Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (parte finale) - Sistemi MTU

6 - Dinamica dei sistemi MTU (motore-trasmissione-utilizzatore)

6.1 - Gli elementi fondamentali dei sistemi MTU

Con il termine macchina si intende in generale un sistema meccanico progettato per svolgere una determinata funzione. Un autoveicolo ha la funzione di trasportare persone o merci. Un ventilatore ha la funzione di generare un flusso d'aria. Una macchina utensile può svolgere lavorazioni tecnologiche quali l'asportazione di materiale, la deformazione plastica di componenti o la levigatura di superfici.

In generale, una macchina trasforma l'energia fornita attraverso energia elettrica, carburante o altre fonti, e utilizza questa energia per svolgere la funzione per cui è stata progettata.

L'analisi si concentra su macchine la cui cinematica e dinamica possono essere descritte attraverso un sistema a un grado di libertà. Questa approssimazione è valida per moltissime macchine reali. Per un autoveicolo, ad esempio, il movimento longitudinale può essere descritto in prima approssimazione con un sistema a un grado di libertà.

Naturalmente, altri fenomeni del veicolo, come la dinamica laterale o verticale, richiedono modelli più complessi, ma il movimento longitudinale è catturabile con questo approccio semplificato.

All'interno di una macchina si distinguono tre componenti principali che costituiscono lo schema MTU:

• Il motore è il sottosistema dedicato alla conversione di energia da una forma non meccanica in energia meccanica. L'energia di partenza può essere energia chimica, rappresentata dal potere calorifico del carburante nei motori a combustione interna, oppure energia elettrica nei motori elettrici. Il motore trasforma questa energia in lavoro meccanico, rendendo disponibile una coppia a una certa velocità angolare.
• L'utilizzatore è la parte della macchina che riceve l'energia meccanica (forza, velocità, coppia, velocità angolare,…) resa disponibile dal motore e la utilizza per svolgere la funzione per cui la macchina è stata progettata. Nel caso di un veicolo, l'utilizzatore comprende l'insieme degli elementi che determinano il movimento del veicolo e quindi lo spostamento dei passeggeri o delle merci. L'energia meccanica disponibile all'albero motore viene utilizzata per vincere le resistenze al moto e generare l'accelerazione del veicolo.
• La trasmissione è il sottosistema interposto tra motore e utilizzatore. La sua presenza è necessaria per una ragione fondamentale: i motori tipicamente forniscono energia meccanica con coppie relativamente piccole ad elevate velocità di rotazione. Gli utilizzatori, al contrario, richiedono tipicamente coppie elevate a velocità più basse.

Osservando il contagiri di un'automobile e convertendo la velocità di rotazione del motore moltiplicando per il raggio della ruota, si scopre che la velocità di rotazione della ruota è molto più bassa di quella del motore. Questo accade perché servono forze elevate a basse velocità per muovere il veicolo, mentre i motori, sia a combustione che elettrici, forniscono naturalmente energia con caratteristiche diverse.

La trasmissione effettua la conversione da basse coppie ad alte velocità verso alte coppie a basse velocità. Questa conversione, nelle trasmissioni ideali, avviene mantenendo costante la potenza. Il cambio di marcia in un'automobile è proprio l'operazione che modifica il rapporto tra forze e velocità attraverso la trasmissione. Anche nelle lavatrici domestiche, aprendo il contenitore posteriore, si trova una trasmissione a cinghia che collega il motore elettrico al cestello.

Quasi tutte le macchine, nel 99% dei casi, presentano questi tre componenti. Lo schema MTU rappresenta quindi l'architettura generale di una macchina con un grado di libertà, evidenziando i tre elementi fondamentali: motore, trasmissione e utilizzatore.

Per un sistema con un grado di libertà, la dinamica può essere studiata utilizzando diversi metodi. Si può applicare il teorema dell'energia cinetica, il teorema della quantità di moto (se il sistema è costituito da un solo corpo rigido), oppure il principio dei lavori virtuali. Tutti i metodi appresi sono applicabili a sistemi con un grado di libertà, mentre per sistemi con più gradi di libertà alcuni metodi non sono sufficienti a fornire tutte le equazioni necessarie.

Si sceglie di utilizzare il teorema dell'energia cinetica, che per un sistema con un grado di libertà fornisce: = ∑ − ∑

Poiché il sistema ha un solo grado di libertà, esiste una sola variabile cinematica che descrive completamente il moto. Questa variabile potrebbe essere, ad esempio, la velocità angolare di rotazione dell'albero motore, oppure l'angolo di rotazione, oppure la velocità di avanzamento del veicolo. Tutte queste variabili sono cinematicamente legate tra loro, quindi è sufficiente sceglierne una come variabile indipendente. = ∑

L'equazione differenziale che descrive la dinamica di questa variabile si ottiene scrivendo il bilancio di potenze. L'obiettivo è introdurre nei termini di potenza delle forze attive e reattive i contributi forniti da ciascuno dei tre elementi dello schema MTU.

6.2 - Analisi del motore

6.2.1 - Modello energetico del motore a combustione interna

Il modello del motore deve essere rappresentativo dell'effetto globale della presenza del motore nella macchina. Non interessa conoscere il funzionamento dettagliato interno del motore, con tutti i suoi componenti. L'obiettivo è studiare la dinamica globale della macchina per determinare, ad esempio, la velocità massima raggiungibile da un veicolo o la coppia necessaria per affrontare una salita con una certa pendenza.

Non serve sapere che un motore a combustione ha sei cilindri, che all'interno ci sono pistoni con determinate masse, o altri dettagli costruttivi. Serve invece un modello più globale che tenga conto di tutti questi effetti ma permetta considerazioni a livello macroscopico sul funzionamento della macchina.

Questo approccio si basa su un'equivalenza energetica. Il modello equivalente del motore ha lo stesso effetto del motore reale nelle equazioni che interessano, pur non rappresentando tutti i dettagli fisici interni.

Scegliendo come grado di libertà la velocità angolare del motore, un modello energeticamente equivalente del motore definisce una coppia ridotta all'albero motore, * che rappresenta l'effetto globale di tutte le forze agenti sui componenti interni del motore. In un motore a combustione, queste forze includono le forze dovute alla pressione dei gas nei cilindri, le forze peso dei componenti in movimento, e altre forze interne.

* Vale quindi che: * =

La coppia ridotta non è in generale costante, ma può dipendere dalla posizione angolare dell'albero motore: * * = ( )

Dove è l'angolo di rotazione dell'albero motore, dato dall'integrale di. Per i motori a combustione interna, la coppia non è costante durante una rotazione completa dell'albero. Questo deriva dalla natura ciclica del processo di combustione e dalla presenza di un numero finito di cilindri.

Analogamente, l'energia cinetica che si va a considerare è quella del motore e si considera sempre l’equivalenza del sistema e quindi un sistema che, messo in rotazione, ha la stessa energia cinetica e si definisce un momento di inerzia ridotto, che fornisce la stessa energia cinetica del sistema reale: 1 * = 2

Anche il momento di inerzia ridotto può dipendere dalla posizione angolare: * * = ( )

L'obiettivo è definire queste due funzioni, e, per motori tipici. Il modello della macchina diventa così un modello semplificato basato su un'equivalenza energetica: il sistema modellato genera la stessa potenza del motore reale e possiede la stessa inerzia.

Tutte le informazioni dettagliate sulle masse dei vari componenti, sulle forze dei gas in più cilindri con andamenti complessi, vengono condensate in due parametri fondamentali: la coppia ridotta e il momento di inerzia ridotto * *

Per determinare concretamente le espressioni di e per un motore a combustione interna, è necessario analizzare lo schema cinematico che rappresenta questo tipo di motore. Un motore a combustione è costituito da un manovellismo ordinario centrato.

Nei motori reali, la manovella dello schema cinematico non esiste come componente separato. La sua funzione è svolta dall'albero a gomiti, che è un albero rotante con tratti eccentrici sporgenti chiamati gomiti che descrivono una traiettoria circolare quando l'albero ruota attorno al suo asse centrale. Il punto O dello schema cinematico corrisponde all'asse centrale dell'albero a gomiti che resta fisso mentre la distanza tra questo asse centrale e il perno del gomito rappresenta la lunghezza della manovella. La biella è effettivamente il componente che collega il pistone al perno del gomito, il pistone è il corsoio del manovellismo e il cilindro rappresenta la terra dal punto di vista cinematico.

Perno del gomito
Asse dell’albero a gomiti

Lo schema cinematico del manovellismo ordinario centrato descrive completamente la cinematica del motore a combustione interno. Si considerano i seguenti punti caratteristici: il punto è la cerniera a terra, il punto è il piede di manovella dove si collega la biella, e il punto è il piede di biella dove si collega il pistone scorrevole.

Il sistema ha un grado di libertà. La variabile utilizzata per descrivere il movimento è l'angolo della manovella che coincide esattamente con l'angolo di rotazione dell'albero motore., La derivata temporale è la velocità angolare del motore, che è stata scelta come ȧ = variabile indipendente per il modello equivalente.

L'equazione di chiusura del meccanismo viene scritta in forma vettoriale e poi proiettata sugli assi. Indicando con la lunghezza della manovella, la lunghezza della biella, la distanza del pistone dall'origine e l'angolo formato dalla biella con l'orizzontale, le equazioni di chiusura proiettate sono:

a cos () + cos() = a sin () + sin() = 0

Derivando rispetto al tempo per ottenere le velocità:

ȧ ȧ = −ȧ sin () − sin ()
ȧ ȧ cos () + cos () = 0

Poiché il sistema ha un grado di libertà, è possibile esprimere qualsiasi velocità come funzione della variabile indipendente moltiplicata per la derivata della variabile indipendente. In particolare: ȧ()ȧ ȧ = = ()ȧ

Dove le funzioni e sono funzioni non lineari di che si ottengono risolvendo il sistema di equazioni. Dalla seconda equazione si ricava:

a cos ()ȧ = −ȧ cos()

Quindi: a cos () () = − cos()

Siccome il sistema ha un grado di libertà, si è in grado di calcolare la velocità di qualsiasi punto o la velocità angolare con una funzione in generale non lineare della variabile indipendente per la derivata della variabile indipendente. Quella non è altro che la derivata della funzione o ad. Questo vale per qualsiasi variabile cinematica, di rispetto.

Quindi le variabili cinematiche, che siano la velocità dei pistoni, la velocità angolare delle manovelle, la velocità angolare della biella, vale per qualsiasi variabile. La velocità del baricentro della biella si può scrivere nello stesso modo.

Per calcolare l'equivalenza energetica della potenza fornita dal motore, è necessario identificare le forze agenti sul sistema. Nel motore a combustione interno agiscono diverse tipologie di forze:

• La forza principale è quella dovuta alla pressione dei gas all'interno del cilindro. Durante il ciclo termodinamico, la miscela aria-combustibile viene compressa e poi bruciata, generando un'elevata pressione che spinge il pistone. Questa forza dipende dall'angolo perché la pressione varia durante il ciclo di funzionamento del motore.
• Agiscono le forze peso di tutti i componenti in movimento: pistone, biella e manovella. Tuttavia questi termini risultano molto piccoli rispetto alle forze dovute alla pressione dei gas. Per questa ragione, gli effetti delle forze peso vengono trascurati nel modello semplificato.
• Potrebbero essere presenti forze di attrito nelle cerniere e tra pistone e cilindro. Tuttavia, tutti questi accoppiamenti sono lubrificati. Il cilindro e il pistone operano in condizioni di lubrificazione tali da rendere l'attrito trascurabile. Analogamente, le cerniere utilizzano cuscinetti a rotolamento che riducono drasticamente l'attrito. Anche la coppia di resistenza alla rotazione dell'albero motore sui supporti è trascurabile grazie alla lubrificazione. Quindi anche gli effetti degli attriti vengono trascurati.

L'unica forza significativa che rimane è quella associata alla pressione dei gas nei cilindri. Questa forza è applicata al pistone e genera una potenza data dal prodotto della forza per la velocità del pistone.

Per un motore con cilindri, la potenza totale è: ⃗ = × ⃗ [1], ,⃗

Dove è la forza dovuta alla pressione dei gas nell'-esimo cilindro e è la velocità del pistone dell'-esimo manovellismo.

È necessario scrivere esplicitamente la sommatoria su tutti i cilindri perché i diversi manovellismi non si trovano nella stessa posizione angolare per un dato valore di. Se si immaginasse di scattare una fotografia istantanea del motore, si scoprirebbe che almeno due manovellismi si trovano in una posizione mentre altri due potrebbero trovarsi in posizioni opposte. In generale, le manovelle dei diversi cilindri non hanno la stessa posizione angolare nello stesso istante di tempo.

Lo sfasamento angolare tra i cilindri è una caratteristica progettuale fondamentale che risponde a due motivazioni principali:

1. La prima motivazione è di natura funzionale ed è legata alla necessità di uniformare la coppia motrice. Poiché la pressione dei gas dipende fortemente dall'angolo e presenta variazioni molto pronunciate durante il ciclo termodinamico, se tutti i cilindri fossero sincronizzati la coppia risultante all'albero motore sarebbe estremamente variabile. Si avrebbe un istante in cui la coppia raggiunge valori molto elevati, seguito da un crollo drastico fino a valori prossimi allo zero, per poi risalire nuovamente. Questa irregolarità sarebbe percepibile durante la guida, causando vibrazioni fastidiose che comprometterebbero il comfort e la guidabilità del veicolo. Sfasando opportunamente i manovellismi, quando un cilindro si trova nella fase di massima produzione di coppia (l'espansione), altri cilindri si trovano in fasi diverse (compressione, aspirazione, scarico), creando un effetto di compensazione. Il risultato è un inviluppo della coppia complessiva molto più uniforme, che rende il funzionamento del motore più regolare e fluido.
2. La seconda motivazione per lo sfasamento, legata all'equilibratura dinamica del motore, verrà discussa successivamente.

Per comprendere meglio la dipendenza della coppia ridotta dall'angolo è utile analizzare l'andamento della pressione dei gas durante il ciclo termodinamico. Si esamina il caso del motore a quattro tempi, così denominato perché il ciclo completo si articola in quattro fasi distinte che richiedono due giri completi dell'albero motore. Il grafico della pressione si ripete quindi ogni 4 radiani.

Convenzionalmente, si definiscono i punti morti come le posizioni in cui il pistone inverte il proprio moto: il punto morto inferiore (PMI) corrisponde alla posizione di massima discesa del pistone, mentre il punto morto superiore (PMS) corrisponde alla posizione di massima risalita. Partendo da al PMI, dopo mezzo giro ( radiani ) si raggiunge il PMS, si torna = 0 al PMI a nuovamente al PMS a e infine al PMI a completando il ciclo. 2, 3, 4,

Nella prima fase (scarico, 0 < <) il pistone si muove dal PMI verso il PMS. In questa fase la combustione del ciclo precedente si è già completata e i gas combusti devono essere espulsi dal cilindro. Il volume della camera di combustione è al suo massimo all'inizio della fase. La valvola di scarico viene aperta, mettendo in comunicazione il cilindro con l'atmosfera. Il movimento ascendente del pistone spinge i gas combusti all'esterno attraverso la valvola di scarico. Durante questa fase la pressione all'interno del cilindro si mantiene sostanzialmente pari a quella atmosferica. In prossimità del PMS, quando l'evacuazione dei gas combusti è quasi completata, la valvola di scarico si chiude.

Nella seconda fase (aspirazione, al raggiungimento del PMS si apre la valvola < < 2), di aspirazione. Nella realtà le aperture e chiusure delle valvole sono leggermente sfasate rispetto ai punti morti per ottimizzare il processo, ma questa è una raffinatezza che non altera la comprensione del funzionamento di base. Con il cilindro al volume minimo e la valvola di aspirazione aperta, il pistone inizia a muoversi dal PMS verso il PMI, aumentando progressivamente il volume della camera di combustione. Attraverso la valvola di aspirazione entra miscela fresca costitui