Geometria/Algebra Lineare - preparazione per orale

Th di Binet.

Idet(A-invertibileB)(A (A) A(B)detdet det se e- · == =, <AdetDIM : 12 det(I) detI)A A I CA-'-'- det(A)det det1 CA-'1 (A detA DD =. . === = .== = det(A)

Th asterisso.M

haR)(nAt invertibile(A)det ED=O e, det A)]I> (l-1 Asi)de(A) aECA)+ +-A det= - · --DIM(=D) : /( Asi)xeE(A). +BA Asupponiamo -1)consoletiamo detdet to e == - O(i ) 1DOBBIAMO coeff alticimenticheB IA= iDIM CHE diDi posiooweto j sonose ,=. = , .,Dinans = deA R-SAlijB BiAT detArians Caplacedida lo svilupporicordandoci :=. .= ,((-1 1:b(BA) 1Per (Ariari)2) +i d(A)detj detis 1- V= C·== ·=. . ..det A =det(A)~↳ diagsulla den tutti 1avere. ((- deE(A)detA : 1 (Ariari)2) + (A2 AsdetPer An)A(BA) det d0+7 cris =i · .== = ...., ...., .,,, . .,↳ fuori tutidiagonaledalla devo zetiavere

Rouché-Capelli

Rouche-Capelli TH DI. incompletaUn haincognite completamatricesoluzionedi "m"ed"n" equazioni EDsistema edrH(A)=quindi rR(Alb>hanno uguale soloraugo sese, "GM-TA soluzioni"unicaha12 altrimenti harK(A) r(Alb)soluzionesistema m= == , .DIM : DH=14eM(mx2com-ruA R)rR(Alb) berRLA) Asupposto combsoluzioniha dilineare2== = :, .beI zHzA aimkm1 A =+ ,, +, +... b2AzmMm921 +Azz 42 +R =+...: buAumImAnziz+An1Ks+ + =... kmAM kmAMb R1A2 RzA2 b-ReA2-RzA2- O+ =D+ + -...= ... =CAlb)Dato hannorRCAlb)che MICA) oto nuclela riduzione nightA stessoscale or numeroa e := ,, II Di Ila soluzionel'ultima e1 riga del cheaim nulla linemabi ai nonAn éA1z .. . . . . . . . ,m-rH(A)equivalente I funzione oli parametriin :espressoab !amAzzI0 ,. . . . . . . . . Xi+Gren+1 Xx bicAire Gem Xm(Alb') + =0: i +...... i ...... 1+= Esprimendo funzione m-KinXi parameinudeibis otterremo.... :0 Aumeareni .. AimXm)(Aire)-1(bi-Gire CheXr risolvendo aleXe=⑧ -0⑧0 1⑧⑧ ... -+ + ,0 (corrispondenti ultimideglialleall'indietro primii coefficienti colonne pivot) m-1funzioneteesprimiamo dei in .(ati)-bie che l'aica soluzioneall'indiet1 insolvendose cioaraXim .= =, .

Orlam th degli

ORLAMTH DEGLI. A oreatiIMrRA=RAeM(nxm tutti suoiRY det FOconri= 12 fletminore :c 0&D cone e =,

Lemma di esistenza base

UNAESISTENZALEMMA TH BASEDI. wm}(Weunque indlin generatoni =D mane. ....., ...,,DIM :Per I Orcoefficientiassurdo ein tutidicomb danulei tn m non cic= . . ..? wm)V linearecombinazioneSpan scriviamo vi comeWe = i := ...., AimVe GnW Wm+ +...= ,Uz A2mWmAc W +...+,= ,: AneWI+Un AnmWm+...=l'eg AimWm) AnmWm)Xe(A1Ws+-- (AngWs+OrOn equivalente XnXnUn=Xevy+ é a + +. ...+ -.... =che Xn)We Xn)(92mX1Or=(Anxeequivalente AnmAne soddisfatvieueche+è a se++ ... ++...+...coeff dei tuttiW Xe soddisfallonuclisonoi overo se :n: ....,. ,E XnAni 091x + =+..., (in RSMA t (mxnsist mainiceomogeneo2 con: ,..Anm XnaimXr+ 0+... = =1)haRorche quindiISe soluzioni toRA Capelli evinen per e8ma ovvero- ,, lin indipendentiMett tultiOr EKnUn= qui vinulliKi chturdo Ve Une innon quantocon sono+... ..... .. .

Th di esistenza base

Una esistenza th base DI. VFOr baseVV finitamente almenogeneratovenorialespazio =P ammette una,DIM : Un[VeUnY/Ve baseformanoV Vlineamente indipche diSpan dove generatonisono se a= , ..., .....,. , { Un elQuindi di Spanordinare norveroni VeUne chemeno sappiamoa ei, .....,Un/ Spand Un-2} [Ne Un-elV Span baselin diformancindipendenti-D VVe doveUn sono una= = ....,...,. ., ....., .,

Th completamento di una base

Th completamento DI UNA BASE.Uspazio UpeVdimv=n indipendentivenotate =Dkanvenotive cone sano ...,, Un-k]SVaVIn-H dibase VWe Wi-RVettore - eWe una:* i, ..., ...,, ..., .,.DIM : Un}{ VIEE dato SwazSpan EcVche HanVa === =...,, Wel!Es completa altrimenti iterobaseSpan + laquindiAggiungiamo 1Ve Un Dvenoreun se n è= ==..., , ,,

Formula di Grassmann

GrassmannDIFORMULA↓ (Unw) +w)+dim(u U+ oimfinutadimveroriate V dim W=Doimsotiospazioli Wspazio Sranoe =,DIM : { p}Base UnWdi Ve: ...,, walBu=(Un /VeUn} diBu p+ redimWdimsibasecompletiamo Vad Up pMeUp We euna e = = +=..., ....,..., , ...,, , ,,> Wa} UBBasia locheolimostrare bane die +W olimUe +WVe MiMaUp We e rse p += s== +...,, ...,,....,, , ,dim(Unw)+dim(U dim (p s)s)+omW (p(pW) i)ic++p=> + = = +++ ++Quindi olobbiamo indipendentiolimostrareU WB linearimenteche+genera sono :, OnBylicBalt+& &pUp WeWs+ WgWs=Ve ++ =++ ++ ...... ...- ne u)=Unw(xVEUnW 0J WWe =Du w Dwule ==+ + - +=linsignifica IpUp-VeWs OrJpUpcomb Usdei DEUs WsWde VeWI IW Vi Ws ++è + = --+= =+=+ ... ...... .... . :Essendo =EpEslin ind Us 0Un UsUp We Ws Dea Sincomb diventainiziate== :...= ... =...., ..., ==. =. , ..BrM indlin bi& Mr&pUp <PDu 0Ve Be1Me Up1Vs DX1=Meessendoma++ + =+ =+ == == ...... ....... =...,,..., ,,

Th della dimensione

Th della dimensione. Dolimiter VNoi VTabbiamo (T)+oimIm(T)W clim: = = =DIM : B[TSdimV= conBN A mainiceBr dimW n nxmm con ==, (Kei TFF isomorfismo dimdimkerT=e D= 0}{XERM Rouche-Capelli dimFi (KeRTcheFBCReRT A m-rRAX = per: -= =+dimImLT) (m-rRA)olimKen(T) dim VrRA m=> + = ==

Th diagonalizzazione

Th diagonalizzazione. diagonalizzabileolimV DIBTVvTi da Tdie composian autoveroti= = =DIM : [Va UnYD7diagonalizzabileTe Br& :Ve= = ...,,, [runs=((8)18488 ⑧[T33 [TIB[T(alche⑧ =vena == :B= ...;:0an T(Un)=dnUnT(Vz) autovetionda Vz TdiquindiT(VI) 01V1 EDU1 UnVeOvvero sonoD e= == ; ...; ...,, , .;

Criterio di diagonalizzabilità

DIAGONALIZZABILITACRITERIO DIdimV= nT VV -: :,diagonalizzabileT1) èAER XX2) MaMAe =,XER glioli tuti3) Ma=hSommaeDIM i IBdiagonalizzabile da diagonautovetoi associateEssendo la(2)(2) matT di Tecomposia e== . .11 ⑧ ②⑳[T] x 8⑧ .. x2) xn) /17(X X2 Xn(X nedovePt2 De se =..= -= - . . . .......,o o Xn0 0 oMA(Xi) ma(bi) MaCXilma(Xi) 11 d) c v= ==> = ,, .= . .(2) (3) delle it digradeLa anche dellela lo eme Ma