Funzioni continue - Dimostrazioni teoremi spiegate

Funzioni Continue di Variabile Reale

Teorema di Weierstrass

Sia I = [a, b] un intervallo chiuso e limitato e f: I → R una funzione continua su I.Allora f ammette massimo (assoluto) e minimo (assoluto) in I, cioè esistono x_min, x_max ∈ I t.c.f(x_min) = min f(x), f(x_max) = max f(x)

RICORDA

• x_min → punto di minimo
• x_max → punto di massimo

Massimo e minimo assoluti sono UNICI.

DIMOSTRAZIONE:

Dimostriamo l’esistenza del massimo, il caso del minimo è del tutto analogo.Sia M = sup {f(x) : x ∈ I} e M ∈ R ∪ {±∞}.Dato che M può essere un numero reale oppure ±∞, distinguiamo i due casi:

• Sia M ∈ R.Per definizione di estremo superiore, sappiamo che∀ε > 0 ∃x_ε ∈ I t.c. M - ε < f(x_ε) ≤ MPoniamo ε = 1/n, dove n ∈ ℕ\{0}.Allora, rielaborando la precedente definizione di estremo superiore, otteniamo∀n ∈ ℕ\{0} ∃x_ε ∈ I t.c. M - 1/n < f(x_ε) ≤ MQuesto però equivale a dire che esiste una successione (x_n)_{n ∈ ℕ\{0}} limitata in I.

vedi: p. 52, p. 220

Funzioni Continue di Variabile Reale

Teorema di Weierstrass

Sia I=[a,b] un intervallo chiuso e limitato e f: I → ℝ una funzione continua su I.

Allora f ammette massimo (assoluto) e minimo (assoluto) in I, cioè esistono x_min, x_max ∈ I

E.c. f(x_min) = min f(x), f(x_max) = max f(x)

Ricorda!

x_min → punto di minimox_max → punto di massimo

Massimo e minimo assoluti sono unici.

Dimostrazione:

Dimostriamo l'esistenza del massimo, il caso del minimo è del tutto analogo.

Sia H=sup {f(x), x ∈ I} e H ∈ ℝ U {+∞}.

Dato che H può essere un numero reale oppure +∞, distinguiamo i due casi:

1. Sia H ∈ ℝ.

Per definizione di estremo superiore, sappiamo che ∀ε > 0 ∃x_ε ∈ I t.c. H - ε < f(x_ε) ≤ H

Poniamo ε = 1/n, dove n ∈ ℕ\{0}.

Allora rielaborando la precedente definizione di estremo superiore, otteniamo

∀n ∈ ℕ\{0} ∃x_n ∈ I t.c. H - 1/n < f(x_n) ≤ H.

Questo però equivale a dire che esiste una successione (x_n)_{n ∈ ℕ\{0}} limitata in I.

Per il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni, allora, esiste una sottosuccessione (x_nk)_k∈N convergente.

Ipotizziamo che (x_nk)_k∈N converga a x_max∈ℝ per K→+∞. Vogliamo verificare che x_max∈I e che f(x_max)=ᵧ.

Per quanto riguarda la prima verifica, siccome ∀k∈N a ≤ x_nk ≤ b

(ovvero per ogni k∈N tutti i termini di (x_nk)_k sono compresi tra gli estremi a, b dell'intervallo I)

abbiamo che, per il teorema del confronto,

a ≤ X_max ≤ b per K→+∞.

Di conseguenza, per definizione di intervallo, x_max∈I. Ora vogliamo verificare che f(x_max)=ᵧ.

Sapendo che se una sottosuccessione (a_nk)_k∈N ha limite l∈ℝ allora anche la sua successione (a_n)_n∈N ha limite l, abbiamo che

lim_K→+∞ x_nk = X_max = lim_n→+∞ x_n

Inoltre, per continuità di una funzione f,

lim_n→+∞ f(x_n) = f(x_max)

Dunque, ricordandoci che M-¹_n ≤ f(x_n) ≤ M, ora possiamo affermare che, per il teorema dei due carabinieri,

M-¹_n ≤ f(x_n) ≤ M

↓                                   ↓

    M                                        M

f(x_max)=M                                  for n→+∞

(ovvero che, siccome per n^→+∞, M^1/n→1 e M_1/n→M, anche f(x_n)→f(x_max)=1, dove M=

Per definizione di massimo (assoluto), dato che esiste un punto in cui la funzione assume il valore di M (cioè x_max, come avevamo visto prima) quest’ultimo non è solo estremo superiore, bensì anche massimo (assoluto).

2) Supponiamo per assurdo che M=+∞.

Per definizione di estremo superiore, sappiamo che ∀n∈ℕ ∃x_n∈I t.c. f(x_n)>n

la quale equivale a dire che esiste una successione (x_n)_n∈ℕ illimitata in I.

Per il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni, allora, esiste una sottosuccessione (x_nk)_k∈ℕ convergente.

Ipotizziamo che (x_nk)_k∈ℕ converga a x_max∈ℝ.

Come abbiamo già visto prima, x_max∈I e lim_n→+∞ f(x_nl)=f(x_max)

Dunque, ricordandoci che f(x_n≥M, possiamo affermare che

f(x_max)=lim_n→+∞ f(x_n)=M=+∞

Ne deduciamo, quindi, che f(x_max)∈ℝ

Per me: Caso del minimo (assoluto) [in brevissimo]

Dimostrazione:

m = inf{f(x) : x ∈ I} e m ∈ R ∪ {-∞}

1. m ∈ R

∀ε>0 ∃x_ε∈I t.c. m ≤ f(x_ε) ≤ m+ε

ε=1/n , n∈N* (N* = N\{0})

∀n∈N* ∃x_n∈I t.c. m ≤ f(x_n) ≤ m+1/n

(x_n)_n∈N* limitata ⟹ (x_nk)_k∈N sotto successione convergente

Teorema Bolzano-Weierstrass per successioni

x_nk → x_min ∈ R per k→+∞

∀K a≤x_nk≤b ⟹ a≤x_min≤b ⇒ x_min∈I

Teorema del confronto

lim_k→+∞ x_nk = lim_n→+∞ x_n = x_min

continuità di f

lim_n→+∞ f(x_n) = f(x_min)

m ≤ f(x_n) ≤ m+1/n

Teorema dei due carabinieri

m ≤ f(x_min) = m ≤ f(x_min)

m = inf{f(x) : x ∈ I}

x_min∈I ⟹ m = min f(x)

2) m=-∞

∀n∈ℕ ∃x_n∈I t.c. f(x_n) ≤ n (vedi p. 221)(x_n)_n∈ℕ limitato

Teorema Bolzano-Weierstrassper successioni

(x_nk)_k∈ℕ sottosuccessione convergente

(x_nk)_k∈ℕ ⟶ x_min ∈ ℝ per k→+∞

• x_min ∈ I
• lim_n→+∞ f(x_n) = f(x_min)

⟹ f(x_n) ≤ n

f(x_min) = lim_n→+∞ f(x_n) = m = -∞

f(x_min) = m ∈ ℝ

2)

Per me: Come mai no M±¹/_n?

La definizione di lim a_n = l∈ℝ sarebbe∀ε>0 ∀P∈ℝ t.c. ∀n≥P ⇒ |a_n - l| < εl-ε<a_n<l+ε ⇐⇒

Quindi, dovrebbe essere M - 1/n < f(x_n) ≤ M + 1/n.Però, siccome deriva dalla commistione con la definizionedi estremo superiore non ci può essere qualcosamaggiore di M se M = sup{g(x) : x∈I}

(altrimenti M ≠ sup{g(x) : x∈I})

Cosa vuol dire "ricordiamoci f(x_n) > n"?

La definizione di lim a_n = +∞n → +∞

∀N > 0 ∃P ∈ ℝ t.c. n > P ⇒ a_n > N

Quindi, se sostituiamo:(M = +∞, (a_n > N) = f(x_n) > notteniamo la definizione di limM → +∞ f(x_n) = M = +∞.

Similmente anche per il caso del minimo.

N.B.

La continuità di f nel teorema di Weierstrassè una condizione sufficiente, ma non necessariaaffinché una funzione abbia massimo e minimo (assoluti)in un intervallo chiuso e limitato.

Teorema degli zeri (o di Bolzano)

Sia I = [a,b] un intervallo chiuso e limitato ef: I → ℝ una funzione continua su I.Se f(a) · f(b) < 0, allora f ammette almenouno zero in (a,b), ovvero

∃x_o ∈ (a,b) t.c. f(x_o) = 0

Dimostrazione:

Supponiamo che f(a) < 0 e f(b) (l'altro caso è del tutto analogo).

Costruiamo due successioni (a_n)_n∈N e (b_n)_n∈N convergenti a uno zero x₀∈(a,b) di f tramite il metodo della bisezione.

Poniamo a₀=a e b₀=b e consideriamo il punto medio dell'intervallo [a₀,b₀],

ovvero il punto

^a₀+b₀/₂.

Valutiamo f in questo punto e cerchiamo di ricondurci a un intervallo [a₁,b₁] strettamente

contenuto in [a₀,b₀] e dove f gode delle stesse proprietà (cioè che in sostanza verifichi che

agli estremi assume valori di segno opposto, visto che se f è continua in [a₀,b₀], lo è anche

in ogni suo sottoinsieme.)

Si distinguono, quindi, tre casi:

1. se f(^a₀+b₀/₂) = 0, la dimostrazione è finita perché abbiamo trovato uno zero di f.
2. Se f(^a₀+b₀/₂) < 0, poniamoa₁ = ^a₀+b₀/₂ , b₁ = b₀
3. Se f(^a₀+b₀/₂) > 0, poniamoa₁ = a₀ , b₁ = ^a₀+b₀/₂

Più in generale, supposto di aver costruito l'intervallo [a_n, b_n], l'intervallo [a_n+1, b_n+1] si costruisce nel seguente modo:

1. Se \( f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)=0 \), la dimostrazione è finita perché abbiamo trovato un punto dove si annulla f
2. Se \( f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)0 \), poniamo \( a_{n+1}=a_n \), \( b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \)

Andando avanti così, se si trova un punto dove la funzione si annulla, il teorema è dimostrato. Altrimenti, le successioni (a_n)_n∈ℕ e (b_n)_n∈ℕ che si costruiscono soddisfano le seguenti proprietà:

1. a ≤ a_n ≤ b_n ≤ b, ovvero a_n, b_n ∈ I
2. (a_n)_n∈ℕ è (monotona) crescente(b_n)_n∈ℕ è (monotona) decrescente
3. b_n - a_n = \( \frac{b-a}{2^n} \)
4. f(a_n) ≤ 0 e f(b_n) ≥ 0 (ipotesi iniziali)

Queste proprietà assicurano che entrambe le successioni convergono ad un punto x₀ ∈ (a, b) t.c. f(x₀) = 0.

Verifichiamo:

Dalle proprietà i) e ii), si evince rispettivamente che (a_n)_n∈N e (b_n)_n∈N sono successioni limitate e monotone, di conseguenza esse hanno entrambe limite finito

lim a_n = l_a ∈ ℝ , lim b_n = l_b ∈ ℝ .

Dalla proprietà iii), passando al limite per n→+∞, si ha che

l_b - l_a = lim b_n - lim a_n =

= lim b_n - a_n =

= lim ^{b - a}/_2ⁿ = 0 ⇒ l_b = l_a

dove l_b = l_a lo chiamiamo x₀.

Infine, dalla proprietà iv), passando al limite per n→+∞ e applicando la continuità di f piú il corollario del teorema del confronto dei limiti, otteniamo che

f(x₀) = lim f(a_n) ≤ 0

f(x₀) = lim f(b_n) ≥ 0 .

Se ne deduce, dunque, che f(x₀) = 0. ■

DIMOSTRAZIONE:

[in brevissimo]

Supponiamo \( f(a) > 0 \) e \( f(b) < 0 \).

Costruiamo \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) e \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) tramite il metodo della bisezione nel seguente modo:

poniamo \(a_0 = a\), \(b_0 = b\) e \(a_0 < b_0\) \(I_0 = \left[\frac{a_0 + b_0}{2}\right]\)

in generale, avremo 3 casi (dopo aver costruito \([a_n, b_n]\))

1. \(f\left(\frac{a_n + b_n}{2}\right) = 0\) → dimostrazione finita (teorema verificato)
2. \(f\left(\frac{a_n + b_n}{2}\right) < 0\) →
   • \(a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}\)
   • \(b_{n+1} = b_n\)
3. \(f\left(\frac{a_n + b_n}{2}\right) > 0\) →
   • \(a_{n+1} = a_n\)
   • \(b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}\)

Se \(f\left(\frac{a_n + b_n}{2}\right) \neq 0\), \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) e \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) godono delle seguenti proprietà:

• \(a_n, b_n \in I\) → \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) e \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) sono successioni limitate
• \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) crescente, \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) decrescente → \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) e \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) sono successioni monotone →
  • \(\lim_{n \to +\infty} a_n = l_a \in \mathbb{R}\)
  • \(\lim_{n \to +\infty} b_n = l_b \in \mathbb{R}\)
• \((b_n - a_n) = \frac{b-a}{2^n}\) → \( n \to +\infty \) → \(l_b = l_a = x_0\)
• \(f(a_n) \geq 0\) e \(f(b_n) \leq 0\) (cambia solo questo)

\(| n \to +\infty \), continuità di \) e corollario teorema del confronto

\(f(x_0) \geq 0\) e \(f(x_0) \leq 0\) → \(f(x_0) = 0\).

Per me: Rappresentazione grafica della bisezione

Esempio:

a₀=a , b₀=b , dove I=[a,b]

1. f(^a₀+b₀/₂)<0 , poniamo
2. f(^a₁+b₁/₂)<0 , poniamo
3. f(^a₂+b₂/₂)<0 , poniamo
4. f(^a₃+b₃/₂)=0 → ∃ x₀∈I t. c. f(x₀)=0

a₁=a₀

b₁=^a₀+b₀/₂

a₂=^a₁+b₁/₂

b₂=b₁

a₃=a₂

b₃=^b₂+a₂/₂

Spiegazione

Sapendo che la f è continuità b_n→x₀ ↔ lim a_n=lim b_n, per

f(x₀)=lim f(a_n)=lim f(b_n)

Ricordandoci, dalla proprietà iv), che f(a_n) ≤ 0 e f(b_n) ≥ 0, per il corollario del teorema del confronto, sappiamo che

se f(a_n) ≤ 0 allora f(x_o) = lim_n→+∞ f(a_n) ≤ 0

e se f(b_n) ≥ 0, allora f(x_o) = lim_n→+∞ f(b_n) ≥ 0 .

Siccome f(x_o) è contemporaneamente ≥ e ≤ 0, sicuramente non potrà essere > e < di 0 nello stesso momento, di conseguenza, siccome non sono disuguaglianze strette, possiamo concludere che sicuramente f(x_o) = 0 .

N.B.Come per il teorema di Weierstrass, anche per il teorema degli zeri: la continuità di f è solo una condizione sufficiente, ma non necessaria, affinché una funzione ammetta almeno uno zero.

Teorema dei valori intermedi:

Siano I = [a, b] un intervallo chiuso e limitato e f: I → ℝ una funzione continua su I.

Se y ∈ ℝ t.c. f(a) ≤ y ≤ f(b) allora f(x) assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b), ovvero ∃ c ∈ I t.c. f(x) = y.

Dimostrazione:

Supponiamo per semplicità che f(a) ≤ f(b) (l'altro caso è del tutto analogo).

Sia f(a) ≤ y ≤ f(b).

Consideriamo la funzione g(x) = f(x) − y continua su I t.c.

• g(a) = f(a) − y ≤ 0
• g(b) = f(b) − y ≥ 0

Per il teorema degli zeri, sappiamo che ∃ c ∈ (a, b) t.c. g(x) = 0, dove, però, g(x) = f(x) − y.

Ne deduciamo, dunque che f(x) = y.

Per me: Da dove vengono fuori?

Sapendo che f(a) ≤ y ≤ f(b), possiamo affermare che

• f(a) − y ≤ 0 e f(b) − y ≥ 0

Inoltre, se g(a) = f(a) − y ≤ 0 e g(b) = f(b) − y ≥ 0, che così viene anche verificata l'ultima ipotesi del teorema degli zeri, ovvero che g(a) ⋅ g(b) ≤ 0.

(per questo possiamo applicarlo nelle dimostrazione)