Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (parte 5) - Sistemi di corpi rigidi e manovellismo ordinario centrato

6 - Sistemi di corpi rigidi

6.1 - Introduzione

Un sistema di corpi rigidi è un insieme di corpi rigidi connessi tra loro attraverso vincoli. La distinzione fondamentale rispetto a un insieme disgiunto di corpi rigidi isolati sta proprio nella presenza di queste connessioni. I vincoli sono gli elementi che permettono la connessione tra corpi rigidi diversi e hanno la funzione di sopprimere gradi di libertà, impedendo quindi determinati movimenti relativi tra i corpi.

Dal punto di vista matematico, i vincoli vengono rappresentati attraverso equazioni algebriche. Queste equazioni possono stabilire, per esempio, che due punti abbiano le stesse coordinate oppure che la rotazione relativa tra due corpi sia impedita, imponendo che le loro rotazioni siano uguali. Tali equazioni algebriche vanno ad aggiungersi al sistema di equazioni che descrivono la cinematica del sistema, sopprimendo di fatto i gradi di libertà.

All'interno della famiglia dei sistemi di corpi rigidi si distinguono due sottofamiglie principali: le strutture e i meccanismi. La differenza fondamentale tra queste due categorie risiede nella possibilità o meno di movimenti rigidi:

• Le strutture sono sistemi di corpi rigidi vincolati in modo tale che non sia possibile alcun movimento rigido. Il sistema risulta quindi sostanzialmente isostatico: tutti i punti hanno velocità nulla e posizione costante. Le strutture possono essere classificate come isostatiche, quando il numero di gradi di libertà dei corpi è uguale al numero di gradi di vincolo, oppure iperstatiche, quando il numero di gradi di vincolo è superiore. In quest'ultimo caso il sistema rimane comunque immobile, ma presenta vincoli sovrabbondanti, aspetto che viene generalmente trattato nei corsi di meccanica dei solidi.
• I meccanismi sono invece sistemi di corpi rigidi in cui è possibile avere movimento rigido. Per questi sistemi il numero di gradi di libertà è almeno uguale al numero di gradi di vincolo, dove "almeno" significa che i gradi di libertà possono essere maggiori. L'analisi cinematica dei meccanismi si concentra sulla determinazione del numero di variabili necessarie per descrivere completamente il movimento rigido del sistema.

Per determinare quante variabili sono necessarie a descrivere il movimento di un meccanismo si utilizza un calcolo formale noto come regola di Grübler. Questo è lo stesso conteggio già eseguito in precedenza, per esempio nell'analisi del manipolatore con due aste incernierate. Nel piano, la regola di Grübler stabilisce che il numero di gradi di libertà di un meccanismo è dato da: = 3 − − 2.

Dove è il numero di corpi rigidi del sistema, è il numero di vincoli semplici, quelli che sopprimono un solo grado di libertà, come il carrello, e è il numero di vincoli doppi, come cerniere, pattini e manicotti.

È importante notare che il termine si riferisce ai vincoli doppi posti tra coppie di corpi.

Se una cerniera connette tre corpi simultaneamente, questa non va contata come un singolo vincolo doppio, ma equivale a due vincoli doppi.

Il calcolo si basa sulla differenza tra il numero totale di gradi di libertà del sistema non vincolato, che nel piano è, e il numero totale di gradi di vincolo imposti al sistema, rappresentato dal numero di equazioni algebriche che possono essere scritte.

Una volta determinato il numero di gradi di libertà, è necessario scegliere le variabili indipendenti che descrivono completamente la cinematica del sistema. Queste variabili devono essere effettivamente indipendenti tra loro, cioè non devono essere legate da ulteriori equazioni. Per il manipolatore analizzato in precedenza, per esempio, si possono scegliere le due rotazioni assolute delle aste oppure una rotazione assoluta e una relativa, ma non la rotazione della prima asta e lo spostamento del suo estremo, poiché queste due grandezze non sono indipendenti.

I meccanismi vengono anche classificati dal punto di vista topologico in due categorie: catene cinematiche aperte e catene cinematiche chiuse. I termini "meccanismo" e "catena cinematica" sono di fatto equivalenti e vengono utilizzati in modo intercambiabile. Questa classificazione topologica è fondamentale perché determina l'approccio analitico da utilizzare per lo studio del sistema.

Catene cinematiche aperte

Un esempio classico di catena cinematica aperta è il manipolatore analizzato nella lezione precedente, costituito da due aste incernierate agli estremi.

La caratteristica distintiva di una catena aperta è che esiste almeno un corpo rigido, chiamato membro della catena cinematica, che presenta un solo vincolo. Nel caso del manipolatore, considerando anche il telaio come membro della catena, cioè il corpo vincolato a terra attraverso un incastro, a cui appartiene il punto dove è presente la cerniera a terra, si può osservare che il telaio ha una cerniera e l'incastro, la prima asta ha due cerniere, mentre la seconda asta ha una sola cerniera. Quindi tutti i membri della catena hanno almeno due vincoli, eccetto l'ultima asta, e questo caratterizza il sistema come catena aperta.

È importante sottolineare che dal punto di vista cinematico è irrilevante se il vincolo si trova esattamente all'estremo del corpo rigido oppure in un punto intermedio. Ciò che conta è il numero di vincoli presenti su ciascun membro, non la loro posizione specifica lungo il corpo.

Catene cinematiche chiuse

Un esempio rappresentativo di catena cinematica chiusa è il quadrilatero articolato, costituito da tre aste incernierate tra loro, con due di queste aste che vengono a loro volta incernierate a terra attraverso il telaio.

Anche in questo caso, si considera il telaio come un membro della catena cinematica. Il sistema è quindi composto da quattro membri: le tre aste mobili e il telaio, da cui il nome "quadrilatero". Osservando la configurazione dei vincoli, si nota che tutti e quattro i membri sono vincolati con almeno due vincoli. La prima asta ha due cerniere, la seconda asta ne ha due, la terza asta ha altre due cerniere, e il telaio ha due cerniere più l'incastro a terra.

La differenza fondamentale tra catene aperte e chiuse è di natura topologica. In una catena chiusa è possibile scrivere quella che in elettrotecnica viene chiamata "equazione alla maglia", cioè un'equazione che descrive un percorso chiuso attraverso i vari membri della catena. Dal punto di vista geometrico, partendo da un punto e seguendo i vari corpi rigidi connessi tra loro, si ritorna al punto di partenza. Questo non è possibile in una catena aperta, dove non esiste un percorso chiuso attraverso i membri della catena.

Dal punto di vista analitico, questa differenza topologica si traduce in approcci diversi per l'analisi cinematica. Per le catene chiuse si scriverà quella che viene chiamata "equazione di chiusura del meccanismo", che esprime matematicamente il fatto che il percorso attraverso i vari membri forma un anello chiuso. Per le catene aperte, invece, non è possibile scrivere un'equazione di chiusura vera e propria, ma si scriveranno equazioni che descrivono direttamente la posizione dei punti di interesse nel sistema.

Tuttavia, gli strumenti matematici utilizzati sono essenzialmente gli stessi per entrambe le tipologie. L'equazione che viene chiamata "equazione di chiusura" per le catene chiuse avrà una forma molto simile alle equazioni di posizione scritte per le catene aperte, tanto che spesso il nome viene utilizzato impropriamente anche per i sistemi aperti. In definitiva, si tratta sempre di equazioni che descrivono la posizione dei punti all'interno del sistema in funzione delle variabili indipendenti scelte.

Entrambe le equazioni descrivono la posizione dei punti del sistema in funzione delle variabili indipendenti scelte.

6.2 - Il manovellismo ordinario centrato (catena cinematica chiusa)

Ci si concentra ora su un meccanismo particolare appartenente alla famiglia delle catene cinematiche chiuse: il manovellismo ordinario centrato, noto anche come meccanismo biella-manovella. Le catene aperte sono già state analizzate nella trattazione precedente attraverso lo studio del manipolatore, mentre i quadrilateri articolati e altri meccanismi simili verranno affrontati nelle esercitazioni.

Il manovellismo ordinario centrato è uno dei meccanismi più importanti e diffusi in ambito ingegneristico. La sua applicazione più nota è nel motore a combustione interna, dove svolge una funzione fondamentale. Dal punto di vista energetico, il motore deve trasformare l'energia chimica contenuta nella miscela di aria e combustibile in energia meccanica, che si manifesta come coppia disponibile sull'albero motore. Dal punto di vista cinematico, il compito del meccanismo è trasformare un moto rettilineo alternato in un moto rotatorio continuo, o viceversa.

Il meccanismo è costituito da diversi componenti principali. Il pistone è l'elemento che scorre all'interno del cilindro, dove avviene la combustione della miscela di aria e combustibile. Al pistone è collegata la biella, un'asta che trasmette il movimento. All'altra estremità della biella è connessa la manovella, che è vincolata a terra attraverso una cerniera e che, ruotando, trasmette il moto all'albero motore.

La funzione cinematica fondamentale del manovellismo è quindi quella di effettuare una trasformazione di movimento: convertire il moto rettilineo alternato del pistone in un moto rotatorio completo della manovella, o viceversa.

Il manovellismo ordinario centrato è costituito da tre membri principali, oltre al telaio. La manovella è l'asta collegata a terra attraverso una cerniera e rappresenta l'elemento che compie la rotazione completa. La biella è l'asta collegata da un lato alla manovella e dall'altro al pistone. Quando si rappresenta schematicamente il meccanismo, è importante ricordare che dal punto di vista cinematico ciò che conta è la posizione dei vincoli, non la forma geometrica effettiva dei componenti. Nella realtà costruttiva, la cerniera tra manovella e biella potrebbe non trovarsi esattamente all'estremo geometrico della manovella, ma dal punto di vista dell'analisi cinematica il meccanismo viene sempre rappresentato come se le cerniere fossero posizionate agli estremi delle aste equivalenti.

Il terzo componente è il corsoio, che corrisponde al pistone nel motore a combustione interna. Questo elemento è vincolato a terra attraverso un pattino, un vincolo che permette solo il movimento traslatorio lungo una direzione specifica, impedendo sia la rotazione del corpo sia gli spostamenti in direzione perpendicolare all'asse del pattino.

Dal punto di vista cinematico il meccanismo si schematizza nel modo seguente:

L'aggettivo "ordinario" nella denominazione "manovellismo ordinario centrato" si riferisce alla configurazione standard del meccanismo con la manovella collegata a terra. L'aggettivo "centrato" invece deriva da una caratteristica geometrica specifica: l'asse lungo cui si muove il corsoio passa attraverso il centro della cerniera a terra della manovella. In altre parole, la traiettoria rettilinea del pistone è allineata con il punto fisso di rotazione della manovella.

Esiste anche una variante chiamata manovellismo ordinario deviato, in cui questa condizione non è soddisfatta. Nel caso deviato, l'asse del cilindro, e quindi la traiettoria del corsoio, non passa per la cerniera a terra della manovella, ma è spostato o inclinato rispetto ad essa.

Dal punto di vista cinematico, la differenza tra le due configurazioni è sostanziale e richiede approcci leggermente diversi nell'analisi, come verrà illustrato più avanti. Il manovellismo deviato verrà trattato nelle esercitazioni, mentre attualmente ci si concentra sul caso centrato che presenta alcune semplificazioni analitiche significative.

Nella terminologia tecnica del manovellismo, alcuni punti caratteristici hanno denominazioni specifiche. Il punto in cui la biella si connette al corsoio viene chiamato testa di biella, mentre il punto in cui la biella si connette alla manovella viene chiamato piede di biella.

Prima di procedere con l'analisi cinematica vera e propria, è necessario determinare il numero di gradi di libertà del sistema utilizzando la regola di Grübler. Questa è sempre la prima operazione da compiere quando si affronta lo studio di un meccanismo, poiché stabilisce quante variabili indipendenti sono necessarie per descrivere completamente la sua configurazione.

Considerando la rappresentazione schematica del manovellismo centrato, si devono identificare tutti i corpi rigidi presenti. Questi sono: la manovella, la biella e il corsoio. Quindi il sistema è costituito da tre corpi rigidi. Se questi corpi fossero completamente liberi nel piano, avrebbero complessivamente 9 gradi di libertà, tre gradi di libertà per ciascun corpo: due traslazioni e una rotazione.

Tuttavia, i corpi sono connessi tra loro e a terra attraverso vincoli che riducono questo numero. I vincoli presenti sono: una cerniera tra la manovella e il telaio, a terra, una cerniera tra la manovella e la biella, una cerniera tra la biella e il corsoio, e infine un pattino che vincola il corsoio. Quindi ci sono tre cerniere, ciascuna delle quali elimina due gradi di libertà, per un totale di sei gradi di libertà soppressi. Il pattino, che impedisce la rotazione del corsoio e la sua traslazione in direzione perpendicolare all'asse del cilindro, elimina due ulteriori gradi di libertà.

Applicando la regola di Grübler si ottiene: 3 × 3 - 0 - 2 × 4 = 9 - 8 = 1. Il meccanismo ha quindi un solo grado di libertà. Questo significa che è sufficiente una sola variabile indipendente per descrivere completamente la cinematica del sistema. Una volta fissato il valore di questa variabile, tutte le altre grandezze cinematiche del meccanismo, posizioni, velocità, accelerazioni di tutti i punti, risultano univocamente determinate.

Una volta stabilito che il meccanismo ha un solo grado di libertà, occorre scegliere quale grandezza utilizzare come variabile indipendente. Questa scelta non è unica: si potrebbe scegliere qualsiasi spostamento o qualsiasi rotazione, purché sia una grandezza effettivamente indipendente. Tuttavia, alcune scelte sono più convenienti di altre dal punto di vista pratico e computazionale.

Un esercizio utile consiste nel disegnare il meccanismo in diverse posizioni successive. Questo aiuta a comprendere visivamente come si muovono i vari componenti. Si può osservare che la manovella, se non ci sono limitazioni fisiche, può compiere una rotazione completa continua. La biella, invece, non compie una rotazione completa ma oscilla tra due posizioni angolari estreme, una massima e una minima. Il corsoio compie un moto rettilineo alternato tra due punti estremi lungo l'asse del cilindro.

La scelta più conveniente per la variabile indipendente è l'angolo di rotazione della manovella, che verrà indicato con α, alfa. Questa scelta è motivata dal fatto che la manovella compie una rotazione completa e continua, e l'angolo α varia in modo monotono durante il movimento. Si potrebbero scegliere altre variabili, come lo spostamento del corsoio o l'angolo della biella, ma queste opzioni sarebbero meno pratiche. Per esempio, lo spostamento del corsoio è legato all'angolo α attraverso funzioni trigonometriche, e se si volesse esprimere α in funzione dello spostamento del corsoio si dovrebbero utilizzare funzioni inverse come arcoseni o arcocoseni, complicando inutilmente i calcoli, specialmente quando si passa al calcolo delle velocità e delle accelerazioni.

In generale, quando un meccanismo contiene aste che ruotano, è conveniente scegliere come variabili indipendenti le rotazioni di queste aste. Le relazioni cinematiche risultano poi espresse naturalmente attraverso funzioni trigonometriche dirette, seno e coseno, evitando le complicazioni associate alle loro funzioni inverse.

Prima di iniziare qualsiasi analisi cinematica di un sistema di corpi rigidi, è