Formula per il cambiamento di variabili integrali in R2

FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI VARIABILI PER INTEGRALI IN R²

Un cambiamento di variabili in R² e una funzione

psi: U^R2 -> R² biiettiva

Se psi C¹ e J_psi(u,v) e sempre invertibile allora

intint_D f(x,y) dxdy = intint_E f(psi(u,v)) |det J_psi(u,v)| du dv

psi(u,v) = (psi₁(u,v), psi₂(u,v))

J_psi = ( d_upsi₁ d_vpsi₁ )

( d_upsi₂ d_vpsi₂ )

all'incirca l'area del trasformato del rettangolino e superiore a sinistra e l'area del parallelogrammo di lati -(d_upsi)du e (d_vpsi)dv

tale area e |det(d_upsi du, d_vpsi dv)| = |det(d_upsi, d_vpsi)| dudv = |det J_psi| dudv

Pretendiamo suddivisioni sempre piu fini le somme superiori e inferiori di f convergono verso

f(psi(u,v)) |det Jpsi| du dv.

Teorema

Su C subset R², aperto e psi : C -> D C Rⁿ biiettiva e C¹

e supponiamo che Jpsi sia sempre invertibile.

Allora S subset C e misurabile iff psi(S) e misurabile e se

f in C⁰(S) so ha che

f(x,y) dxdy = f(psi(u,v)) |det Jpsi(u,v)| du dv.

Applicazione nel caso delle coordinate polari:

psi(r,theta) = (r cos theta, r sen theta)

psi : (0,+infinito) x [0,2pi) -> R²

Anche se psi non e biiettiva per calcolare gli integrali va bene lo stesso perche basta rimuovere insiemi di misura nulla che non alterano il valore dell'integrale.

Jpsi(r,theta) = (cos theta, -r sen theta; sen theta, r cos theta), det Jpsi(r,theta) = r

Supponiamo ora voler calcolare l'area del cerchio {x²+y² ≤ R²} = C_R

in coordinate polari dobbiamo determinare le coppie (r,theta)

tali che psi(r,theta) in C_R dove (r cos theta)²+(r sen theta)² ≤ R² => r² ≤ R²

cioe r ≤ R

C_R = {(x,y) | x² + y²