Funzioni complesse

Funzione variabile complessa

Funzione var. compl. ℝ ∋ z ⟼ f(z) ∈ ℂ

z = x + iy ⟼ f(z) = u(x,y) + i · v(x,y)

Funz. parte reale   Funz. parte immag.

Esempi di funzioni

f(z) = 1/z = 1/(x + iy) = (x - iy)/(x² + y²) = x/(x² + y²) - i · y/(x² + y²)

u(x,y) = x/(x² + y²)   v(x,y) = -y/(x² + y²)

f(z) = z̄ = x - iy

f(z₁) = e^z = e^x+iy   DEF   e^x (cos y + i sin y)

f(z₁) = sin z   DEF   (e^-iz - e^iz)/(2i) = (e^-ix-y - e^-ix+y)/(2i)

= 1/(2i) · e^-y (cos x + i sin x) - 1/(2i) · e^y (cos x - i sin x)

= sin x cosh y + i cos x sinh y

cosh y = (e^y + e^-y)/2   sinh y = (e^y - e^-y)/2

Funzione var. complessa

Funzione var. compl. ℝ ∋ z → f(z) ∈ ℂ

z = x + i y → f(z) = u(x, y) + i v(x, y)

f(z) = ¹⁄_z = ¹⁄_{x + i y} = ^{x - i y}⁄_{x² + y²} = ^x⁄_{x² + y²} - i ^y⁄_{x² + y²}

u(x, y) = ^x⁄_{x² + y²}   v(x, y) = ^−y⁄_{x² + y²}

f(z) = z̄ = x - i y

f(z) = e^z = e^{x + i y} = e^x (cos y + i sin y)

f(z) = sin z = ^{eix - e-ix}⁄_{2 i} = ¹⁄_2i · e^-y (cos x + i sin x) - ¹⁄_2i · e^y (cos x - i sin x)

= sin x cosh y + i cos x sinh y

cosh y = ^{ey + e-y}⁄₂

sinh y = ^{ey - e-y}⁄₂

cos²x + sen²x = 1

cos²hx - sen²hx = 1

f(z) = cos z

e^iz + e^-iz

Logaritmo complesso

Logaritmo complesso: se z = |z| e^iΘ, z ≠ 0

log z = log (|z| e^iΘ) = log |z| + iΘ

Θ = Θ₀ + 2kπ

Θ₀ = arg(z)

−π, π

Si dice argomento principale

log. princ. log z = log |z| + i arg(z)

z ∈ C {0}

Radice

W_n = z = |z| e^{i arg(z)}

W_k = n^√|z| . e^{i (arg(z)/n + 2kπ/n)}

Radice compl. princ. f(z) = z^√n = n^√|z| e^{i arg(z)/n}

z ∈ C

Limite

lim z → z₀

f(z) = w₀

z = x + iy

z₀ = x₀ + iy₀

W = a + ib

lim μ(x, y) = a

lim v(x, y) = b

Derivate

Derivate stesse regole

(z²)' = 2z

(e^z)' = e^z

Ω aperto di ℂ e f: Ω → ℂ. f si dice olomorfa

Se f è derivabile in Ω

Se f è attiva (∂u/∂x = ∂v/∂y) g (∂u/∂y = -∂v/∂x)

Se f è olomorfa ↓

f'(z) = ∂u/∂x (x,y) + i ∂v/∂x (x,y) = ∂v/∂y (x,y) - i ∂v/∂x (x,y)

Esempio 1

f(z) = e^z = e^x+iy = e^x cos y + i e^x sen y

∂u/∂x = e^x cos y

∂u/∂y = -e^x sen y

∂v/∂x = e^x sen y

∂v/∂y = e^x cos y

∂u/∂y = ∂v/∂x, ∂u/∂x = - ∂v/∂x

Funzione armonica: ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Integrale curvilineo

Sia \( \gamma = (x(t), y(t)) \) con \( t \in [a, b] \) una curva semplice e regolare, allora

\[ \int_{\gamma} g(z) dz \equiv \int_{a}^{b} \underbrace{g(x(t) + i y(t))}_{z(t)} \cdot \underbrace{(x'(t) + i y'(t))}_{z'(t)} \, dt \]

\[ = \int_{\gamma} (u \, dx - v \, dy) + i \int_{\gamma} (v \, dx + u \, dy) \]

Integrale

\[ \int_{\gamma} g(z) \, dz = F(z_1) - F(z_0) \]

\( g(z_1) = F'(z) \)

Esercizio 2

\[ \int_{\gamma} \overline{z} \, dz, \int_{\gamma} z^2 \, dz, \int_{\gamma} e^{\pi z} \, dz \]

\[ z(t) = x(t) + i y(t) \]

\[ = (2 + i)t \quad [t \in [0, 1]] \]

\( z'(t) = 2 + i \)

\[\int_{\gamma} \overline{z} \, dz = \int_{0}^{1} (2 + i)t \cdot (2 + i) \, dt = \int_{0}^{1} (2 + i)^2 \, t \, dt = 12 + i \, 0 = \ldots = \frac{\xi}{2}\]

Esempio 3

∫_γ zⁿ dz

γ = (R cos t, R sen t)

z(t) = R e^it = R cos t + i R sen t