Formulario Costruzione di macchine

DETERMINARE LA LABILITA DI UNA STRUTTURA

1) Calcolare GDL e confrontarlo con GDV:

Vincoli semplici a terra

Simbolo

Nome e numero gradi di vincolo (GDV)

Rappresentazione del centro di istantanea rotazione (CIR)

Descrizione del centro di istantanea rotazione (CIR)

Carrello

1 GDV

Retta ortogonale alla retta dove scorre il carrello.

Cerniera

2 GDV

Centro della cerniera

Pattino

2 GDV

Punto improprio all'infinito in direzione ortogonale alla retta dove scorre il pattino.

Manicotto

2 GDV

Punto improprio all'infinito in direzione ortogonale alla retta dove scorre il manicotto.

Bipattino

1 GDV

Retta impropria all'infinito (circonferenza impropria di raggio infinito).

Incastro

3 GDV

Non esiste CIR. Tutti i gradi di liberta del corpo sono vincolati.

VINCOLI

GDV eff = GDL

GDV eff < GDL

GDV eff = GDV

(Tutti i vincoli sono ben posti)

STRUTTURA ISOSTATICA

STRUTTURA IPOSTATICA

(vincoli ben posti ma insufficienti, meccanismo)

GDV eff = GDV

GDV eff < GDV

(Eq. non linearmente indipendenti)

STRUTTURA IPERSTATICA

STRUTTURA LABILE

Queste tabelle servono al calcolo dei gradi di vincolo mentre per quelli di liberta: GDL = 3N (N = n. travi)

Esempi di vincoli interni

Carrello interno

1 GDV

Cerniera interna

2 GDV

Pattino interno

2 GDV

Cerniera interna tra n aste

2(n-1) GDV

Cerniera a terra tra n aste

2n GDV

Carrello a terra tra n aste

2n-1 GDV

2) Semplifico la struttura per arrivare ad un caso semplice (arco a tre cerniere non allineate o carrello-cerniera senza cir):

Biella

Arco a tre cerniere

ISOSTATICO

LABILE

Altra semplificazione essenziale riguarda la sovrapposizione delle rette dei CIR (centro di istantanea rotazione):

Se 2 CIR si sovrappongono nel punto di incontro si puo mettere un vincolo che permetta gli stessi movimenti (es: 2 carrelli -> 1 cerniera)

QUADRILATERO ARTICOLATO

Dunque si semplifica in un arco a tre cerniere non allineate

isostatico e ben vincolato a terra

Appendice isostatica

Corrisponde ad un insieme di tratti che vengono posizionate su un corpo rigido ben vincolato.

Queste tratti se staccate dalla struttura possiedono GDL = GDL e se appoggiate alla struttura non interferiscono con essa.

Anello chiuso isostatico

Questa struttura e un percorso chiuso (di corpi rigidi) lungo il quale si identificano solo 3 GDL una volta staccato dalla struttura e sottratti i relativi vincoli.

GDL - GDV, 3 - 2 = 3

A.C.I.

3) A questo punto, giunti ad una struttura semplice se ne decreta la natura.

Calcolo delle reazioni interne

Questo esercizio puo essere svolto in 3D oppure in 2D:

• Caso in due dimensioni:

1. Fissare un sistema di riferimento;
2. Calcolare le reazioni vincolari, sull'intera struttura e poi sulle singole travi (Sumx=0, Sumy=0, SumM=0);
3. Si utilizza dove possibile la semplificazione per le bielle cinematiche;
4. Si calcolano sforzo assiale (N), taglio (T), momento flettente (Mf) ed eventualmente momento torcente (Mt).

• Caso in tre dimensioni:

1. Fissare un sistema di riferimento;
2. Calcolare le reazioni vincolari, se necessario e dividere gli effetti delle singole forze in grafici distinti;
3. Nello spostarsi sulla trave con le forze e importante non scordarsi il momento di trasporto;
4. Si costruiscono poi i grafici di N, T, Mf ed Mt;
5. Teoricamente indicare quali sono le forze fisse e quelle rotanti rispetto all'albero e/o al sistema di riferimento.

CALCOLO DELLA DEFORMATA

1. Fisso un sistema di riferimento e cerco di intuire il lato delle fibre tese dunque il segno del momento;
2. Se Mf e positivo: v^II_f = Mf(x) / EJ, mentre se Mf e negativo v^II_f = -Mf(x) / EJ;
3. Scegliere poi la convenzione desiderata tra T = dM / dx, q = -dT / dx oppure T = -dM / dx, q = dT / dx, dove q e un carico distribuito. Fare attenzione ai segni;
4. Si ha v^III_(x) = Mf(x) / EJ, il momento derivato e ottengo v^III_(x) = dM / dx . 1 / EJ = T(x) / EJ e derivando di nuovo v^IV_(x) = dT / dx . 1 / EJ = -q / EJ a questo punto integro e trovo v^III (taglio), v^II (momento), v^I (angolo di curvatura) e v (curvatura);
5. Per avere i valori effettivi si devono pero fissare le condizioni al contorno: v^II_(x=k) = j ossia valori di parametri sopra citati in punti casuali della trave e cosi si possono calcolare le costanti e trovare la curvatura;

EXTRA Se la rotazione e bloccata v' ha un flesso o tangente orizzontale esso arriva obliqua. La curvatura e massima quando la sua derivata e nulla.

CERCHI DI MOHR

1. Si disegni il blocchetto degli sforzi e fissato il sistema di riferimento si inseriscono gli sforzi (positivi se concordi con l'asse, per il z se positivi convergono e se negativi divergono;
2. Si decide la direzione principale (quella senza sforzi torsionali o sforzi in generale);
3. Si fissa il cono di riferimento;
4. Si disegni il cubetto visto dalla direzione principale in modo da avere una rappresentazione tipo;
5. In un grafico s-z si segnino i due punti e si traccia una circonferenza di centro nell'intersezione tra i due punti e l'asse s; si osserva poi il carico sulla direzione principale e lo si segna poi si unisce quel punto all'estremo sinistro del cerchio fatto prima con un'altra circonferenza (se non c'e sforzo il punto da segnare e zero):

• Se quest'ultima e esterna
• Se quest'ultima e interna

6. Si trovano geometricamente cosi come a = 1/2 arctg [2a / (sA - sB)] mentre tMAX = (sI - sII) / 2

EXTRA Per il calcolo di s e t rispetto ad un altro piano avendone la normale es: s = [-200 0 0; 0 50 -25; 0 -25 40], n = [1/3, 1/3, 1/3] - la norma 1 = n

s = t n^T s = 1/3 [-200, 25, -15]; sn = s . n = 1/3 (-200 + 25 - 15) = -63,33 MPa ; |t| = |s|^2 - s_n² = 98 MPa

Ruote dentate a denti dritti

Rapporto di trasmissione: C₁ / C₂ = w₂ / w₁ = z₁ / z₂ = d₁ / d₂

primitivi

Modulo: m₁ = d₁ / z₁;

Passo: p = pi d₁ / z₁

FT = C₂ / D₂/2 = C₁ / D₁/2

alpha = angolo di pressione (20)

Ruote dentate a denti elicoidali

alpha = angolo di pressione

beta = inclinazione dell'elica

FT = 2C₂ / d₂

Fr = (FT / cos beta) tg alpha ; Fz = FT tg beta

Calcolo dei momenti al fine di verifica

Quanto fatto fino ad ora resta valido ma al fine di verifica e piu conveniente agire in altri modi. Poiche si tratta di eseguire verifiche si ha spesso se non sempre, nei vostri casi, a che fare con travi snelle percio si trascura il taglio e una prima cosa da fare e dividere le forze in fisse rispetto all'albero o rotanti.

Spesso poi si trasportano le forze sull'albero cosi da non dimenticare sforzi (forza trasportata + momento di trasporto se necessario).

A questo punto, fissati i sistemi di riferimento opportuni, si disegnano i grafici

Verifica statica

1) Ottenuti i grafici si disegna la sezione della trave che si intende verificare staticamente:

Su questa sezione si individuino dove si trovano le fibre tese grazie ai grafici dei momenti e si disegnino tali momenti in modo tale da tendere le fibre desiderate (cio e uscenti), inserire anche eventuali momenti torcenti. Nel caso ci siano sia forze fisse che rotanti si consideri la somma per la verifica statica.

2) Si faccia ora la somma in quadratura dei flettenti e se ne calcoli lo sforzo, sia da sforzo assiale, momento flettente e torcente:

• sigma nom (lo sforzo assiale) = N/A vale per tutte le sezioni
• sigma nom (cilindro) = 32 Mf / pi d³
• tau nom (cilindro) = 16 Mt / pi d³

• sigma max = (sigma nom (N) + sigma nom (Mf)) . K
• K = Ks = Kt - duttili o plastificazione (sigma sw), fragili a rottura (sigma R)
• K = Ks = 1 - duttili o plastificazione totale (Rm)
• tau max = tau nom . K

Per tutte le altre forme in sezione vale:

• sigma max = Mf . y / J
• tau nom = Mt y / W

Successivamente si prosegue come sopra

3

A questo punto si prosegue con la verifica che potrebbe richiedere il passaggio per i cerchi di Mohr.

Materiali fragili (rottura):

sigma eq < sigma lim / n → sigma I (trazione)cerchisigma III (compressione)

Galileo

Materiali duttili (prima plasticizzazione):

sigma eq < sigma lim / n, 1,5 → sigma I - sigma III (Guest Tresca) → piu conservativosqrt(sigma I² + sigma II² + sigma III² - sigma I sigma II - sigma I sigma III - sigma II sigma III) (Von Mises)

Nel caso di flesso-torsione vale pero che: sigma eq = sqrt(sigma max² + 4 tau max²) (Guest Tresca), sigma eq = sqrt(sigma max² + 3 tau max²) (Von Mises)

Materiali duttili (plasticizzazione totale):

sigma eq < sigma lim / n, 1,5 → sigma I - sigma III (Guest Tresca) → piu conservativosqrt(sigma I² + sigma II² + sigma III² - sigma I sigma II - sigma I sigma III - sigma II sigma III) (Von Mises)

Nel caso di flesso-torsione vale pero che: sigma eq = sqrt(sigma max² + 4 tau max²) (Guest Tresca), sigma eq = sqrt(sigma max² + 3 tau max²) (Von Mises)

Verifica a fatica

Anzitutto nelle verifiche a fatica si tende ad utilizzare la sollecitazione massima, ossia lo sforzo calcolato staticamente aumentato del 20% (sollecitazione allo spunto). Tendenzialmente a fatica eta > 2.

Verifica a fatica monoassiale alternata a media nulla:

- Sforzo assiale: sigma FA o = (0,3 ÷ 0,45) Rm → sigma' FA o = sigma FA o b_a / kf_a → eta = sigma' FA o / sigma A dove sigma A e lo sforzo dovuto alla forza variabile;

- Flessione: sigma FA f = (0,4 ÷ 0,6) Rm → sigma' FA f = sigma FA f b_b / kf_f → eta = sigma' FA f / sigma A dove sigma A e lo sforzo dovuto alla forza variabile;

- Torsione tau FA t = (0,23 ÷ 0,33) Rm → tau' FA t = tau FA t b_b / kf_t → eta = tau' FA t / tau A dove tau A e lo sforzo dovuto alla coppia variabile;

Verifica a fatica monoassiale alternata a media non nulla:

Come nel caso precedente si calcolano sigma'' FA,a,f e tau'' FA t solo che poi si passa per i diagrammi di Haigh sia per lo sforzo assiale che tangenziale

sigma sigma m

tau tau m

tau a, sigma a: derivano da forze variabili tau m, sigma m: derivano da forze fisse

NB: NON SONO DIAGRAMMI DI HAIGH

DIAGRAMMA DI HAIGH PER SFORZO ASSIALE

GM