Formulario completo di Analisi 1

Analisi 1 (parte 1)

Disuguaglianza di Bernoulli

(1 + a)^m ≥ 1 + ma ∀m ∈ ℕ, ∀a ≥ -1

Formula di Gauss (somma)

∑_j=1^m j = (+1)/2

Somme geometriche

∑_j=0^{m j} = (1 - ^m+1)/(1 - ) ≠ 1

Coefficienti binomiali

(_m ) = ! / !(-)!

0! = 10 ≤ ≤ (_m ) = (_m 0) = 1

(_m 1) = Formula di Newton

(+b)^m = ∑_k=0^m (_m ) ^k b^m-k

Numeri complessi

= + + ω̅ = ̅ + ω

ω̅ = ̅ ⋅ ω ⋅ ̅ = ² + ² = ||²

1/ = 1/||² ⋅ ̅ = ̅/||²

| + ω| ≤ || + |ω|

|/ω| = ||/|ω|

|ω| = || |ω|

^m = ^m(cos(θ) + i sin(θ))

|| = √(² + ²)

Analisi 1 (parte 1)

Disuguaglianza di Bernoulli

(1+a)^m ≥ 1+ma ∀m ∈ ℕ, ∀a ≥ -1

Formule di Gauss (sommatorie)

∑_j=1^m j = ^m(m+1)/₂

Somme geometriche

∑_j=0^m q^j = ^1-qm+1/_1-q     q ≠ 1

∑_j=0^m q^j = ^1-qm+1/_1-q

Coefficienti binomiali

(^m/_k) = ^m!/_k!(m-k)!     0!=1

0!≤m

(^m/_m) = (^m/₀) = 1     (^m/₁) = m

Triangolo di Tartaglia m-riga (0,1,...) k-colonna (0,1,...)

Formula di Newton

(a+b)^m = ∑_k=0^m (^m/_k) a^k b^m-k

Numeri complessi

z+x̅ = z̅ + x̅

zω̅ = z̅ · ω̅

z · z̅ = x² + y² = |z|²

1/z = 1/|z|² · z̅ = z̅ / |z|²

|z+w| ≤ |z| + |w|

|z/ω| = |z| / |ω|

|zw| = |z||w|

z^m = r^m(cos(mθ)+isin(mθ))   De Moivre

|z| = √x² + y²

Funzioni speciali

H.d: Heaviside

H(x) = { 1 per x > 0 1/2 per x = 0 0 per x < 0 }

F.d: Dirichlet - D pari

Dx(x) = { 1 x ∈ Q 0 x ∉ Q }

Sigm

sigm(x) = { 1 se x > 0 0 se x = 0 -1 se x < 0 }

Parte intera

[x] ≤ x < [x] + 1

Iniezione

'f: X → Y se X₁ ≠ X₂ ⇒ f(X₁) ≠ f(X₂)

Suriezione

'f: X → Y ⇔ ∀y ∈ Y ∃x ∈ X t.c. f(x) = y

Inversa (se biettiva)

g^-1(y) = x ⇔ f(x) = y

Disuguaglianza triangolare (valore assoluto)

|x + y| ≤ |x| + |y|

|x - y| ≤ |x - z| + |z - y|

Limiti di successioni

Finito (lim_{m → +∞} xₘ = L) ⇔ ∀ε>0 ∃N_ε ∈ R t.c. m > N_ε ⇒ |xₘ - L|

Limiti di funzioni

Finito (lim_{x → x0} f(x) = L) se:

∀ε>0 ∃N_ε t.c. x > N_ε e x ∈ X → |f(x) - L|

Infinito

∀ K∈ ℝ ∃ N(K) t.c. x> N(K) e x∈ X ⇒ β(x)> K

Forme indefinite

( ±∞ ± ∞ )

( ±∞ ∙ 0 )

( ∞ / ∞ )

( 0 / 0 )

lim bm / nm = +∞

Chiusura di un insieme

X̄ = X ∪ X' = X

lim m→+∞ Q = c L log(m) L m P L c L m ! L m m

Limite (lim x → x₀)

Finito

lim x → x₀ g(x) = L ⇔∀ ε>0 ∃ ε>0 t.c. 00 : 0

Limiti notevoli

lim x→0 sin x / x = 1

lim x→+∞ (1+ 1/x)^x = e

lim y→0 log (1+y) / y = 1

lim x→0 e^x-1 / x = 1

lim x→0 (1+x)^d- 1 / x = d

lim x→0 1- cos(x) / x = 0

Derivate

(sin x)' = cos x

(cos x)' = -sin x

(x^a)' = a·x^a-1

(ln(x))' = ¹/_x

(f + g)'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀)

(f·g)'(x₀) = f'(x₀)g(x₀) + f(x₀)g'(x₀)

(¹/_g(x))' = - ^g'(x)/_g²(x)

(^f/_g)' = ^{f'(x₀)g(x₀) - f(x₀)g'(x₀)}/_g²(x0)

(tan x)' = ¹/_cos²x = 1 + tan²x

(g(f(x₀)))' = g'(x₀)·g'(x₀)

(e^g(x))' = e^g(x) g'(x)

(b^x)' = (e^ln(bx))' = (e^x·ln(b))' = e^x·ln(b) · (x·ln(b))' = b^x·log(b)

(arcsin y)' = ¹/_√(1-y²)

(arctan y)' = ¹/_1+x²

(sh x)' = ch x

(ch x)' = sh x

(th x)' = 1 - th²x = ¹/_ch²x

Funzioni iperboliche

sh x = ^{ex - e-x}/₂

ch x = ^{ex + e-x}/₂

th x = ^{ex - e-x}/_{e^x + e^-x}

ch²t - sh²t = 1

ch 2t = ^{ch(2t) + 1}/₂

sh(2t) = 2sh(t)ch(t)

sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

Analisi 1 (parte 2)

Derivate (m > 1)

(x^a)(^(m)) = _j=1^Π(a-j+1)x^a-m

x^(m)=_j=1^Π(m-j+1)x^m-m = m!

a < m => (x^a)(^(m)) = 0

(f+g)(^(m)) = f^(m)(x) + g^(m)(x)

(cf)(^(m)) = c・f^(m)(x)

m = m + k => g^(m)(x) = (g^(k))(^(m))(x)

p^(m)(0) = a_m <=> p(x) = _k=0^mΣ a_k/k! x^k

Polinomio di Taylor

p_m(x) = _k=0^mΣ g^(k)(x₀)/k! (x-x₀)^k MacLaurin x₀ = 0

p_m(x) = _k=0^mΣ g^(k)(0)/k! x^k

Maclaurin: x > 0

e^x : p_m(x) = _k=0^mΣ x^k/k!

sinx : p_2m+1(x) = _k=0^mΣ (-1)^k/(2k+1)! x^2k+1

cosx : p_2m(x) = _k=0^mΣ (-1)^k/(2k)! x^2k

(1+x)^a:p_m(x) = ∑_k=0^m₍^aC_k)x^k+o(x^m)=(a _β)={ 1   k=0

(1+x)^ap_m(x) = ∑_j=0^m₍^j)(_-x^j)+o(x^m)

1 + ax +

1/(1+x):p_m(x) = ∑_j=0^m_(-x^j)+o(x^m)

1/(1-x):p_m(x) = ∑_j=0^mx^j

1/(1+x²):p_2m(x) = ∑_j=0^m_(-x^j2j)+o(x^2m)

Formula di Lagrange

g(x) = p_m(x) + R_L(x)

_LDRm(x) = (g^(m+1) Cm₀)(x-x₀)^m+1

O piccolo

lim

Funzione convessa

g^“(x) >0 ∀x _domg =g^‘(x) crescente

Funzione concava

g^“(x)