Funi, tensione e moto del pendolo

Funi inestensibili e di massa trascurabile

Forze su di (tutti freni)

T_f = -T_m 3° principio

T è uguale in ogni punto della fune

Macchina di Atwood (moto con tensione)

Dati: m₁, m₂ m₁ < m₂

|T₁| = |T₂| = |T|

|a₁| = |a₂| = |a|

Massa trascurabile

Forze su m₁

F_p1 = m₁ · g u_y

T₁ = -T · u_y

R_y = m₁ · a₁

m₁ · a₁ = m₁ · g - T

Forze su m₂

F_p2 = m₂ · g u_y

T₂ = -T · u_y

R_y = m₂ · a₂

m₂ · a₂ = m₂ · g - T

a₂ = -a₁ = a (m₂ scende e m₁ sale)

m₂ · a = m₂ g - T

-m₁ · a = m₁ g - T

Rotazione membro a membro

(m₂ + m₁)a = g(m₂ - m₁)

a = g(m₂ - m₁)/(m₂ + m₁)

• m₂ > m₁ => a = a₂ > 0
• m₂ < m₁ => a = a₂ < 0
• m₁ = m₂ => a = 0
• Se m₁ = 0 v m₂ = 0 => a = g

Funi inestensibili e di massa trascurabile

Forze su dl (tutte fune)

T_f = -T_m

3° principio

T è uguale in ogni punto della fune

Macchina di Atwood (moto con tensione)

Dati: m₁, m₂ m₁ < m₂

|T₁| = |T₂| = |T|

|a₁| = |a₂| = |a|

Massa trascurabile

Forze su m₁

F_p1 = m₁ g u_y

T₁ = -T u_y

R_y = m₁ a₁

m₁ a₁ = m₁ g - T

Forze su m₂

F_p2 = m₂ g u_y

T₂ = -T u_y

R_y = m₂ a₂

m₂ a₂ = m₂ g - T

a₂ = -a₁ = a (m₂ scende e m₁ sale)

m₂ a = m₂ g - T

-m₁ a = m₁ g - T

Attrazione membro a membro

(m₂ + m₁) a = g (m₂ - m₁)

a = g (m₂ - m₁) / (m₂ + m₁)

• m₂ > m₁ => a = a₂ > 0
• m₂ < m₁ => a = a₂ < 0
• m₁ = m₂ => a = 0
• Se m₁ = 0 v m₂ = 0 => a = g

Pendolo semplice

Riccardo Meos(t) q(t) ≥ 0 da delle 0

q(t) < 0 as delle 0

In ogni punto in cui v ≠ 0 T > F_PN perché è necessaria una f. centripeta per avere un moto circolare

Lungo U_N

F_PN = m g cosθ U_N

T = T U_N

R_N = m v²/L

m v²/L = T - m g cosθ => T = m a_N + m g cosθ

Lungo U_T

F_PT = - m g sinθ U_T

R - T = m a_T

m a_T = - m g sinθ

a_T = α L

α = dω/dt

ω = dθ/dt

α L = - g sinθ

d²θ/dt² L = - g sinθ

Eq. esatta del pendolo (equazione analitica insodulibile)

θ << 7°

ε < 10^-3 rad (errore)

(* serie di Taylor)

Piccole oscillazioni (<< 7°)

d²θ/dt² + g/L θ = 0

Pendolo solo piccole oscillazioni

θ(t) = θ_max sin(ω₀ t + φ₀)

s(t) = θ(t) L

s(t) = A sin(ω₀ t + φ₀)

A = θ_max L [rad · m]

ω₀ = √(g/L) (non dipende dalla massa)

T = 2π/ω₀ = 2π √(L/g)

Fase iniziale

φ₀ = 0

θ(t) = θ_max sin(ω₀ t)

φ₀ = π/2

θ(t) = θ_max cos(ω₀ t)

Osservazioni

s(t) = A sin(ω₀ t + φ₀)

v(t) = A · ω₀ · cos(ω₀ t + φ₀) velocità

a_t(t) = -A · ω₀² · sin(ω₀ t + φ₀) Acc. tang.

a_n(t) = v² / L = A² · ω₀² · cos²(ω₀ t + φ₀) / L Acc. norm.

Solo per piccole oscillazioni

Accelerazione centripeta

T = m v² / L + mg cosθ

Serve per controbilanciare la componente della forza peso

Tmax nel punto θ = 0

Pendolo conico

Dati: m, L, ω cost θ = ?

Lungo z

F_p = mg ( -u_z)

T_z = T · cosθ u_z

R_z = 0

T cosθ = mg

T = mg / cosθ

Lungo u_N

T_N = T · sinθ u_N

R_uN = m v² / R

m v² / R = T sinθ

R = L sinθ

m ω² R = T sinθ

m ω² L sinθ = T sinθ

T = m · ω² · L

m · ω² · L = mg / cosθ

ω² L = g / cosθ

cosθ = g / (ω² · L)

Aumentando ω → θ aumenta