Ripetizione completa Costruzione di macchine

Analisi cinematica

Gradi di libertà e vincoli

L'analisi cinematica riguarda i gradi di libertà e di vincolo, e la classificazione dei sistemi in ipostatici, isostatici e iperstatici. È fondamentale la schematizzazione delle situazioni reali, con particolare riferimento ad assi, alberi e cuscinetti. La cinematica delle strutture include la valutazione della labilità.

Lezione 3: Analisi cinematica

Per comprendere se un corpo è vincolato in maniera efficace, è necessario un numero di equazioni linearmente indipendenti sufficiente.

Gradi di libertà

I gradi di libertà rappresentano il numero di parametri indipendenti da fornire per fissare un punto nello spazio. Ad esempio, sono 3 per un punto libero nel 2D e 6 per un corpo libero nel 3D. Un punto vincolato perde uno o più gradi di libertà.

Corpo rigido e sistema di punti rigido

Un corpo rigido è costituito da infiniti punti materiali che non cambiano la loro distanza relativa anche sotto l'azione di forze esterne, richiedendo la definizione di 6 parametri (nel caso di un corpo libero). Al contrario, un corpo deformabile subisce variazioni interne.

Un sistema di punti rigido è un sistema di N punti Pi in cui si definiscono traiettoria, posizione iniziale e spostamento, mantenendo costante la distanza tra due punti qualsiasi. Un tale sistema possiede 3N gradi di libertà.

Esempi e movimenti

Consideriamo, ad esempio, un sistema biella-manovella: è un sistema di corpi rigidi composto da 2 corpi rigidi e non può essere considerato un corpo rigido unico.

Per descrivere il movimento di un punto materiale, è necessario assegnare la posizione del punto materiale rispetto a un sistema fisso, definendo 3 parametri nel caso di un punto libero.

Per descrivere il movimento di un corpo rigido, è necessario assegnare la posizione di ogni punto rispetto al sistema di riferimento. I movimenti possibili nel piano includono rotazione, traslazione e rototraslazione.

Centro di rotazione e teorema di Eulero

Il centro di rotazione indica che un moto finito di un corpo rigido può sempre essere descritto come una rotazione finita attorno a un centro di rotazione. Il CIR (centro di rotazione per spostamenti infinitesimi) può cambiare istante per istante durante il moto piano di un corpo. Nel caso di traslazione, si dice che il CIR si trova all'infinito.

Secondo il teorema di Eulero, qualunque atto di moto piano è sempre definito da una rotazione attorno a un CIR. In caso di traslazione, il CIR è all'infinito. Se non si riesce a trovare un CIR, significa che il corpo rigido è fermo, cioè ben vincolato.

Tipi di vincoli

• Incastro: non ha CIR, 3 gradi di vincolo.
• Cerniera: CIR sulla cerniera, 2 gradi di vincolo (consente rotazione attorno al proprio perno).
• Carrello: CIR sulla perpendicolare, 1 grado di vincolo (rotazione attorno al perno e traslazione sulla retta di scorrimento). CIR all'infinito sulla perpendicolare.
• Pattino: 2 gradi di vincolo (traslazione sulla retta di scorrimento), cinematicamente equivalente a due carrelli. 2 CIR all'infinito, 1 grado di vincolo (traslazione verticale e orizzontale).

Valutazione dei vincoli

• Gradi di vincolo < Gradi di libertà: ipostatico
• Gradi di vincolo > Gradi di libertà: iperstatico
• Gradi di vincolo = Gradi di libertà: isostatico

Anello chiuso

Un anello chiuso include 3 vincoli interni che possono essere rimossi senza modificarne l’equilibrio, lasciando 3 gradi di libertà residui più un arco a 3 cerniere non allineate.

Labilità

La condizione di uguaglianza tra gradi di libertà e gradi di vincolo è una condizione necessaria ma non sufficiente affinché la struttura sia in equilibrio. Deve inoltre essere impedita ogni possibile mobilità, anche solo virtuale. Se tale condizione non è verificata, la struttura si dice labile.

Statica: forze e sistemi di forze

La statica comprende forze e sistemi di forze, momenti, reazioni vincolari e condizioni di equilibrio, con aspetti concettuali e applicativi relativi agli elementi delle macchine e applicazioni relative ad alberi, assi e supporti.

Reazioni vincolari

Le reazioni vincolari sono tante quanti i gradi di vincolo del vincolo. La somma delle reazioni vincolari e delle forze esterne forma un sistema di forze in cui deve essere garantito l’equilibrio, noto come statica del corpo rigido.

Equilibrio del corpo rigido

L'enunciato per l'equilibrio del corpo rigido afferma che se un corpo o un sistema di corpi inizialmente in quiete rimane in equilibrio, anche se soggetto a un sistema di forze, il corpo è in uno stato di equilibrio. Le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio di un corpo rigido sono ∑M=0 e ∑F=0.

Azioni interne

I diagrammi delle azioni interne nelle strutture isostatiche a geometria piana, con carichi applicati anche fuori piano, comprendono azioni assiali, taglio, flessione e torsione. Nei corpi rigidi caricati di forze esterne si generano sistemi di forze interne chiamate azioni interne, che includono:

• N: azione assiale
• T: azione di taglio
• M_f: momento flettente

La derivata del momento è il taglio (a meno del segno dovuto alle convenzioni).

Strutture reticolari

Le strutture reticolari sono strutture con forze applicate esclusivamente ai nodi in 3D.

Analisi dello stato di sforzo piano

L'analisi include la definizione delle sollecitazioni principali. I cerchi di Mohr consentono la determinazione delle sollecitazioni principali a partire da stati di sforzo generici piani e viceversa. Si determina lo stato di sforzo in sezioni di elementi di macchine caricati anche fuori dal proprio piano.

Stato di sforzo

Lo stato di sforzo è tridimensionale (seppur puntuale) e ha proprietà locali. Le componenti di sforzo includono 3 componenti normali e 6 tangenziali.

Tensore di sforzo e convenzioni

Il tensore definisce lo stato di sforzo. Utilizzando il tetraedro di Cauchy, è possibile ricavare gli sforzi passanti per qualsiasi piano appartenente al punto. Si usano le seguenti convenzioni:

• S: sforzo (x, y, z)
• σ: sforzo normale = nS (somma delle proiezioni di S_n in direzione n)
• τ = sqrt(|S|² n²): sforzo tangenziale

Le direzioni particolari in cui τ si annulla indicano che S ha solo componente lungo n. Risolvendo il problema degli autovalori si trovano σ_I, σ_II, σ_III (tre autovalori detti direzioni principali, ortogonali tra loro, lungo cui gli sforzi tangenziali sono 0).

Cerchi di Mohr

I cerchi di Mohr sono un metodo grafico per trattare lo stato di sforzo. Formule da ricordare includono:

• tan 2 θ = -σ₀ - σ
• τ_max = (2σ₁ - 2σ₂) / √((2σ = σ₂) + σ)