Formulario e procedimento esercizi Automatica

Esercizi automaticaclassificazione sistemi

Tipologia di sistemi

Tempo continuo: ci sono derivate
Tempo discreto: non ci sono derivate
Tempo-variante: i coefficienti dipendono dal tempo
Tempo-invariante: i coefficienti non dipendono dal tempo
() = 0
Autonomo:
Non lineare:
∙ ̇ ())> Prodotto tra derivate (() ∙ ())> Prodotto tra ingresso e uscita (()22> Termine elevato alla (() )

Modi naturali

()() = () = 0
Data, per trovare i poli del sistema:
()- Se è REALE: −1, ..., = 1,2, ..., = à
- Se è COMPLESSO −1 cos(), cos(), ..., cos()
−1 sen(), sen(), ..., ( )

Risposta di sistemi

➔ Valore asintotico risposta impulsiva
()- Sviluppo in fratti semplici, trovo i residui ()
- Applico l’antitrasformata a e trovo la risposta impulsiva
lim ()- Faccio il limite→∞lim ()

Caso particolare: 2() () = + + se il denominatore di ha tutti i termini dell’equazione di secondo grado (() ) e i suoi1 2, > 0 → coefficienti sono il sistema è A.S.1 2

Se il sistema è A.S. tutti i modi naturali CONVERGONO A ZERO, quindi la risposta impulsiva tende a zero.

Risposta forzata limitata/non limitata

Stabilità dei sistemi LTI
Se un sistema è A.S. allora è BIBO (non vale il viceversa).
- Dal sistema lineare trovo le matrici di stato ():
- La stabilità A.S. dipende dalle permanenze/variazioni e di conseguenza dalle radici di→ ➔ A.S.() < 0--> coefficienti con lo stesso segno = permanenza poli con→ ➔ I() > 0--> coefficienti con segno diverso = variazione poli con (instabile)
- La stabilità BIBO→ () () < 0 deve avere tutti i poli con→ () () < 0 () = 0 deve avere tutti i poli con ed eventuali poli SEMPLICI con −1

() = ∙ ( − ) ∙ + −1() = ∙ ( − ) (−) −1( − ) = det (−)

Caso particolare

() > 0 Se il sistema ha anche un polo con (quindi NON è A.S.), () () > 0 se calcolando la funzione il polo con viene eliminato e ➔ () < 0 () = 0 rimane solo il polo con oppure allora è BIBO

Esempio: ̇ = − + 1 2 −1 0 0 [1 0] ̇ = − + { =[ ] =[ ] = =02 1 2 −1 1 1 = 1 +1 0 2(() = det( − ) = [ ] = + 1)( − 1) = − 1 → : = ±11 −1() > 0, Non è A.S. perché ha un polo con ma se questo si elimina il sistema può essere BIBO stabile.

−1(() = ∙ − ) ∙ + −1 0[ ] [−1(−) 0]−1 +1−1 [1 0](() = ∙ − ) = ∙ = ∙ =(−1)(+1)det(−) (−1)(+1)() > 0 Il polo con è stato eliminato quindi è BIBO.

Stabilità sistemi NLTI

- Dato un sistema dinamico non lineare, trovo i punti di equilibrio = - calcolo = - calcolo nei punti di equilibrio e in base agli autovalori di capisco la sua stabilità: ➔ A.S. --> autovalori < 0 ➔ --> autovalori > 0

Esempio: ̇ = ( − 1) Equilibri: --> = 1 --> = 0 → = 0 −1= = + 2 1+ ➔ I --> per = 1: = >04 ➔ A.S. --> per = 1: = −1 < 0

CasO particolare: se ho un sistema in: 1 2 1 1 1 2 = = [ ] poi si procede nello stesso modo, sostituendo gli equilibri e guardando gli autovalori 2 2 1 2

Esempio: ̇ = − → = 01 1 1 (̇ = − − − 1) → = 0: = 0{ 2 1 2 2 1 2 = 12 1 1 −1 0 0 0 1 2 = = [ ]=[ ] = [ ], = [ ] 2 equilibri: 1 2 −1 −2 + 1 0 1 2 2 2 1 2 −1 0 (0,0) = =[ ] → ()1 −1 1 −1 0 (0,1) = =[ ] → ()2 −1 −1

Parametri caratteristici

• Sistemi primo ordine: 1(0)∙ 1() = > 0, : = −1 + (%) = 0
  • Sovraelongazione: (%) = 0
  • Sottoelongazione:
  • Tempo di salita: ℎ̅()min = 1} , se S > 0{: = { ≥0 Nel caso in cui il transitorio non presenti elongazione (S=0) si definisce − , = 00.9 0.1 come il tempo necessario per passare dal 10% al 90% del valore finale
  • Tempo di assestamento: 100 = ∙ ln
• Sistemi secondo ordine: a) privi di zero e con 2 poli complessi coniugati con Re < 0 (0)() = = = 222 2(−)(−̅ ) +2 ∙+ 1+ + 2 −√1−2(%)
  • Sovraelongazione: (%) = 100 ∙
  • Sottoelongazione: −() ∙
  • Tempo di salita: 2∙ √1− 1 100 ∙ = ∙ ln
  • Tempo di assestamento:
• Sovraelongazione tempo di salita tempo di assestamento con poli reali: b) Poli reali (0)() = (1+)(1+ ) tempi di salita e di assestamento per sistemi del secondo ordine con poli reali

Effetto di zeri/poli aggiuntivi

• Zero negativo aggiuntivo→ aumento 1+ () = (0) ∙ (1+)(1+ )° Sovraelongazione di sistemi del 2 ordine Tempo di salita con poli complessi e zero negativo
• Zero positivo aggiuntivo→ (%) aumento
• Polo negativo aggiuntivo aumento (0)() = 2 2(1+ )(1+ + )2

Casi particolari

• () se presenta un polo dominante reale molto più vicino all'asse immaginario di tutti gli altri poli e zeri, reali o complessi;--> il comportamento del sistema è molto simile a quello di un sistema del primo ordine con l'unico polo coincidente con il polo dominante.
• () Se possiede una coppia di poli dominanti complessi coniugati molto più vicini all'asse immaginario rispetto a tutti gli altri poli e zeri,--> il comportamento del sistema è molto simile a quello di un sistema del secondo ordine standard.

→ i poli/zeri che hanno costanti di tempo/pulsazioni naturali più piccole/ più grandi di un fattore