Funzioni continue

Prolungamento per continuità

Una funzione f(x), se non è definita in x₀ ma esiste finito [lim_x→x0 f(x) = e] => può essere prolungata per continuità anche in x₀, ponendo f(x₀) = e.

Esempio

sinx/x è definita in x=0 ma lim_x→0 sinx/x = 1 => f(x) = {sinx/x x≠0 1 x=0.

La funzione è continua in x=0.

Se f in x₀ possiede una discontinuità a salto, un A.N., o non ammette limite finito non è possibile renderla continua in x₀.

Prolungamento per continuità

Una funzione f(x), se non è definita in x₀ ma esiste finito [lim ≤ f(x) ∀ x ∈ [a,b], una f costante ha tutti massimi e minimi assoluti e/o minimi relativi.

Punti di discontinuità

Salto

Salto = lim_x→x0⁺ f(x) ≠ lim_x→x0^- f(x), ma devono essere finiti i risultati.

Altezza del salto: |l₂−l₁|.

Naturalmente non si può parlare di discontinuità dove f non è definita, si può parlare di singolarità.

Eliminabile

Eliminabile: lim_x→x0⁺ f(x) = lim_x→x0^- f(x) ≠ f(x).

II specie

II specie: se anche uno tra lim_x→x0⁺ f(x) e lim_x→x0^- f(x) è infinito o non esiste.

f(x) = sin(1/x) x ≠ 0, 1/10 x = 0.

II specie.

Teorema Weierstrass

Data f(x) continua in un [a,b] -> f(x) ha almeno un punto di max oss ed un min oss. f è limitata in [a,b].

Teorema degli zeri

Data f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] e assume valori discordi agli estremi f(a).f(b), allora esiste c € (a,b) t.c f(c) = 0.

Il seguente teorema vale anche se f è continua in un (a,b) ed ha limiti alla frontiera discordi.

Teorema dei valori intermedi

Sia f: [a,b] → ℝ una funzione continua e sue f(a)≠f(b) → ∀ y ∈ [f(a),f(b)], ∃ c ∈ [a,b] : t.c f(c)=y.

Dimostrazione

Si consideri la funzione ausiliaria g(x) = f(x)-y, che si ottiene traslando in basso la funzione iniziale.

g(x) è continua.

g(a) = F(a)-y < 0.

g(b) = F(b)-y > 0 → per il teorema degli zeri ∃ c ∈ (a,b) : t.c g(c)=0.

f(c)-y=0.

g(c)=y.

Teorema di monotonia

Sia f:(a,b) → ℝ una funzione monotona. F ∀ c ∈ (a,b) ∃ limiti finiti lim_{x → c^-} f(x) e lim_{x → c⁺} f(x), e infiniti o finita lim_{x → a⁺} f(x) lim_{x → b^-} g(x).

Conseguenza che una funzione monotona in (a,b) può avere solo punti di discontinuità al salto, ad eccezione in a,b dove vi possono essere A.V.

Teorema

Sía f:I→_ℝ, una funzione continua in I. Allora f è invertibile <=> strettamente decrescente. Anche la sua inversa sarà monotona e continua.