−1 −2 −2 0 0 z + y + x0 z + yz         − −− 0 0 0 w y 2x0 2 2 w y1 3 1 w

Come si può notare, per far coincidere il rango delle due matrici è necessario che proprio la stessa relazione trovata per nel− − ⇒w y 2x = 0 w = 2x + y U1precedente esempio. 9

1.3 Trovare il vettore generico

1.3.1 Dai vettori della base

Ogni vettore può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base, quindi si può esprimere come sistema o come matrice.

Ad esempio, dati i vettori della base: −1,v = (1, 2, 0, 1) v = (1, 1, 1, 0) v = (1, 3, 1)1 2 3

Cerchiamo il generico vettore v = (x, y, z, w)

Scriviamo la combinazione αv + βv + γv = (x, y, z, w)1 2 3

Usando il sistema:  α + β + γ = x − α + β γ = y β + 3γ = z α + γ = w

Usando la matrice:   1 1 1 x α  −12 1 y  =β    0 1 3 z  γ  1 0 1 w

Se cerchiamo il vettore nullo basta porre tutte le coordinate uguali a 0

1.4 Scrivere la proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio

Per trovare l’espressione della proiezione ortogonale di un vettore dello spazio su unVsottospazio bisogna innanzitutto individuare una base ortonormaleU B :=ONdi tale sottospazio. A quel punto si applica la seguente formula:{w }, ..., w1 n →π (v) : V U tale cheU nXπ (v) = < v, w > wU i ii=110

Quindi in altre parole:π (v) =< v, w > w + ...+ < v, w > wU 1 1 n n

Se ne vogliamo calcolare l’espressione è sufficiente sostituire a l’espressione delvvettore generico di V

1.4.1 Esempio (calcolo dell’espressione della proiezione)

Sia sottospazio di scriviamo l’espressione3 3{(x, ∈ |U := y, z) x+y−2z = 0}R Rdella proiezione ortogonale su che chiamiamo . Innanzitutto3 →U π (v) : URUnotiamo che: {(2β − | ∈U = α, α, β) α, β R}

Quindi una base di può essere:U {(−1,B = 1, 0), (2, 0, 1)}

Adesso rendiamola ortogonale con Gram-Schmidt:′v := (−1, 1, 0)1< (2, 0, 1), (−1, 1, 0) >′ −v := (2, 0, 1) (−1, 1, 0) = (1, 1, 1)2 < (−1, 1, 0), (−1, 1, 0) >

La nostra base ortogonale sarà quindi:{(−1,B = 1, 0), (1, 1, 1)}O

Normalizziamola:(−1, 1, 0) (−1, 1, 0) 1√