Formulario e Appunti completi per l'esame di Analisi II e analisi vettoriale

Insiemi: continuità

Dato un insieme, si ha che esso è: è continua in se il limite in quel punto vale A f (x, y) (x , y )0 0.

Limitato: Se ha una sezione finita, ovvero se ˆ lim f (x, y) = f (x , y )0 0. (x,y)→(x ,y )∃ ∀P ∈ |P |R > 0; A < R 0 0.

Verificare se il limite in un punto esiste

Connesso: Se non è l'unione di 2 insiemi separati tra loro, ˆ . ovvero se 1. Fai la restrizione per rette ( )6 ∃ ∩ ∅ ∪A , A ; A A = A A = A − − ∈y y = m(x x ) m1 2 1 2 1 2 R0 0 e risolvi il limite in una sola variabile.

Se il limite dipende Se ogni punto è un punto interno; aperto: ˆ da , il limite non esiste. Se non dipende da (viene unm m numero ), procedere al passo 2.

Chiuso: Se ha anche punti di frontiera. ˆ `2. Il limite potrebbe esistere: maggiora la funzione Compatto: Se è chiuso e limitato. ˆ |f −(x, y) `|con una funzione che, se va a 0, costringe ad arrivare a .f `.

Se e se curve: |f −(x, y) `| < h(x, y) lim h(x, y) = 0→PP 0.

Una curva è una figura unidimensionale r(t) = x(t), y(t) ⇒ lim f (x, y) = ` definita in di lunghezza : →PP∈t [a, b] ` 0.

Oppure usa le coordinate polari e falla diventare :f (ρ, θ) dovrai sempre maggiorare con una funzione che bZ Z |f −(ρ, θ) `|p0 0 02 2||r x (t) + y (t) dt` = (t)||dt = dipenda solo dal raggio .h(ρ)abZ.

Se e se(se è un grafico di funzione )p |f −(ρ, θ) `| < h(ρ) lim h(ρ) = 00 2` = 1 + [f (x)] dx r f (x) ρ→0a θZ 2 ⇒ lim f (x, y) = `(se è della forma )p 022ρ (θ) + ρ (θ) dθ r ρ = f (θ)` = →PP 0θ 1.

Relazioni utili

Data una curva, si ha che essa è: r(t) 2x.

• Regolare: Se ; ˆ 1 2∈ 2r C ≤≤ 1sin θ + ρ cos θ = ρ sin θ, cos θ 1Bρ B B 2 2x + y.
• Chiusa: Se ; ˆ r(a) = r(b) Se è difficile trovare una funzione che maggiori ,|f −h `|.
• Semplice: Se ; fai prima l'andamento per e poi la maggiorazione. ˆ ⇐⇒ →r(t ) = r(t ) t = t ρ 01 2 1 2.
• Rettificabile: Se ˆ ∞sup `(r) < 2 22 2t∈[a,b] ln(1 + ρ sin θ) ρ sin θ−−−→ ≤ −−−→ ES. = ρ| sin θ| ρ 0ρ sin θ ρ sin θρ→0 ρ→0.

|{z}h(ρ)(In questo esempio )Se devo disegnare il dominio di , sarà l'area di una figura ` = 0f (x, y) geometrica o di una conica nel piano cartesiano x-y. se la restrizione per rette è tediosa, attenzione: 1. se 2 sfrutta la restrizione per gli assi ( o ), rendendo {(x, ∈f = ln(g(x, y)) D := y) ; g(x, y) > 0}R x = x y = y0 0 il limite a una variabile sola.

2. se p 2{(x, ∈ ≥f = g(x, y) D := y) ; g(x, y) 0}R.

Derivabilità

13. se 2{(x, ∈ 6f = D := y) ; g(x, y) = 0}Rg(x, y) Parziale: si ottiene derivando in una sola delle variabili di , ˆ f Se le condizioni del dominio portano a scrivere trattando le altre come costanti.y > h(x)o , dovrò disegnare la funzione e prendere l'area y < h(x) h −∂f f (x + h, y ) f (x , y ) sopra o sotto ad . 0 0 0 0h = lim∂x h.

Se le condizioni del dominio portano a scrivere h→0 conica o conica dovrò disegnare la figura > 0 < 0 −∂f f (x , y + h) f (x , y )0 0 0 0(circonferenza, ellisse, ecc..) e prendere l'area esterna o interna = lim∂y hh→0 alla figura.

Direzionale: si ottiene derivando lungo una direzione indicata dal vettore :~v = (v , v )normalizzato 1 2−∂f f (x + hv , y + hv ) f (x , y )0 1 0 2 0 0= lim∂~v hh→0.

Proprietà

• 1. Normalizza sempre , usando poi il vettore~v û = ||~v ||.
• 2. Le derivate parziali sono derivate direzionali lungo le direzioni (1,0) e (0,1).
• 3. Se è differenziabile, allora la derivata direzionata vale: la curva (frontiera del dominio) va f attenzione: disegnata continua se le disequazioni sono o (insieme ≤ ≥ ∂f chiuso). Se c'è o va disegnata tratteggiata (aperto). ~∇f ·> < = ~v = f v + f vx 1 y 2∂~v.

Il dominio di è l'intersezione dei Dominii di . ˆ ~DIFFERENZIABILITA': F F , F , F1 2 3.

Un campo vettoriale è conservativo se esiste una funzione ˆ è differenziabile in se è continua in quel punto f (x, y) (x , y ) scalare , detta potenziale potenziale, le cui derivate parziali 0 0 U (x, y, z) e se esistono le derivate direzionali .∀ ~v sono le componenti di .~.

Per verificare se è differenziabile ci sono due modi: F1. Verifica che e esistono in e sono continue (devi ∂U ∂U ∂Uf f (x , y ) ~ ~∇U ⇒x y 0 0 = F = F = FF = 1 2 3 fare i limiti e vedere che valgono e ) ∂x ∂y ∂zf (x , y ) f (x , y )x 0 0 y 0 0.

Campo conservativo

Vedere se un campo è conservativo:

• 1. Il Dominio è semplicemente connesso (senza buchi);
• 2. Verifica che e esistono, che valgono e e che:f f a bx y 1. il Dominio è semplicemente connesso (senza buchi); − − −f (x + h, y + k) f (x , y ) ah bk0 0 0 0√ =0lim 2. il campo è irrotazionale ( ), ovvero:~ ~ ~∇ ×2 2 F = 0h + k(h,k)→(0,0).

Se è differenziabile, è possibile scrivere l'equazione del ∂F ∂Ff ji ∀ 6= i = jpiano tangente a in : ∂x ∂xf (x , y ) j i0 0 − −z = f (x , y ) + f (x ,