Formulario di Psicometria basato sulle lezioni dei professori

FORMULARIO PSICOMETRIA

Terminologia utile:

unità statistica = elementi che costituiscono l’oggetto dell’osservazione Variabili = misure che cambiano da unità ad

e su cui sono misurate alcune caratteristiche unità. L’insieme di valori che può assumere una

popolazione = insieme delle unità su cui vogliamo valgano i risultati (in variabile costituisce il dominio.

molti casi concetto astratto) Gli elementi (i valori che può assumere)



campione = sottoinsieme della popolazione devono essere ESAUSTIVI ed ESCLUSIVI

inferenza = quantifica l’incertezza intrinseca nel passaggio dalla Le variabili si distinguono tra loro per la loro

popolazione al campione natura metrica.

(inferenza = incertezza (misurata con probabilità) +induzione)

Tipi di variabili:

a. CATEGORIALE NOMINALE: composta da categorie che non possono essere ordinate

b. CATEGORIALE ORDINALE: categorie che possono essere ordinate (ma non hanno alcun rapporto fisso tra loro)

c. QUANTITATIVA SU SCALA A INTERVALLI EQUIVALENTI: è una scala in cui è possibile misurare la distanza tra due punti.

La posizione dello zero e l’unità di misura sono arbitrari (quindi il rapporto è indipendente da quello)

d. QUANTITATIVA SU SCALA A RAPPORTI EQUIVALENTI: ha le stesse proprietà della scala a intervalli equivalenti, ma lo 0

non è arbitrario e coincide con l’assenza del fenomeno

È importante avere sempre chiara la differenza tra una scala categoriale ordinale e una scala quantitativa (a intervalli

 equivalenti): in una variabile categoriale ordinale le modalità sono ordinate ma la distanza tra queste non è

determinabile.

In psicologia, spesso, ciò che osserviamo non è osservabile ad occhio nudo VARIABILI LATENTI: rappresentano un concetto



unidimensionale nella sua forma pura, non sono direttamente osservabili ma misurabili solo per via indiretta tramite indicatori,

detti, nel caso delle domande di un questionario con risposta a scelta multipla, ITEMS.

Il data set: raccoglie tutti i dati.

Righe misure raccolte su un’unità statistica



Colonne valori di una variabile



Per le variabili categoriali importante riportare i dati anche in base alle loro frequenze assolute per k modalità di una



f ,….,f

variabile, esse si indicano come e la loro somma da il totale n che si riferisce al numero totale di unità statistiche.

1 k frequenza relativa

È spesso utile relativizzare le frequenze al totale, calcolando quindi la proporzione di osservazioni la



f ∗100

i p

=

p

semplice è data da: varia sempre tra 0 e 1 se moltiplichiamo otteniamo la percentuale.

 i

i n

Quando le variabili sono categoriali ordinali o quantitative ha senso chiedersi: quante sono le unità con valori < di un certo

valore? Frequenza assoluta cumulata : è la somma delle frequenze assolute semplici delle modalità precedenti ed eguali alla

 F

modalità data. Si indica con i =n

F

Frequenza assoluta cumulata relativa all’ultima modalità:

 k P

Frequenze relative cumulate : somma delle frequenze relative semplici “””””””””””””. Si indica con . Varia

 i

sempre tra 0 e 1 =1

P

Frequenza relativa cumulata relativa all’ultima modalità:

 k

(per variabili categoriali: grafici a barre)

variabili quantitative

Per le : le tabelle di frequenza non costituiscono una buona sintesi dei dati miglior modo per



A quale intervallo appartiene osservazione sul

rappresentare i dati graficamente = istogrammi, dove:

confine?

- ascisse (base) = comprende tutto l’intervallo associato

(e) esclusione



- ordinate (altezza) = proporzionale al conteggio

[e] inclusione



INDICI DI TENDENZA CENTRALE: descrive e riassume la distribuzione dei dati con un valore che è centrale per la distribuzione

stessa.

La moda : è la modalità più frequente di una distribuzione di dati rilevati sulla variabile X. Si indica con Mo per le variabili

 

quantitative continue non risulta un buon indicatore

La mediana : di una distribuzione di dati ordinati rilevati sulla variabile X è il dato che occupa la posizione centrale rispetto

 alla distribuzione dei dati. Si indica con Me. È uno stimatore robusto perché è poco influenzata da valori estremamente

grandi o piccoli. Per il calcolo, due condizioni n+1

i=

n è dispari

a. : la posizione “i” del dato relativo alla mediana è data da 2 n n+1

= =

i ; i

n è pari

b. : la mediana è compresa tra i valori aventi le seguenti posizioni centrali: ¿

inf 2 2

c. se i dati sono raggruppati in classi di frequenza, la posizione mediana calcolata individua la classe mediana.

La media di una distribuzione di dati rilevati sulla variabile X è data dalla somma dei dati divisa per il numero di unità

 ∑ x i

=

X́

statistiche: n n

∑ ( )

− =0

x X́

La somma degli scarti tra i dati rilevati e la media è pari a 0:

 i

i=1

Se i dati sono raccolti in classi di frequenza, la media aritmetica si calcola associando a ciascun dato la frequenza con cui si

∑ k

x f ∑

i i

= =

X́ x p

manifesta, si calcola quindi la media aritmetica ponderata: dove k è il numero di modalità della

∑ i i

f i=1

i

variabile X.

INDICI DI POSIZIONE E RANGHI

FORMULARIO PSICOMETRIA Q

I quantili : data una distribuzione di dati, si definisce quantile di indice p e si indica con , il dato al di sotto del quale

 p Q

si situa una proporzione p di dati (numero tra 0 e 1) la mediana può essere considerata il . (quando la

 0.50

numerosità del campione è dispari, se è pari non per forza) Q

È uso comune riportare le proporzioni come percentuale. In questo caso il quantile si indica con ed è

 50

quindi più opportuno parlare di PERCENTILI.

Calcolo dei quantili: R=n∗p

a. Determiniamo la posizione R nel vettore ordinato: se R non è intero arrotondo al numero superiore



=

Q X

b. Calcolo il quantile: p R diagramma a scatola o

I quantili vengono rappresentati all’interno di un grafico molto utile per descrivere i dati detto

boxplot. Per avere una prima idea della distribuzione dei dati si può utilizzare il 5 number summary di Turnkey: minimo, 25-

esimo, mediana, 75-esimo, massimo.

I ranghi : il rango di un’osservazione indica la sua posizione all’interno di una distribuzione di dati.

 I ranghi di un campione variano tra 1 e n (numero di osservazioni). Se non conosciamo n, il rango non ci aiuta a capire la

 RANGO PERCENTILE

posizione dell’osservazione. In questo caso, usiamo il : indica la posizione relativa di

un’osservazione all’interno di una distribuzione di dati, si calcola:

R ∗100

Rp= n

INDICI DI VARIABILIT À: esistono perché è fondamentale capire quanto i dati siano dispersi intorno all’indice di tendenza

centrale. È importante ricordare che questi indici possono assumere SOLO valori positivi o nulli.

Indice Gamma (o campo di variazione): è la differenza tra il valore massimo e il valore minimo osservato:

 −

gamma=X X

max min −Q

Q=Q

Lo scarto interquartile (o differenza interquartilica): è la differenza tra il terzo e il primo quartile:

 75 25

È un indice di variabilità robusto, risente poco della presenza di valori anomali. Viene rappresentati all’interno del

 diagramma a scatola, boxplot.

Essendo un indice robusto, rappresenta il modo migliore per stabilire la variabilità di una variabile quantitativa.

∑ 2

( − )

X X́

2 i

2 =

S

S

La varianza : indicata con , è la media degli scarti al quadrato tra i dati e la media stessa

  n

essa assume un valore minimo pari a 0 quando tutti i dati sono uguali tra loro e aumenta all’aumentare della dispersione

2

S ≥ 0

rispetto alla media . 2 2 2

= −(

S X́ X́)

Può anche essere calcolata come:



Se i dati sono raggruppati in classi di frequenza, per il calcolo della varianza si usa la seguente formula:

∑ 2 k

( − ) ∗f

X X́ ∑

2 i i 2

= = ( − ∗p

S X X́) . Pertanto, la varianza può essere calcolata sulla base delle sole frequenze

∑ i i

f i=1

i

relative, quindi non dipende dalla numerosità n. √ 2

S= S

La deviazione standard (o scarto quadratico medio): è molto utile in chiave interpretativa perché è

 

espressa nella stessa unità di misura del fenomeno studiato.

S

=

CV

Il coefficiente di variazione: è un indice di variabilità relativa ed è utile per eseguire confronti in termini

 

| |

X́

di variabilità tra fenomeni diversi tra loro. (è un numero puro, non ha unità di misura). Inoltre, permette di confrontare due

variabilità quando le due varabili, pur avendo la stessa unità di misura, non hanno lo stesso ordine di grandezza.

INDICI DI ETEORGENEIT À: sono adatti alle variabili quantitative e misurano quanto i valori misurati siano eterogenei, quindi

non constanti

Indice di GINI: misura l’eterogeneità di una distribuzione di dati, quindi di una certa popolazione, sulla base delle modalità e

 k

∑ 2

G=1− p

della numerosità con cui tali modalità si presentano: .

i

i=1

- Massima concentrazione (valori costanti): quando tutte le risposte hanno lo stesso valore G=0 −1

k

G=

- Massima eterogeneità: si realizza quando tutte le risposte sono ugualmente frequenti in questo caso:

 k

k

∑ ∗ln ( )

E=− p ⁡ p

Indice di entropia di Shannon simile a quello di gini. .

   i i

i=1

- Massima concentrazione quando tutte le risposte hanno lo stesso valore E=0

 ( )

E=ln ⁡ k

- Massima entropia quando tutte le risposte sono ugualmente frequenti  NORMALIZZAZIONE

È possibile riscalare questi due indici in modo che abbiano un valore sempre compreso tra 0 e 1 :



indice−valore minimo

indice norm .= valore massimo−valmin G G∗k E

= = =

G E

essendo per entrambi Xmin = le formule si possono riscrivere come: e

N N

−1

k

(k −1)/k ( )

ln ⁡ k

I calcoli degli indici di eterogeneità presentati si basano sulle sole frequenze relative il ruolo di n lo vedremo

 

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA:

più avanti.

- Variabili categoriali (nominali e ordinali): Per quanto concerne la rappresentazione della relazione tra variabili quantitative, si usa lo

grafici a barre scatterplot, o grafico di dispersione : le due variabili sono riportate su uno spazio

- Variabili quantitative (intervallo, cartesiano e ogni unità statistica è rappresentata da un punto, le cui coordinate sono date

rapporto, conteggio e continue): dai rispettivi valori della prima e della seconda variabile. Possiamo lavorarci su seguendo

istogrammi questi passaggi:

- Boxplot: relazione quantitativa e − −

x X́ y Ý

- Calcoliamo: per ogni x e

i i

categoriale

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Terminologia:

a. COVARIAZIONE: indica il fenomeno, si riferisce sia alla relazione tra variabili quantitative che categoriali

b. COVARIANZA: misura assoluta della covariazione tra variabili quantitative dipende dall’unità di misura



c. CORRELAZIONE: misura standardizzata della covariazione tra due variabili quantitative. varia tra -1 e 1 ed è



indipendente dall’unità di misura. ∑ (x −x́ )( − )

y ý

i i

=

S

La covarianza : tra X e Y . Si noti che la moltiplicazione delle due differenze non è altro

  xy n ± ∞

che l’area del rettangolo definito dalla distanza del punto dal baricentro. Essa varia tra . se



' '

( )

≫ ≪

S ≈ 0 allora non c è dipendenza S o 0 allora c èforte dipendenza

, mentre se

xy xy

∑ 2

( − )

X X́

2 i

=

S

La varianza è un caso particolare della covarianza:

 n

La correlazione di Pearson : con la covarianza è difficile stabilire quando la relazione tra X e Y è forte/debole. Possiamo

 S xy

−S S ≤ S ≤ S S S S −1 ≤ ≤ 1

ricavare che: , ora, dividendo i membri per ottengo che: . Ottengo

Valori di riferimento:

x y xy x y x y S S

· R = + o – 0.1 piccolo

effetto x y

∑ (x −x́)( − )

S y ý

· R = + o – 0.3 effetto medio



xy i i

= =

R · R = + o – 0.5 effetto grande



quindi la formula della correlazione: √ √

xy ∑ ∑

S S 2 2

( − ∗ ( − )

X X́) y Ý

x y i i

'

R ≈ 0 non c è dipendenza

· xy '

(−1 )

R ≈ 1 c è forte dipendenza

· xy > ¿

R 0 dipendenza

( )

· xy

La correlazione di Spearman (tra ranghi): non è altro che la correlazione (di Pearson) calcolata sui ranghi delle due



Variabili categoriali confronto e correlazioni



variabili. A ∩B

X variabile 1 e Y variabile 2. indica la co-occorrenza di A nella prima variabile e di B nella seconda. Come ricordiamo,

 

le frequenze relative sono le frequenze assolute divise per la numerosità totale. Inserendo i dati delle due variabili in una tabella di

f A ∩B

=

p

frequenza, possiamo calcolare le frequenze relative della co-occorrenza. Tali frequenze relative sono indicate come .

A∩B n

frequenze relative congiunte

Queste frequenze sono dette . frequenze relative

Ma se noi volessimo sapere la proporzione di A all’interno del totale di B, dovremmo calcolare le così dette

condizionate , la cui formula è:

f f

A∩B A ∩B

= =

p A Nella tabella abbiamo le frequenze

+

f f f

B A&ca