Appunti completi lezioni di Costruzione di macchine - Parte 1

POLITECNICO DI MILANO

Autore

Andrea Viale

Ingegneria Meccanica

Corso di Laurea: 2025/2026

Anno Accademico:

I

Semestre: Costruzione di Macchine

Insegnamento: 062374

Codice Insegnamento:

10

Numero di CFU:

Patriarca Luca

Professore: Costruzione di Macchine 1 – P. Davoli

Libro di testo (di riferimento):

Descrizione:

Il seguente file è interamente basato sulle lezioni frontali del corso ed integrato tramite il libro di

testo di riferimento, indicato dal professore. Sono inoltre presenti alcuni approfondimenti

riguardanti gli argomenti più complessi e delicati, all’interno degli stessi paragrafi, oppure a parte.

Cosa include il seguente file:

Lezioni teoriche sui fondamenti della progettazione meccanica e sulla costruzione di macchine

DALLA 1 ALLA 16

Documento redatto a scopo di studio personale. È severamente vietata la riproduzione, la condivisione e la rivendita non

autorizzata a terzi. Questo materiale non sostituisce lo studio sui testi ufficiali o la frequenza alle lezioni.

Programma del corso:

Nella prima parte del corso vengono introdotÝ i concetÝ fondamentali della

• schematizzazione degli organi meccanici (assi, alberi, ingranaggi, cuscinetÝ, telai, giunti,

molle, ecc.) per lo studio dell'equilibrio e del calcolo delle reazioni vincolari, delle azioni

interne, degli sforzi e delle deformazioni, in base al legame elastico lineare, nonché della

deformabilità delle strutture. Verranno trattati i sistemi isostatici e semplici sistemi

iperstatici, con particolare attenzione all'analisi cinematica dei sistemi.

Successivamente il corso ha come obietÝvo l'impostazione del dimensionamento e verifica

• dei più elementari componenti e organi delle macchine. A questo scopo è illustrato il

comportamento meccanico dei materiali utilizzati in campo ingegneristico sollecitati

staticamente e a fatica, sono quindi evidenziati i coefÏcienti che tengono conto della

presenza di intagli (coefÏciente di sovrasollecitazione teorico, Kt, sperimentale, Ks, e di

fatica, Kf) nei componenti reali. Lo stato di sforzo e di deformazione nel piano è studiato per

determinare le sollecitazioni e le direzioni principali o in una prefissata direzione.

Infine, sono illustrati i principali criteri di resistenza statici e a fatica per materiali dutÝli e

• fragili.

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Nota dell’autore:

Grazie per il tuo acquisto!

“

Grazie di cuore per l'acquisto e per la fiducia che mi hai dimostrato! Ho dedicato molto tempo e

cura alla stesura di questo documento; spero vivamente che queste dispense ti siano utili per

alleggerire lo studio, comprendere al meglio la materia e per superare l'esame con successo.

Se ti sei trovato bene e reputi questo materiale di qualità, ti chiedo un piccolo favore: parlane con i

tuoi amici qualora dovessero aver bisogno di appunti chiari e afÏdabili su cui prepararsi. Il

passaparola è il supporto più prezioso che tu possa darmi: il ricavato di queste vendite, infatÝ, è ciò

che mi permette di continuare questa atÝvità, dedicando tempo e risorse alla stesura, alla

revisione e alla pubblicazione di nuove dispense per i prossimi corsi.

Un grande in bocca al lupo per il tuo esame e per il proseguimento dei tuoi studi! ”

Andrea

Altre mie pubblicazioni:

- Dispense di Fisica Tecnica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Principi di Ingegneria Elettrica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Statistica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica Applicata alle Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica dei Fluidi (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Tecnologia Meccanica (lezioni, esercitazioni e mappe mentali)

Elenco aggiornato a Luglio 2026 "Se ho visto più lontano, è perché stavo sulle spalle di giganti."

Isaac Newton

— Sir

Lezione 1 - 16/09/25

Le grandezze si dividono in:

scalari:

grandezze massa, lavoro, …

vettoriali:

grandezze forze, spostamenti, rotazioni, …

Notazioni:

vettori: oppure

a a

modulo di un vettore: oppure

∣ ∣

a a

che useremo: terna cartesiana sviluppata con la mano

Sistema di riferimento

destra

Per definire un vettore bisogna definire:

 modulo

 direzione

 verso

 punto di applicazione

Per rappresentarlo si possono usare sia le componenti che i versori:

∣ ∣ = + + = + +

a a a a i a j a

a k

x y

x y z z

2 2 2 con (stessa cosa per

ed esso ha modulo ∣ ∣ = + + = ⋅

a a a a a a i

x

x y z

e )

a

a y z

Dati i vettori e le principali

= + + + +

=

a a i a j a b b i b j b

k k

x y x y

z z

operazioni tra vettori sono:

Somma:

 = + (a + ) + (a + ) + (a +

= )

c a b i b j b

b k

x x y y z z

( )

Prodotto per uno scalare:

 ⋅ = (α ) + (α ) +

α a a i a j α a k

x y z

= ∣ ∣ ∣ ∣ cos

Prodotto scalare:

 con

⋅ 0 ≤ ≤

a b θ π

b a θ

Lezione 1  16/09/25 1

Prodotto vettore:

 = ×

c a b

∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ sin

a θ

c b

con direzione al piano definito da e e verso definito dalla regola della

⊥ a b

mano dx

Le strutture meccaniche sono soggette a forze ed a momenti

Momento di una forza F rispetto ad un polo O: è un vettore, ci sono 3 modi per

calcolarlo

Prodotto vettoriale

 [F ⋅

=

×

= ( ) ×

−

Ω orza Lunghezza]

M P O

F F

o

Calcolo del braccio della leva

 Ω Ω Ω Ω

Ω Ω

× =

= ( + ( × ) =

= ) × ( × ∣ ∣ ∣ ∣

) +

F F

F

M F

F ⊥ ⊥ ⊥

∥ ∥

o

Scomposizione di F

 Ω

Ω

Ω Ω Ω

= × ( + ) +

× ( ×

( × ∣ ∣ ∣

= ) = ) = ∣

F

F F F

M F F

⊥ ⊥ ⊥

∥ ∥

o ➡

Corpo infinitamente rigido la deformazione dovuta alle forze è trascurabile

Sistemi di forze equipollenti: due sistemi di forze si dicono equipollenti se si

passa dallʼuno allʼaltro con operazioni invariative elementari non

sono due sistemi di forze che non sono né uguali né equivalenti ma che

cambiano la condizione globale di equilibrio del corpo

Operazioni invariative elementari:

spostamento di una forza lungo la sua direzione

 somma vettoriale di forze applicate allo stesso punto

 scomposizione di una forza



Lezione 1  16/09/25 2

se sposto la forza al di fuori della sua retta dʼazione devo

 F i−esima

introdurre un momento di trasporto

Risultante: somma vettoriale delle forze che agiscono sul corpo, non dipende

dal polo scelto ∑

=

R F i

i

Momento di un sistema di forze: dipende dal polo scelto

∑ −

= ( ) ×

M O F

P

o i

i

i

Momento di un polo calcolato da un altro polo:

∑ ∑ −

−

− (

= = + ) ×

+ ′

′

) × ) ×

( (

M F M O O

P O O

O F R

′

o i i o

i

i i

infatti:

Coppia di forze: è un sistema di forze applicato ad un corpo rigido

in una coppia di forze il momento è costante rispetto ad ogni polo

Lezione 1  16/09/25 3

Postulato: in un corpo rigido, due sistemi di forze equipollenti producono gli

stessi effetti meccanici

Per essere equipollenti i due sistemi:

stessa risultante

 devono avere la = ∑

R F i

i

 devono avere la stessa risultante dei momenti rispetto ad un polo

M o

generico

In base alle equazioni che li governano, i sistemi meccanici possono essere:

Sistemi meccanici in “quieteˮ (o “nulloˮ): o sono fermi o si spostano a

velocità costante (no effetti inerziali) o ruotano a velocità costante (no effetti

inerziali), questo solo se:

{ =0

R = 0 ∀

M O

polo

o

Sistema “coppiaˮ: { =0

R = = 0

M const 

o

Sistema “equipollenteˮ ad una forza risultante:

{ = 0

R 

∃ : = 0

O M

solo un polo o

Asta: si rappresenta come un segmento rettilineo indicante lʼasse

caratteristica: >>

l d

Lezione 1  16/09/25 4

Lezione 2 - 18/09/25

Due sistemi equipollenti hanno le stesse risultanti delle forze e dei momenti

Il braccio della forza va calcolato rispetto allʼasse del momento considerato

Metodi per risolvere un esercizio:

 calcolare ogni componente del momento totale sommando i contributi di

ogni forza agente sul sistema

 calcolare ogni componente del momento totale intuendo quali forze

contribuiscono al momento e considerando analiticamente solo quelle

(tralasciando quelle che non contribuiscono)

 procedere per sistemi equipollenti, spostando ogni forza verso il polo

considerato ed introducendo i relativi momenti di trasporto durante le varie

operazioni

Lezione 2  18/09/25 1

Lezione 3 - 19/09/25

Punto materiale: serve a schematizzare un corpo e non ha una dimensione

spaziale

Gradi di libertà (g.d.l.): numero di parametri indipendenti che ci permettono di

definire la pozione nello spazio di un punto

nello spazio un punto materiale possiede 3 gradi di liberta 3

spostamenti), che dipendono dal sistema di riferimento scelto:

in coordinate cartesiane

x, y, z in coordinate cilindriche

r, θ, z in coordinate sferiche

r, θ, ϕ

Definire dei gradi di vincolo di un corpo significa imporre su di esso dei vincoli,

togliendogli gradi di libertà − =

Gdl Gdv Gdl residui

Esempi

Corpo rigido: serve a schematizzare un corpo esteso e ha una dimensione

spaziale

è possibile schematizzare in questo modo i materiali che subiscono solo

piccole deformazioni, come ad esempio i metalli (ma non gli elastomeri)

Lezione 3  19/09/25 1

N eq. vincoli

N punti N Gdl N eq. vincoli linearmente Gdl residui

indipendenti

3 9 3 3 6

4 12 6 6 6

5 15 10 9 6

6 18 15 12 6

Un corpo rigido nello spazio

formato da infiniti punti tridimensionale possiede

6 gradi di libertà 3 spostamenti e 3 rotazioni consentite lungo le 3 direzioni).

Un corpo rigido nel piano ha 3 gradi di libertà:

2D x, y, θ

Il sistema meccanico può essere schematizzato come un insieme di corpi rigidi

ma esso nel suo complesso NON si comporta come una corpo rigido

Esempio - sistema biella-manovella

Sistema formato da 2 corpi rigidi (n = 2) ⟶ = 3n = 3 ⋅ 2 = 6

Gdl

Esempio - trottola

Struttura senza possibilità di movimento: bisogna introdurre dei gradi di

vincolo in modo tale che ≥

Gdv Gdl

Lezione 3  19/09/25 2

Un sistema può essere:

ipovincolato: >

Gdl Gdv

isovincolato (o “isostaticoˮ): = ⟶ = 0

Gdl Gdv Gdl residui

ipervincolato: <

Gdl Gdv

Vincoli

Cerniera: blocca tutti gli spostamenti ma consente le rotazioni

un cuscinetto può essere assimilato ad una cerniera

La cerniera (perfetta) impone i seguenti vincoli:

spostamento di un punto rispetto ad : =0

x u

spostamento di un punto rispetto ad : =0

y v

Cerniera interna:

dati corpi rigidi ⟶ = 3n

n Gdl

= 3 + (n − 1)

Gdl residui

= − = 3n − 3 − (n − 1) = 2n − 2 = 2(n − 1)

Gdv Gdl Gdl residui

Esempi

Cerniera a terra:

dati corpi rigidi ⟶ = 3n

n Gdl

= 2(n − 1) + 2 = 2n

Gdv

Esempi

Lezione 3  19/09/25 3

Carrello a terra: blocca lo spostamento verticale ma consente lo spostamento

orizzontale e consente le rotazioni

dati corpi rigidi: = 2(n − 1) + 1 = 2n − 1

n Gdv

Esempio - ponte levatoio

Pattino-manicotto a terra: consente lo spostamento in direzione parallela al

piano di appoggio e blocca la rotazione e lo spostamento in direzione

perpendicolare al piano di appoggio

una trave può essere schematizzata come un pattino

Incastro a terra: blocca ogni movimento e rotazione

isovincolata

costituisce una struttura

una saldatura può essere schematizzata come un incastro interno

Esempio - saldatura

Bipattino: impedisce la rotazione ma consente tutti gli spostamenti

Lezione 3  19/09/25 4

Sommario strutture 2D

Vincoli per

Gave GLU

GLU

Vincolo 3 3

Intant o 4

1 2

2

Cerniera fˆ

I

2

2

Pattino EI YY

manicotto i

commi 1 •

I

•

appoggio 1

e 1 •

21m il

slm il e

Gitta i 1

1

i E

confine

Canella a a

il

1 é

m

that cene p

China 2m

21m il

2

a

Tenat cerino blu Givet Gavi

Lezione 4 - 23/09/25

Studiare il numero di gradi di libertà e di gradi di vincolo, determinando se le struttura

è: isovincolata

ipovincolata

ipervincolata

non è sufficiente a determinare la cinematica di un sistema meccanico; infatti dal solo

numero di vincoli non è possibile determinare se la struttura possa muoversi oppure no

Una generica rototraslazione può essere ricondotta ad una pura rotazione attorno ad

un punto che si dice (centro di rotazione)

CR

per una pura rotazione coincide con il punto per cui passa l'asse di

CR O

rotazione ( )

≡

CR O

per una pura traslazione è infinitamente lontano ( )

CR → ∞

CR

Ipotesi di piccole rototraslazioni

L'ipotesi di piccole traslazioni e rotazioni permette di linearizzare le equazioni relative

alle rototraslazioni

Lezione 4  23/09/25 1

Esempio  Rotazione pura attorno allʼasse z

Equazione generalizzata per rototraslazioni con ipotesi di piccole traslazione e

rotazioni:

: , , , , ,

h.p. dθ dθ dθ du dv dw

0 0 0

x y z ×

= + −

d θ

d

d u u P O

0

P

con questa equazione si può dimostare che una struttura isovincolata può essere

labile atti di moto

(ossia che permette nonostante i vincoli)

atto di moto: rototraslazione infinitesima (spostamenti o rotazioni infinitesimi)

è difficile usarla per strutture complesse

Esempio (di prima ripreso) - formula generalizzata

Esempio - ponte levatoio

Sotto l'ipotesi di piccoli spostamenti e rotazioni il (centro di rotazione) viene detto

CR

(centro di istantanea rotazione)

CIR

Lezione 4  23/09/25 2

Coordinate del CIR

Data lʼipotesi di piccoli spostamenti e traslazioni, se esiste lʼatto di moto allora esiste

necessariamente un CIR

Definisco: : asse di rotazione

, ,

x y z

0 0 0 : traslazione rigida (tutti i punti si muovono insieme senza

, ,

dv dw

du 0 0 0

deformazioni, hanno tutti lo stesso vettore spostamento)

: generico punto del corpo rigido

P

Dato lo spostamento infinitesimo :

d u P

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ j k

du du i

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

0

P ⎭ ⎭

⎩ ⎩

= +

= dv dv dθ dθ

d u dθ

0 x

P P y z

− − −

x y z

x

dw dw y z

0 0 0 0

P P P P

in 2D { = − (y − )

}

{ du dθ y

du

du 0 0

0 P z P

= − )dθ ) − (x − )dθ =

(−(y

+ y x

i j

0 0

P P

z z

dv = + (x − )

dv dv dθ x

0 0 0

P z P

se allora le due equazioni del sistema sopra sono uguali a zero, quindi:

→

P CIR ⎧ ⎧

du dv

− = = −

0 0

y x

y x

0 0

⎨ ⎨

CIR CIR

dθ dθ

z z

⇒ ⎩

⎩ dv du

− = − = +

0 0

x y

x y

0 0

CIR CIR

dθ dθ

z z

per una pura rotazione il coincide con il punto dove passa lʼasse di rotazione

CIR

( )

O ≡

CIR O

per una traslazione orizzontale mentre

= indefinito → ∞

x y

CIR CIR

Lezione 4  23/09/25 3

Vincoli e CIR

Cerniera: il coincide con il perno della cerniera

CIR O

= = 0 ]

dv

du 0 0 ≡ O

CIR

=0



dθ

Incastro: non è possibile definire un CIR ∄

= = = 0 ⇒ CIR

dv dθ

du 0 0

Pattino a terra: il è infinitamente lontano in direzione perpendicolare al piano del

CIR

pattino = 0

dv 

0 → ±∞

⇒ x CIR

= = 0

du dθ

0

Manicotto: similarmente al pattino, il è infinitamente lontano in direzione

CIR

perpendicolare allʼasse del manicotto = 0

du 

0 → ±∞

⇒ y CIR

= = 0

dθ

dv 0

Carrello: il si trova su un qualsiasi punto lungo la retta perpendicolare al piano del

CIR

carrello e passante per (perno del carrello)

O = 0

du  {

0 = x

x 0

CIR

= 0 ⇒

dθ 

z du

= + 0

y

y

= 0 0

CIR

dv dθ

0 z

La posizione del dipende dagli atti di moto compiuti dal carrello:

CIR

pura rotazione cerniera

per una il sistema si comporta come una dunque il CIR

coincide con il perno del carrello ( )

≡

CIR O

pure traslazione pattino a

per una (orizzontale) il sistema si comporta come un

terra dunque il si trova infinitamente lontano rispetto al piano del carrello (

CIR

)

→ ±∞

y CIR rototraslazione generica