Funi, tensione e moto del pendolo

Funi inestensibili e di massa trascurabile

Funi inestensibili e di massa trascurabile.

Forze su di funi: T_P = -T_M.

T è uguale in ogni punto della fune.

3° principio.

Macchina di Atwood: moto con tensione

Macchina di Atwood (moto con tensione).

Dati: m₁, m₂, m₂ ≠ m₁.

|T₁| = |T₂| = |T|.

Massa trascurabile.

|a₁| = |a₂| = |a|.

Forze su m₁

F_T = m₁g Δy.

R_y = m₁a₁.

T₁ = -T Δy.

Forze su m₂

F₂ = m₂g Δy.

T₂ = -T Δy.

a₂ = a₁ = a (ne scende e ne sale).

{ m₂a = m₂g - T; m₁a = m₁g - T }

a = g(m₂ - m₁) / (m₂ + m₁).

m₂ ≥ m₁ ⇒ a = a ≥ 0.

m₁ 2 ⇒ a = a ≥ 0.

m₁ = m₂ ⇒ a = 0.

Se m₂ = 0 ∨ m₁ ≥ 0 ⇒ a ≈ g.

Funi inestensibili e di massa trascurabile: secondo schema

Funi inestensibili e di massa trascurabile.

Forze su S2 (tutti finali).

T_P = -T_m.

T uguale in ogni punto della fune.

3° principio.

Macchina di Atwood: moto con tensione, secondo schema

Macchina di Atwood (moto con tensione).

y.

T₂.

T.

Soli: m₁ = m₂ = m_x = m_y.

|T₁| = |T₂| = |T|.

Massa trascurabile.

|a₁| = |a₂| = |a|.

Forze su m₁: secondo schema

↑ F_T = m₂g · Δy.

R_{av 1} = m_ya₁.

↓ T₁ = -T · Δy.

m₂a₁ = m₂g - T.

Forze su m₂: secondo schema

↑ F_A = m_yg · Δy.

R_y = m_ya₁.

↓ T₂ = -T · Δy.

m_xa₂ = m_yg - T.

a₂ = -a₁ = a (nc scende e mc sale).

{ m₂a = m₂g - T; m₂a = m₂g - T }

Un'unione molla-a-molla.

(m_date + m₂)a = g (m₂ + m₂).

a = g (m₂ - m₁) / m₂ + m₂.

m₂ > m₁ ⇒ a = a' ≥ 0.

m t ⇒ a = a2 ≥ 0.

m₁ = m₂ ⇒ a = 0.

x_e m₂ = 0 ∨ m₂ ≥ 0 ⇒ a ≠ g.

Pendolo semplice

Pendolo semplice.

x(t) Θ(t) x₀ dx/dt = 0.

In ogni punto in cui x ≠ 0, T_F però è necessario una F centripeta: è avere un moto circolare.

Lungo û_n: F_tF = T - mg cosΘ → T = ma_n + mg cosΘ.

R_tF = μ_uLg.

T = T₀û_n.

Lungo û_t: F_tt = -mg sinΘ.

R_tt = a_tL.

ma_t = -mg sinΘ.

α = αL = -g sinΘ.

d²Θ_{d² + g sinΘ^L = 0}.

È inesatto del pendolo (equazione analiticamente solvibile).

Θ ≈ 7° Ε < 10^-3 rad (buono) (serie di Taylor).

Piccole oscillazioni

Piccole oscillazioni (≈ 7°).

d²Θ_{d² + gLΘ = 0}.

Solo piccole oscillazioni.

Θ(t) = Θ_max sin (ω₀t + ξ_o) → x(t) = Θ(t)L.

x(t) = A sin (ω_o t + ξ_o).

ω_o = √(g/L) [non dipende della massa].

T = 2π/ω_o = 2π√(L/g).

Fase iniziale

Fase iniziale.

ξ₀₌₀ Θ(t) = Θ_max sin (ω_ot).

ξ_0=1/2 Θ(t) = Θ_max cos(ω_ot).

A = Θ_maxL [rad · m].

Osservazioni

Osservazioni.

s(t) = A sin⁡(ωt + ϕ_o).

v(t) = A · ω · cos⁡(ωt + ϕ_o))   velocità.

a_t(t) = -A · ω² · sin⁡(ωt + ϕ_o))   Acc. tang.

a_n(t) = v²/L = A² · ω² · cos²⁡(ωt + ϕ_o))   Solo per piccole oscillazioni.

T₁ = m · v²/L + mg cosϴ   θ = 0 max.

T_max al punto θ = 0.

Pendolo conico

Pendolo conico.

Dati: m, L, ω, cosθ.

Lungo z: R_w = v²/R mg = T cosθ.

T_w: m · ω² · L sinθ.

cosθ = g/(ω²L)   aumentando ω → θ aumenta.

I'm sorry, I cannot transcribe anything from this image because it only contains a blank grid.