Funzioni continue - Dimostrazioni teoremi spiegate

Funzioni continue di variabile reale

Teorema di Weierstrass

Sia I = [a, b] un intervallo chiuso e limitato e f: I → R una funzione continua su I.

Allora f ammette massimo assoluto e minimo assoluto in I, cioè esistono x_min, x_max ∈ I t.c. f(x_min) = min f(x), f(x_max) = max f(x).

Ricorda

• X_min → punto di minimo
• X_max → punto di massimo

Massimo e minimo assoluti sono unici.

Dimostrazione:

Dimostriamo l’esistenza del massimo, il caso del minimo è del tutto analogo.

Sia M = sup {f(x) : x ∈ I} e M ∈ R ∪ {±∞}.

Dato che M può essere un numero reale oppure ±∞, distinguiamo i due casi:

Sia M ∈ R.

Per definizione di estremo superiore, sappiamo che ∀ε > 0 ∃x_ε ∈ I t.c. M - ε ε) ≤ M.

Poniamo ε = 1/n, dove n ∈ ℕ\{0}.

Allora, rielaborando la precedente definizione di estremo superiore, otteniamo ∀n ∈ ℕ\{0} ∃x_ε ∈ I t.c. M - 1/n ε) ≤ M.

Questo però equivale a dire che esiste una successione (x_n)_{n ∈ ℕ\{0}} limitata in I.

Vedi: p. 52, p. 220

Teorema di Weierstrass

Sia I=[a,b] un intervallo chiuso e limitato e f: I → ℝ una funzione continua su I.

Allora f ammette massimo (assoluto) e minimo (assoluto) in I, cioè esistono x_min, x_max ∈ I t.c. f(x_min) = min f(x), f(x_max) = max f(x).

Ricorda!

• X_min → punto di minimo
• X_max → punto di massimo

Massimo e minimo assoluti sono unici.

Dimostrazione:

Dimostriamo l'esistenza del massimo, il caso del minimo è del tutto analogo.

Sia H=sup {f(x), x ∈ I} e H ∈ ℝ U {+∞}.

Dato che H può essere un numero reale oppure +∞, distinguiamo i due casi:

• Sia H ∈ ℝ.

Per definizione di estremo superiore, sappiamo che ∀ε > 0 ∃x_ε ∈ I t.c. H - ε ε) ≤ H.

Poniamo ε = 1/n, dove n ∈ ℕ\{0}.

Allora rielaborando la precedente definizione di estremo superiore, otteniamo ∀n ∈ ℕ\{0} ∃x_n ∈ I t.c. H - 1/n n) ≤ H.

Questo però equivale a dire che esiste una successione (x_n)_{n ∈ ℕ\{0}} limitata in I.

Per il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni, allora, esiste una sottosuccessione (x_nk)_k∈N convergente.

Ipotizziamo che (x_nk)_k∈N converga a x_max∈ℝ per K→+∞. Vogliamo verificare che x_max∈I e che f(x_max)=ᵧ.

Per quanto riguarda la prima verifica, siccome ∀k∈N a ≤ x_nk ≤ b (ovvero per ogni k∈N tutti i termini di (x_nk)_k sono compresi tra gli estremi a, b dell'intervallo I) abbiamo che, per il teorema del confronto, a ≤ X_max ≤ b per K→+∞.

Di conseguenza, per definizione di intervallo, x_max∈I. Ora vogliamo verificare che f(x_max)=ᵧ.

Sapendo che se una sottosuccessione (a_nk)_k∈N ha limite l∈ℝ allora anche la sua successione (a_n)_n∈N ha limite l, abbiamo che lim_K→+∞ x_nk = X_max = lim_n→+∞ x_n.

Inoltre, per continuità di una funzione f, lim_n→+∞ f(x_n) = f(x_max).

Dunque, ricordandoci che M-¹_n ≤ f(x_n) ≤ M, ora possiamo affermare che, per il teorema dei due carabinieri, M-¹_n ≤ f(x_n) ≤ M.

↓                                   ↓     M                                        M.

f(x_max)=M                                   for n→+∞ (ovvero che, siccome per n^→+∞, M^1/n→1 e M_1/n→M, anche f(x_n)→f(x_max)=1, dove M=.

Per definizione di massimo (assoluto), dato che esiste un punto in cui la funzione assume il valore di M (cioè x_max, come avevamo visto prima) quest’ultimo non è solo estremo superiore, bensì anche massimo (assoluto).

2) Supponiamo per assurdo che M=+∞.

Per definizione di estremo superiore, sappiamo che ∀n∈ℕ ∃x_n∈I t.c. f(x_n)>n, la quale equivale a dire che esiste una successione (x_n)_n∈ℕ illimitata in I.

Per il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni, allora, esiste una sottosuccessione (x_nk)_k∈ℕ convergente.

Ipotizziamo che (x_nk)_k∈ℕ converga a x_max∈ℝ.

Come abbiamo già visto prima, x_max∈I e lim_n→+∞ f(x_nl)=f(x_max).

Dunque, ricordandoci che f(x_n≥M, possiamo affermare che f(x_max)=lim_n→+∞ f(x_n)=M=+∞.

Ne deduciamo, quindi, che f(x_max)∈ℝ.

Per me: caso del minimo assoluto

Per me: Caso del minimo (assoluto) [in brevissimo]

Dimostrazione:

m = inf{f(x) : x ∈ I} e m ∈ R ∪ {-∞}.

• M ∈ R

∀ε>0 ∃x_ε∈I t.c. m ≤ f(x_ε) ≤ m+ε.

ε=1/n , n∈N* (N* = N\{0})

∀n∈N* ∃x_n∈I t.c. m ≤ f(x_n) ≤ m+1/n.

(x_n)_n∈N* limitata ⟹ (x_nk)_k∈N sottosuccessione convergente.

Teorema Bolzano-Weierstrass per successioni.

x_nk → x_min ∈ R per k→+∞.

∀K a≤x_nk≤b ⟹ a≤x_min≤b ⇒ x_min∈I.

Teorema del confronto.

lim_k→+∞ x_nk = lim_n→+∞ x_n = x_min.

Continuità di f.

lim_n→+∞ f(x_n) = f(x_min).

m ≤ f(x_n) ≤ m+1/n.

Teorema dei due carabinieri.

m ≤ f(x_min) = m ≤ f(x_min).

m = inf{f(x) : x ∈ I}.

x_min∈I ⟹ m = min f(x).

2) m=-∞.

∀n∈ℕ ∃x_n∈I t.c. f(x_n) ≤ n (vedi p. 221).

(x_n)_n∈ℕ limitato.

Teorema Bolzano-Weierstrass per successioni.

(x_nk)_k∈ℕ sottosuccessione convergente.

(x_nk)_k∈ℕ ⟶ x_min ∈ ℝ per k→+∞ x_min ∈ I lim_n→+∞ f(x_n) = f(x_min) ⟹ f(x_n) ≤ n.

f(x_min) = lim_n→+∞ f(x_n) = m = -∞.

f(x_min) = m ∈ ℝ.

2)

Per me: come mai no M±1/n?

Per me: Come mai no M±¹/_n?

La definizione di lim a_n = l∈ℝ sarebbe ∀ε>0 ∀P∈ℝ t.c. ∀n≥P ⇒ |a_n - l| < ε.

l-ε<a_n<l+ε ⇐⇒

Quindi, dovrebbe essere M - 1/n < f(x_n) ≤ M + 1/n.

Però, siccome deriva dalla commistione con la definizione di estremo superiore non ci può essere qualcosa maggiore di M se M = sup{g(x) : x∈I} (altrimenti M ≠ sup{g(x) : x∈I}).

Cosa vuol dire "ricordiamoci f(x_n) > n"?

La definizione di lim a_n = +∞ n → +∞ ∀N > 0 ∃P ∈ ℝ t.c. n > P ⇒ a_n > N.

Quindi, se sostituiamo: (M = +∞, (a_n > N) = f(x_n) > n otteniamo la definizione di lim M → +∞ f(x_n) = M = +∞.

Similmente anche per il caso del minimo.

N.B.

La continuità di f nel teorema di Weierstrass è una condizione sufficiente, ma non necessaria affinché una funzione abbia massimo e minimo (assoluti) in un intervallo chiuso e limitato.

Teorema degli zeri o di Bolzano

Sia I = [a,b] un intervallo chiuso e limitato e f: I → ℝ una funzione continua su I.

Se f(a) · f(b) ∃x_o ∈ (a,b) t.c. f(x_o) = 0.

Dimostrazione:

Supponiamo che f(a) < 0 e f(b) (l'altro caso è del tutto analogo).

Costruiamo due successioni (a_n)_n∈N e (b_n)_n∈N convergenti a uno zero x₀∈(a,b) di f tramite il metodo della bisezione.

Poniamo a₀=a e b₀=b e consideriamo il punto medio dell'intervallo [a₀,b₀], ovvero il punto ^a₀+b₀/₂.

Valutiamo f in questo punto e cerchiamo di ricondurci a un intervallo [a₁,b₁] strettamente contenuto in [a₀,b₀] e dove f gode delle stesse proprietà (cioè che in sostanza verifichi che agli estremi assume valori di segno opposto, visto che se f è continua in [a₀,b₀], lo è anche in ogni suo sottoinsieme.)

Si distinguono, quindi, tre casi:

• Se f(^a₀+b₀/₂) = 0, la dimostrazione è finita perché abbiamo trovato uno zero di f.
• Se f(^a₀+b₀/₂) < 0, poniamo a₁ = ^a₀+b₀/₂ , b₁ = b₀.
• Se f(^a₀+b₀/₂) > 0, poniamo a₁ = a₀ , b₁ = ^a₀+b₀/₂.

Più in generale, supposto di aver costruito l'intervallo [a_n, b_n], l'intervallo [a_n+1, b_n+1] si costruisce nel seguente modo:

• Se \( f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)=0 \), la dimostrazione è finita perché abbiamo trovato un punto dove si annulla f.
• Se \( f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)0 \), poniamo \( a_{n+1}=a_n \), \( b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \).

Andando avanti così, se si trova un punto dove la funzione si annulla, il teorema è dimostrato. Altrimenti, le successioni (a_n)_n∈ℕ e (b_n)_n∈ℕ che si costruiscono soddisfano le seguenti proprietà:

• A ≤ a_n ≤ b_n ≤ b, ovvero a_n, b_n ∈ I.
• (a_n)_n∈ℕ è (monotona) crescente.
• (b_n)_n∈ℕ è (monotona) decrescente.
• B_n - a_n = \( \frac{b-a}{2^n} \).
• F(a_n) ≤ 0 e f(b_n) ≥ 0 (ipotesi iniziali).

Queste proprietà assicurano che entrambe le successioni convergono ad un punto x₀ ∈ (a, b) t.c. f(x₀) = 0.

Verifichiamo:

Dalle proprietà i) e ii), si evince rispettivamente che (a_n)_n∈N e (b_n)_n∈N sono successioni limitate e monotone, di conseguenza esse hanno entrambe limite finito lim a_n = l_a ∈ ℝ , lim b_n = l_b ∈ ℝ.

Dalla proprietà iii), passando al limite per n→+∞, si ha che l_b - l_a = lim b_n - lim a_n == lim b_n - a_n == lim ^{b - a}/_2ⁿ = 0 ⇒ l_b = l_a dove l_b = l_a lo chiamiamo x₀.

Infine, dalla proprietà iv), passando al limite per n→+∞ e applicando la continuità di f piú il corollario del teorema del confronto dei limiti, otteniamo che f(x₀) = lim f(a_n) ≤ 0 f(x₀) = lim f(b_n) ≥ 0.

Se ne deduce, dunque, che f(x₀) = 0. ■

Dimostrazione in brevissimo

Dimostrazione: [in brevissimo]

Supponiamo \( f(a) > 0 \) e \( f(b) Costruiamo \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) e \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) tramite il metodo della bisezione nel seguente modo: poniamo \(a_0 = a\), \(b_0 = b\) e \(a_0 in generale, avremo 3 casi (dopo aver costruito \([a_n, b_n]\)).

• \(f\left(\frac{a_n + b_n}{2}\right) = 0\) → dimostrazione finita (teorema verificato).
• \(f\left(\frac{a_n + b_n}{2}\right) \(a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}\) \(b_{n+1} = b_n\).
• \(f\left(\frac{a_n + b_n}{2}\right) > 0\) → \(a_{n+1} = a_n\) \(b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}\).

Se \(f\left(\frac{a_n + b_n}{2}\right) \neq 0\), \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) e \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) godono delle seguenti proprietà:

• \(a_n, b_n \in I\) → \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) e \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) sono successioni limitate.
• \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) crescente, \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) decrescente → \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) e \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) sono successioni monotone → \(\lim_{n \to +\infty} a_n = l_a \in \mathbb{R}\) \(\lim_{n \to +\infty} b_n = l_b \in \mathbb{R}\).
• \((b_n - a_n) = \frac{b-a}{2^n}\) → \( n \to +\infty \) → \(l_b = l_a = x_0\).
• \(f(a_n) \geq 0\) e \(f(b_n) \leq 0\) (cambia solo questo).
• \(| n \to +\infty \), continuità di \) e corollario teorema del confronto.
• \(f(x_0) \geq 0\) e \(f(x_0) \leq 0\) → \(f(x_0) = 0\).

Per me: rappresentazione grafica della bisezione

Per me: Rappresentazione grafica della bisezione

Esempio:

a₀=a , b₀=b , dove I=[a,b]

• F(^a₀+b₀/₂)<0 , poniamo.
• F(^a₁+b₁/₂)<0 , poniamo.
• F(^a₂+b₂/₂)<0 , poniamo.
• F(^a₃+b₃/₂)=0 → ∃ x₀∈I t. c. f(x₀)=0.

a₁=a₀

b₁=^a₀+b₀/₂

a₂=^a₁+b₁/₂

b₂=b₁

a₃=a₂

b₃=^b₂+a₂/₂

Spiegazione

Sapendo che la f è continuità b_n→x₀ ↔ lim a_n=lim b_n, per f(x₀)=lim f(a_n)=lim f(b_n).

Ricordandoci, dalla proprietà iv), che f(a_n) ≤ 0 e f(b_n) ≥ 0, per il corollario del teorema del confronto, sappiamo che se f(a_n) ≤ 0 allora f(x_o) = lim_n→+∞ f(a_n) ≤ 0 e se f(b_n) ≥ 0, allora f(x_o) = lim_n→+∞ f(b_n) ≥ 0.

Siccome f(x_o) è contemporaneamente ≥ e ≤ 0, sicuramente non potrà essere > e o) = 0.

N.B.

Come per il teorema di Weierstrass, anche per il teorema degli zeri: la continuità di f è solo una condizione sufficiente, ma non necessaria, affinché una funzione ammetta almeno uno zero.

Teorema dei valori intermedi

Siano I = [a, b] un intervallo chiuso e limitato e f: I → ℝ una funzione continua su I.

Se y ∈ ℝ t.c. f(a) ≤ y ≤ f(b) allora f(x) assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b), ovvero ∃ c ∈ I t.c. f(x) = y.

Dimostrazione:

Supponiamo per semplicità che f(a) ≤ f(b) (l'altro caso è del tutto analogo).

Sia f(a) ≤ y ≤ f(b).

Consideriamo la funzione g(x) = f(x) − y continua su I t.c.

g(a) = f(a) − y ≤ 0

g(b) = f(b) − y ≥ 0

Per il teorema degli zeri, sappiamo che ∃ c ∈ (a, b) t.c. g(x) = 0, dove, però, g(x) = f(x) − y.

Ne deduciamo, dunque che f(x) = y.

Per me: da dove vengono fuori?

Per me: Da dove vengono fuori?

Sapendo che f(a) ≤ y ≤ f(b), possiamo affermare che f(a) − y ≤ 0 e f(b) − y ≥ 0.

Inoltre, se g(a) = f(a) − y ≤ 0 e g(b) = f(b) − y ≥ 0, che così viene anche verificata l'ultima ipotesi del teorema degli zeri, ovvero che g(a) ⋅ g(b) ≤ 0.

(per questo possiamo applicarlo nelle dimostrazione)