Fondamenti di Metodologia quantitativa

Elementi essenziali di algebra

Lineare

Matrici, vettori, scalari

Una matrice è una organizzazione di oggetti disposti attraverso le righe e le colonne dove m (≠ 0) è il numero delle righe e n (≠ 0) è il numero delle colonne.

Gli indici i, j assumono una funzione di coordinate matriciale.

Una matrice avente una sola colonna (n=1) o riga (m=1) si chiama vettore.

oppure (X_1,1 X_2,1 ... X_m,1)

Si chiamano rispettivamente vettore colonna oppure vettore riga.

Una terza tipo di organizzazione è lo scalare, che è un singolo elemento di matrice.

Una matrice avente righe e colonne uguali (m=n) si dice quadrata,

diversamente si dice rettangolare (m≠n).

Una matrice che ha componenti sulla diagonale principali diversi da zero e tutti zero nelle altre posizioni si dice diagonale.

Una matrice con componenti diversi da zero o al di sopra o al di sotto della diagonale principale e nulli = 0 si dice matrice triangolare superiore o inferiore.

La matrice tra quella triangolare superiore e quella inferiore si dice simmetrica.

Una matrice con tutti 1 nella diagonale, e nulli al di fuori, si dice di identità.

Una matrice intera con tutti zero al suo interno si chiama matrice nulla.

Di seguito sono nuovamente rappresentate le matrici diagonali, triangolari superiori, triangoli inferiori, simmetriche, e la matrice di identità (I).

Elementi essenziali di algebra lineare

Matrici, vettori, scalari

Una matrice è un'organizzazione di oggetti disposti attraverso le righe e le colonne dove m (^righe) è il numero delle righe e n (_colorno) è il numero delle colonne.

Se indici i, j si chiamano alla funzione di coordinate matriciale.

Una matrice avente una sola colonna (m=1) o riga (n=1) si chiama vettore.

Si chiamano rispettivamente vettore colonna oppure vettore riga.

Una peculiare tipo di organizzazione è lo schema come un anglo bianco di matrice.

Una matrice avente righe e colonne uguali (m=n) si dice quadratica, altrimenti si dice rettangolare (m≠n).

Una matrice che ha componenti nella diagonale principali diversi da zero e tutti zero nelle altre posizioni si dice diagonale.

Una matrice con componenti diversi da zero al di sopra o al di sotto della diagonale principale e infimi = 0 si dice matrice triangolare superiore o inferiore.

La matrice tra un gruppo inferiore simile a quella superiore si chiama simmetrica.

Una matrice con tutti 1 nella diagonale maggiore e tutti in alto e aiuto di identità.

Una matrice quadrata con tutti zero al duo interno si chiama matrice nulla.

Di seguiti sono supremamente rappresentate le matrici diagonali, triangoli superiori e inferiori, simmetrica e identità.

Alcune operazioni con le matrici

La somma e differenza

L'operazione di somma o differenza si esegue elemento per elemento e le matricidevono avere la stessa dimensione, ossia devono essere compatibili.

È possibile eseguire queste operazioni tra vettori e tra scalari (k) e matrici o vettori.

Il prodotto

La precondizione per un prodotto tra due matrici è che il numero delle colonne (m)della matrice che premoltiplica deve essere uguale al numero delle righe (m) della matrice che postmoltiplica e il risultato sarà una matrice C che avrà il numero delle righe delle matrici che premoltiplica e numero delle colonne delle postmoltiplica. Le diverse operazioni che si possono eseguire sono:

• Prodotto tra uno scalare (k) e un vettore o una matrice:

• Prodotto tra vettori o matrici che può restituire una matrice, un vettore o uno scalare. Esempi più frequenti sono le somme rispettive tra ciascun termine.

Quindi, una matrice A con dimensioni (3,3) moltiplicata per un vettore B dimensioni (3,1) dà infine un vettore C con dimensioni (4,1), per rispetto della precondizione.

Le stesse righe, ma in più linee, tra 2 matrici:

A_3,3

B_3,3

C_3,4

Un’altra operazione matrice è quella della trasposta, che dato una generica matrice A consiste nel trasporre le righe in colonne e le colonne in righe.

X^T_2,3 =

La proprietà della trasposta è che la trasposta della trasposta (X ^T)^T = X ossia la matrice stessa.

La trasposta di una matrice di identità avente la matrice di identità (I)^T