Formulario parte 2 Fisica tecnica

Se sono a titolo x₂ e voglio sapere quanto q fornire per arrivare a x₂: x₂ = x₁ + q/Δh_lv = (h_f1-h_g1)/Δh_ev + q/Δh_ev.

Dato il titolo x = m_vap/(m_vap + m_liq) si puo determinare qualsiasi valore di h definito sotto la campana.

La formula e la seguente h_f = h_l|_p + x(h_v|_p - h_l|_p) da questa formula x = (h_f-h_l)/(h_v-h_l).

NB! Δh_tot = M₁(h_f-h₂) + M₂(h_f-h₂) poiche si ottiene una miscela alla fine h_f e la stessa! NB!

La stessa cosa la si puo fare con l'entropia che a seconda di che area stiamo considerando del grafico potra essere calcolata (Δs_T=cost = ∫_RIf^x δq/T = q/T oppure Δs_T/cost = c_p ln Tf/Ti).

NB: nei sistemi chiusi ricordarsi che esiste anche du se serve.

Nel caso pero in cui le tabelle non offrissero i dati alla pressione/temperatura desiderata si puo ricorrere all'interpolazione lineare dove: (h_x-h_A)/(P_x-P_A) = (h_B-h_A)/(P_B-P_A) -> h_x = h_A + [(P_x-P_A)(h_B-h_A)]/(P_B-P_A), cambiando grandezze la formula non varia.

Perdite di carico

Sostanzialmente individuiamo un ΔP dovuto a degli ostacoli che un flusso puo incontrare nel suo percorso.

Elemento fondamentale per descrivere un fluido e il suo N° di Reynolds -> Re_d = ρuD/μ: Re < 2500 laminare senn la turbolento.

Tra le perdite di carico vediamo quelle concentrate: Δp_c = β ρw²/2 dove β e una costante in funzione dell'ostacolo, mentre quelle distribuite: Δp_L = ξ ρw²/2 L/D.

laminare -> ξ = 64/Re_d

turbolento -> ξ = Diagramma di Moody (o altn grafici)

Macchine termodinamiche

Come gia anticipato i bilanci di massa, energia ed entropia restano validi ed inoltre si aggiunge un altro fattore: il rendimento.

adiabatica = isobra = isentalpica

isoentropica = adiabatica (Δs=0) + internamente reversibile (s_irr=0)

Espansioni e compressioni isoentropiche si differenziano dalla realta poiche vi e sempre una temperatura in uscita maggiore rispetto alla curva isoentropica. Negli esercizi infatti e fondamentale nel calcolo del lavoro verificare che temperatua di uscita si sta considerando cosi da sapere che lavoro si sta trovando.

Vi sono due tipi di macchine termodinamiche:

Macchine motrici (generano lavoro "-")

Bilancio energetico Q + L = 0

Bilancio entropico S_c + S_h - S_IR = 0

IDEALE: ISOENTROPICO - ADIABATICO + REVERSIBILE

Se la macchina fosse reversibile: S_IR = 0 -> |L_rev| = massimo lavoro producibile

eta_I = L_tot / Q_ass

eta_{I rev} = L_rev / Q_ass

eta_II = L_reale / L_rev = eta_{I reale} / eta_{I rev}

eta_{iso turbina} = L_rev-T / L_reale-T

1 - T_c / T_h

NO PER CICLI

Macchine operatrici (assorbono lavoro "+")

Bilancio energetico Q + L = 0

Bilancio entropico S_c + S_h - S_IR = 0

IDEALE: ISOENTROPICO - ADIABATICO + REVERSIBILE

Se la macchina fosse reversibile: S_IR = 0 -> |L_s| = massimo lavoro assorbibile

E = Q_c / L_compress

E_rev = Q_c / L_rev

eta_II = E / E_rev

COP = Q_H / L_compress

COP_rev = Q_H / L_rev

eta_{II COP} = COP / COP_rev

COP = E + 1

eta_{I cop} = COP / COP_rev

1 - T_H / T_C

Ciclo Joule-Brayton

Le relazioni adiabatiche si fa con le isentropiche

E un ciclo simmetrico: T₁ = T₃ > T₂ = T₄, p₁ = p₄ = p₂ = p₃, v₁v₃ = v₂v₄ e beta = rapporto comp = p_max/p_min = p₂/p₁ = p₃/p₄

1-2) comp. iso-s (L_c)

2-3) risc. iso-p (Q_H)

3-4) esp. iso-s (L_t)

4-1) raf. iso-p (Q_C)

Q_H = c_p(T₃ - T₂) Q_C = c_p(T₄ - T₁) ("+" entrante, "-" uscente)

eta_I = L_tot / Q_H

RIGENERAZIONE: permette di sfruttare il Q_c che andrebbe disperso tra 4 e 1

Ogni energia si trasforma anche con -DH

eta_{rev rig} = -L_tot / Q_{H rig} = -L_tot / c_p(T₃ - T_y)

L = Q_H - Q_{H rig} reale

eta_{del rig} = q_{rig reale} / q_{rig max} = eta_ge(T₄ - T_x) / eta_ge(T₂ - T₂)

ossia con eta = 1

eta_I = eta_I / (1 - T₁ / T₂)

T₂ = T₁ rispetto ad un ciclo Joule ideale

Ciclo Rankine diretto

1-2) comp. iso-s (L_p)

2-3) risc. iso-p (Q_H)

3-4) evap. iso-p (Q_H)

4-5) risc. iso-p (Q_H)

5-6) esp. iso-s (L_t)

6-1) conde. iso-p (Q_C)

Ogni energia si trasforma con -DH tab. (nel tratto 1-2 vale anche L_p = v dp)

eta_I = L_tot / Q_H = 1 - Q_C / Q_H

eta_II = eta_I / (1 - T_sc / T_sh)

Ciclo Rankine inverso

1-2) comp. iso-s (L_c)

2-3) raff. iso-p (Q_H)

3-4) conden. iso-p (Q_H)

4-5) lamin.(espans.) iso-H

5-1) evap. iso-T (Q_C)

Ogni energia si trasforma con -DH tab.

E = Q_C / L_c

COP = Q_H / L_c

COP_r = E + 1

eta_{II E} = eta_E / eta_{E rev} -> T_C / (T_H - T_C)

eta_{II COP} = COP / COP_rev -> T_H / (T_H - T_C)

Nota sull'irreversibilita

• interna: dovuta alle fasi in cui sono presenti compressori, turbine....(adiabatici): S_irr = AS;
• esterna: dovuta alle fasi in cui c'e scambio di calore: S_irr = AS - Q_H/T_SH - Q_C/T_SC;
• totale: irreversibilita interna ed esterna sommate.

in un ciclo S_irr = - Q_H/T_SH - Q_C/T_SC;

se non un ciclo S_irr = - Q_H/T_SH - Q_C/T_SC se T_SH e T_SC costanti essendo S_irr = m c_p ln(t₂/t₁) + m c_p ln(t₄/t₃)

• S_irr con le sorgenti a T variabile e uguale AS della sorgente;

Irraggiamento

La legge di Wien afferma che: T_max = cost = 2897,6 µmK

Il fattore di vista (F_1-2) indica quante delle radiazioni che lasciano 1 raggiungono 2, e vale che F_1-2 A₁ = F_2-1 A₂

Per quanto riguarda il POTERE EMISSIVO EMISFERICO TOTALE -> CORPO NERO: Ė = σ T⁴ dove σ = cost e σ = 5,67 · 10^-8 W/m²K⁴

CORPO REALE: Ė = ε σ T⁴ dove ε = emissività (per c.n.=1)

Il potere emissivo generale per qualsiasi caso, una volta fissato il sistema di riferimento è definito:

Ė_1-2 = - σ (T₂⁴ - T₁⁴) / ((1 - ε₁) / (ε₁ A₁) + 1 / (A₁ F_1-2) + (1 - ε₂) / (ε₂ A₂)) = Q̇_1-2

Se volessi il flusso orario: q̇'' = Ė_1-2 / A

Se A₁ << A₂ => F_1-2 = 1 => Ė_1-2 = σ ε₂ A₁ (T₂⁴ - T₁⁴)

Conduzione

Legge di Fourier: q̇'' = -λ ρ c_p,i · ∇T da cui l'equazione di Fourier: ρ c_u dT/dt = λ ∇²T + U̇'''

Se si ha un comportamento stazionario → Equazione di Poisson → ∇²T = -U̇'''/λ

L'equazione di Laplace: ∇²T = 0 analizza invece le casistiche senza generazione di potenza (U̇''').

Fissato il sistema di riferimento la POTENZA TERMICA è q̇ = (T_fin - T_in) / R_tot e q̇'' = (T_fin - T_in) / Ṙ_tot → Ṙ_tot = R_tot · A

Parete piana

R_cd = s / (λ A_parete)

Cilindro

R_cd = ln(R₂ / R₁) / (2πλL)

Sfera

R_cd = (R₂ - R₁) / (4πλR₁R₂)

Condizioni stazionarie con U̇''' costante e λ costante

d²T/dx² = -U̇'''/λ → q̇'' = -λ dT/dx = U̇'''x - C₁λ → T(x) = -U̇'''x² / (2λ) + C₁x + C₂

1/r d/dr (r dT/dr) = -U̇'''/λ → q̇'' = U̇'''r/2 − C₁λ/r → T(x) = -U̇'''r² / (4λ) + C₁ln(r) + C₂

1/r² d/dr (r² dT/dr) = -U̇'''/λ → q̇'' = U̇'''r/3 − C₁λ/r² → T(x) = U̇'''r² / (6λ) + C₁/r + C₂

Condizioni stazionarie con λ costante e senza U̇'''

d²T/dx² = 0 → q̇'' = -λ dT/dx = -C₁λ → T(x) = C₁x + C₂

1/r d/dr (r dT/dr) = 0 → q̇'' = -C₁λ/r → T(x) = C₁ln(r) + C₂

1/r² d/dr (r² dT/dr) = 0 → q̇'' = -C₁λ/r² → T(x) = C₁/r + C₂

NB: q̇'' = -∂T/∂x · λ = -∂T/∂r · λ mentre T(x) = ∇²T; Nei profili di temperatura, capacita termica di portata maggiore -> minor pendenza

Numero di Biot: Bi = hDcar/l(s) se Bi e piccolo allora la conduzione e efficace. Per Biot Dcar = V/A

Diffusivita termica a = l/(rho c) dove c = cp = C per i solidi (capacita conduttiva/capacita accumulativa)

Numero di Fourier: Fo = (a t)/(Dcar²) = (a t)/(Dcar²)

Se Biot e << 1 allora posso usare il metodo dei parametri concentrati: Delta T = tau ln((Tf - T(inf))/(Ti - T(inf)))

La costante di tempo tau = (rho V c)/(hA) si usano i dati del solido

Convezione

Per il calcolo della potenza termica come prima cosa si fissa il sistema di riferimento.

A questo punto la potenza termica Qdot = (Tf - Ti)/Rtot = Ah(Tfin - Tmin) = Ah(Tp - Tf) Rtot = 1/(hA)

Il flusso areico Qdot'' = Qdot/A = (Tf - Ti)/Rtot = h(Tfin - Tmin) = h(Tp - Tf) R''tot = Rtot A

Le resistenze convettive si dividono invece portando dalla stessa forma [1/(hA)] in tre:

• parete piana: Rcd = 1/(hA)
• cilindro: Rcd = 1/(h 2piRL)
• sfera: Rcd = 1/(h 4piR²)

Tra i coeff. convettivi troviamo:

Nu (nusselt) = hDcar/l(f) = S.conv/S.cond; Pr (prandtl) = cp mu/l(f) = trasporto q. moto / trasporto q. calore; Re (reynolds) = rho u Dcar/mu = F d'inerzia / F viscose; Gr (grashof) = g beta |Tf - Tp| Dcar³/nu² = F di inerzia / F viscose

Ra (rayleigh) = Gr . Pr = F di inerzia / F viscose

Per la temperatura si usa Tfilm = (Tpr + Tf)/2, se vicini ad una parete si usa Tparete: [Nu = A Re^B Pr^C; Nu = D Gr^E Pr^F; Nu = D Ra^G Pr^F]

Scelta della correlazione:

1. Individuare il tipo di convezione: I/E, N/F/M. Per capire se e mista calcolo Ri (Richardson) = Gr/Re²: Ri << 1 -> forzata (F); Ri ≈ 1 -> mista (M); Ri >> 1 -> naturale (N) [se mista Nu_M = Nu_F = Nu_N con n ≈ 3];
2. Geometria riguardo la scelta del Dcar:
   • Convezione interna:
     • Tubo: Dcar = Dm = 4A/p = 4 pi r² / 2 pi r = 2r = D
   • Convezione esterna:
     • Cilindro: Dcar = D;
     • Cilindro: Dcar = L;

- Sfera: D_car = D;

- Lastra piana, convezione naturale: D_car = A/P;

- Lastra piana, convezione forzata: D_car = L;

3) Distinzione sul tipo di moto:

• Convezione interna:

- Re < 2000 Laminare; Re > 4000 Turbolento;

• Convezione esterna:

- Re < 10⁴ Laminare; Re > 10⁵ Turbolento;

5) Limiti di validita;

NB Le temperature a cui valutare le proprieta vengono specificate [T_film = (T_in + T_out)/2]; Se in condizioni stazionarie Q̇_in + Q̇_out = 0

SCAMBIATORI DI CALORE

Q̇ = potenza termica = Ṁ C_p (T_out - T_in) vale la relazione dove Q̇_C<-H = -Q̇_H->C => Q̇_H->C + Q̇_C<-H = 0

ΔT_mL = temperatura media logaritmica = (ΔT_t - ΔT₀) / ln(|ΔT_t|/|ΔT₀|) dove ΔT_t = T_hot,t - T_cold,t ΔT₀ = T_hot,0 - T_cold,0

TUTTO IN KELVIN, SONO DEI ΔT!!!

Q̇^* = ρ w A_tubo N^o_tubi

Q̇ = potenza termica = U_i A_tot ΔT_mL dove A_tot = A_tubo ⋅ n^o_tubi = 2πrL⋅n^o_tubi => L = Q̇/(U_iΔT_mLπD); L_tubo = L_tot/N^o

U_i = [(∑R) A_tubo]^-1

R" = R/A

AREA LATERALE!!!

Nei profili di scambio termico alta resistenza = alta pendenza (conduzione)

NB Se sei in condizioni stazionarie significa che la somma dei flussi e nulla.