Fondamenti di automatica - parziale 2

Risposta in frequenza e diagrammi di Nyquist

uct) 2.2103105/23(t)x, 4)AcOS(wiu(t) += frequenza:Teorema risposta in16cs)UCs)2 (risposiaforzatal= -yf(t) 6xw)Ytr(t) A6(xw)coS(wthaGCS) Iyw,yf(t)polinon 4Se s(m = ++= +6Cs) pazierealehaiut Ipon coaein 0yTr(T) =>t

Diagrammi di Nyquist Im[6(3w)]a we~I eco si l'assequando lungolecome muovemuove puntosi La↓o(S) kB· =3/2π/π/2x / KBKB O0i 0/2π I- IB iπ-ocs) farloce integrale1 S· = x16(3w) dB a0(3w)208 -- - >ido-I cogiowW0, 1 -20 Re[OC3wI]16(32) =--1 0di cui= =w Im[6(30)] 1I w = - wdiagramma:Disegno Im- Re/0 8==N31xw 0,1- =0tw =T/2-Fattore ordinedel primo6(S) 1 >8= St1 + x6(3w)x10(xw)/-zodeCdB0 c Il0,115O w③undec. T/2-NyqUISTRappresento SuEle fasemodueo dha 1che epunto -312πx Im modulole diminuisce sempte quindidiminuiscefaseea esempre0c nel grafica= muovesi comeIT ⑧>Re- I0H12- 6(3) 1cambio =segnose c0at = 1 St+x6(3w) 3w(t)116(3w) += =-1-3WII (2 21 =+#12 modueo lole rimane stesso,ribaliafaseea compl.nelsi plano-O Wo 1. fase diGCS)-312πx Im = 1 S[+-12T/2 &- I <00c =T ⑧>Re- I0H12-

Esempi esercizi

ESEMPIESERCIZI6(s) 11 SS = += + +10)(s 0,1)(s (1 fo)6,1)1+ 0+ +6(s) 1 S+= 5/10)8,1)(1(1 + +E SS=-1dirOT.S -0,1 1O, drat.1 ZeapT.= pT.poe di 1010S rot.DT.= - BodeDiagzamma di 6(3w)↑x16(3w)//dec -20BidecodB in↓ >WY③-0,1 ⑧ decdB0-20... -codicedi MyquistBlagzamma faseall'inizio percheacontaIm dagemidice alesi muovecomefinice 0,a va sempre ama, activa? eadiceLe 10come a22 fase: it2.TangenteRe a0o4 succede? moduloIlcheDopo0c = diminuisce sempreT/2 fazloMonc inrecessa preciso, ma c- fasiT1/4 leinteressano leintersezioni con-

Esempio 2

ESEMPIO 2. ciniegzatore)1)6(s) 100(3 ho polo s=0in1 5 un+= += 1/10)2 doppiopolo S=-10 10NOTin PT.S(1 =S(S+10)2 + 1 sTableS zezo piro=1= - 6C3w)awil16 (7-ZodBIdeczo----inTeg.Me, 1 10X~ XX0.. IX -I T/2-40dB/dec- i . . . . . .-e 1/5del di rotturaDeima pr. -20dB/decdiquindi scendee decrescente, fasemodulo 0e-112Traeamonotono STadiDlagzamma Nyquist Imaple0 moduloin è iOC3w) A oIm 3+=0a it>- rei-Pazie realepatteim do=e A D otmoduloleQuando vatoao va w =ma da-icarrivaa cieca 1/3w6(3w)S16(S) 1 1 3w+ += =5/10)2S(1 48)(1+ +3w)1(2w(00(zw) c+ ,b2 r= =+= -3wQuando ho fattore integrale il modulo va a infinito e la fase va a -pigreco/2

Fattore ordine

IATTORE ORDINEDELF6(s) 8-[0,1)1= s28 +1 + cunBodeDiagramma di16(3w)/ 8 6((w)0- =i sOdBIdec EsIsa -Att.↳-- 8 0=i12-------gode in -DIAGRAMMA 18NYQUIST = pecche modulodal 1pipazieIm fase (1,0)odB 16(3WN) 1= e(28xwy1 + +1- 31Re· =--24128 281= fase decrescente modulocongc cun· - = all' Oinf. modulolecostante avada ciecae Iactivaa -e8 passa dase poco un polImA I S 11-> molto CONTAsotto SISedall acconferenzano aals" ee 8 0=L3 cuswn>00?8 n(3w)6se = = e a)wn10 2.2209/05/2023uct),6YY), y(t) 5/10)6(S) (1 10=-10->pTdiraturaS+10 S10 + z eco:= = stabile52 0,15 1+ 52+ 1 0,15+ + poa:complessi coniugat 1cun =0,050,1828 ==anBodeDiagzammi 6(3w)16(3w)/ X---god204 0 atoroI⑧ I0,2x 10 .-20. -- 20dB - - e- =-40dB/decdoppio quindl-20x2polo moduedxIl generale se ho una coppia di poli complessi coniugati: le s1 21281 Sse jwn = =-= wn28+52 1285 -21 ++ + unWM 10=-28 modueole va ainfinito quindeImdi Nyquist gagzammaDlagzamma vaI redece quellopez all'InzICsuccedeche fase:o guardoRe la decrescejo quadrante Tendeo e->face salto" da- Toznauna dallavezso-ilz azzivae apazieTra-e-512faroze integraledoppio101)6(s) 5/1010(S 5/10) 1(1 += +=>+ = 1:ZecOS PT= -5/10) S2(1+5/10)10)52(S 5220(1 ++ 1di rottura inpolo: S=-10 pro.6(xw)BodeDlagzammi di x 10Auto40dB- 10o8 7X-. es 412- einImxAse - fasedapazreot cieca eac = -C= >ReT- Aurow = 7 1 I12 piùmodueox le menoo faselo earesta stesso,ea6(s) 5/10)considerassi (1Se 10 += invece va salto i-52 S)(1 faceperche+ perdefine NyquIstargomento

Parametri caratteristici della risposta in frequenza

CARATTERISTICI RISPOSTAPARAMETRI FREQUENZADELLA INX9u(t) (OCS),y(t)Risposta frequenzain0CJW), WSO 0(3w)A6(3w).cos(wt)(yReg(t)uct) AcOScut += =-16(3w)Mr ---locair >c0 cubcr 6C3w)PICCODIRISONANZA: Mr· max= -02 6(3w)RISONANZA: MrPULSAZIONEDI cheTalecur· =6C0):modreo continuain· e delladefinitaBanda pulsazione3dB: valore T.Ccub lea primocome· 6(0)6(xw 0(0)dB 3(6(xw)paB == -= =2FATTORE ORDINEIDEL 6(0)16(s) f16C3w)-0 == =St 21 w21 =+ +1x16(3w)6(a) Picco di risonanza: 11.n Pulsazione in continua è costante 0iw11528 =- Banda: wb =swNORDINEFATTORE DEL16(S) 8e(0,1), 6C0) 1WRSO= =nzEn281 + 16(3()/no1x16(3w)·1152. -- esw 8 >0-Sse >I Picco di risonanza: >1Picco di risonanza: 1 (r)0Pulsazione in continua è costante0Pulsazione in continua è costante wr = Banda:Banda:16(3w) (6(xw)I 1== c2 328w1 +- Eiz)(1 482w2WR2 w - + wn45x2(1 w2cx)min x0 =pec x+- wn X=cund28248482 1x) 2 x2x2(1 0 = = -= -+- - 282)2 4821(1 282)x +- -+ 52)482(1684 482689 682 884 -=+-+ =-2821cur wn= - 82)41,eiemaxIl 1di Mrrisonanzapicco 28 1Mr --2 ↳ ↓8 12=-- I 1=S 22nirz E1 -o 282w 282wnwr 11 =- -= wasesto Sar/wn 1cr = 8Wa18 I=ir,8 banda 3dBdeterminatePer l'equazione:consideraea cub, sia6(3w) ↑+12= t-2)2(1 ar982 2- + wax)2 482x= (1 2X - + = 2821x482x 28)22 (1 12x1 =2 -x + +-=- + +282)2 2(1 X 1 0x =- - - ab/cun↑cub 282 484482 1,61 2I - - ++W e1, in0,65)CrazaTra 1,55 e 0,78 s0,65 ...,- - I8

Stabilità e ripasso

STABILITA" 09105/2025RIPASSO 2.23IR&x9 Y IREUEIR ↳ >Equazioni di statoxcz)E Bu(t)Ax(t) += Il sistema è AS se e solo se la matrice Aha tutti gli auto valori a parte reale minorey(z) Duct)(x(t)= + di zeroX(0) xo=Rappresentazione ingresso- USCITA ct)+br-1D"bnDuct)1D"-y(t)DYy(t) a0y(t) bouct)+...an ... ++ =+ +- Il sistema è asintoticamente stabilePOLINOMIO CARATTERISTICO se e solo se il polinomio caratteristico1S-1...+ di P(s) ha tutte le radici a parte realePCS) an-S doa15+= + minore di zeroFXoCIR"11 xeCt)l1Vt eim0uct) 00Se == =t +x- FxoIR"11 YeCt)11ein 0=t +x-l'ingresso,Quando fatto abbiamoabbiamo elmita ampiezzainingressixu(t)Me 1 Vt!1 Muu(t) = Ou st-MuQuando si guarda la BIBO stabilità si guarda il sistema ingresso uscitay(t)u(t),6(S) ↓le nullelcondizioni sonoinizia7f(s)Y 6(s)u(s)= CCSF-A)-1B+D Crappresentazione)dove GCS) = di STATOeq.Inbrs+br-1s-1+...OCS) b1s+boo = +++ SP - 90S an G1S +1-Un sistema è BIBO STABILE se ad ogni ingresso limitato in ampiezza corrisponde un’uscita (forzata) limitata inampiezza IpoconResGCS)STABILE: OhaTuilBIBOSTEMA5) soloSe seequazdaze? cancellanoQuali Quellidevo chepoa glinon zezsi con↓Esempio (modi (1y(t) u(t) nascosti1S6(S) =- == 1S -Se il sistema è AS è per forza anche BIBO stabileMa un sistema può non essere asintoticamente stabile ma può essere BIBO stabileSe ho un polo doppio il sistema non è BIBO

Sistemi connessi in serie

SERIE5) STEMI CONNESSI IN YX1Mz Y2, yr,e 1 ...>65) 6CS) 6(S)u -- >2 MGiCs) nonhamodinascosi coincidentiAp: (poliozea1,2, con....= Gipeopee:of dentgeado geadolepaziereales numeratoreb1(s)61(s) = X Y2,1e e1 >6CS] 6,5)an(S) u --1bz(s)62(s) = Y(s) 62(s)61(s)ucs)=az(s)G1(s)62(s) b1(s)bzcs)6(s) = = an(s)a2(S)Il sistema connesso in serie è stabile (AS e BIBO) se tutti i singoli sistemi Gi(s) sono stabiliSono stabili se e solo se la interconnessione in serie mantiene le proprietà di stabilitàEsempli siabile1S61(S) - Er= ocs)1 =S + = 1+162(5) instabile= S-1 ↓x1,2,02(s) YY(s) 62(s)Y1(s) 6x(s)D(s)u = +>61(s) -Y(s) Y1(s) 62(s)D(s)G2(s)Nell'esempio: (S)u(s)1 5+= + = S+ 1 -1u(s)) 3(52)5 14(x)G -ay(z) - += + -non↓ indipindIP. limitatoCIMITATO5)

Sistemi connessi in parallelo

STEMI PARALLELOCONNESSI INX 1e 1 6(S) >-> 1e,65Y2e Y,+↳ Y,e,6(s). epeopelaGiCs) modiiAp: ha ednascosti1,2, n non= . ..Pazallelo 2con n = 65e 1->b1(s)61(s) = ↓ tan(S) e Y↳ itbz(s) -62(s) e,65)= az(s) Y(s) Yz(s)Y1(s) 01(s)u1(s) 62(s)vz(s)+=+=Y 62(s))u(s)(01(s)(s) = +Esempio 2n = bz(s)b1(s)61(s) b1(s)az(s)bz(s)ancs)6(s) 62(s) 6(s)+= + = == ancs) az(S) an(s)a2(S)Il sistema connesso in parallelo è stabile (AS e BIBO) se tutti i singoli sistemi Gi(s) sono stabiliSono stabili se e solo se la interconnessione in parallelo mantiene le proprietà di stabilitàESemp10:5 30115 = 01(s) 62(s)6(s) 5- + ==1 1+ - 1562(s) = 1- (NEGARVALRETROAZIONEINTERCONNESSIONEINYM2,0225) Y2,.... ons)t e,on(5) un, Ye -I >--yO t1,40(s) ,P(s),Y-AL’interconnessione in retroazione permette di stabilizzare i sistemi che non sono stabili

Interconnessione in retroazione negativa

RETROAZIONE(NEGARVALINTERCONNESSIONEIN+2 Unu3 1d↓↓ yru,t zon(S) z2 InY YY YEn- 1e (S) Ors)02 ->-+- -...-- =0se unu, uz, dizeTO~amot Ye (Ons) (022s) Onss-II ,- . . . .retro azioneinramo epeopeiamodiAp:Gics) hai ed1,2, nascostin non= ... Xt Ze -> 6(S) 77-acsi=bics).. (s)bzse brCs)62(s) ...onCS)= =an(S) az(s) an(S)b(s)6(s) = a(S) Yes)Yf(s) 6(s)(u(s) o(su(s)6cs(z(s) -6(s) ye(s)== =-↳ dove2 Xu -=f(S) UCS)yf(s) Prima quindi calcolo la serie ed ottengo G(s) e poi applico la formula= 6(S)1 +b(s) b(s)E acs) a(s)- b(s)+b(s)1 + acS)ex/ âQuindi oocs >Y+csIl numeratore di T(s) è dato dal prodotto dei numeratori delle funzioni di trasferimento del ramo diretto6ics)f.d.tdellabics)Il denominatore della T(s) è dato dalla somma del denominatore di G(s) (ovvero dal prodotto dei denominatori ai(s)di Gi(s) e dal numeratore di G(s) (ovvero dal prodotto dei numeratori bi(s) di Gi(s)A"STABILITIl sistema interconnesso in retroazione è internamente stabile se e solo se il polinomio a(s)+b(s) (ovvero ildenominatore di T(s)) ha tutte le radici a parte reale minore di 0Esempi:er1. >62(s)(01(5) 1 >Y= 215 1= -stabile61Cs) 1E = instabile262CS) = S 1-GiCs)G2(S) 26(s) = = 15 - 5 26(s)TCS) b(s) I= == 11 2 5bcs)acs) +6(s) +1 + +einTeen.acs)+bCs) 1st= stabileer >62(s)(01(s) 22. >Y-= 215 1= +2Gi(s)62(s)6(s) -== 15 +6(S)TCS) 2b(s) eint.2 STab.=-= =-= 1b(s) 25acs) 156(s) +1 -+ -+ u3+fez dieste+7,61s 44,536125742,Yu -e,e = y2=> Iuz > -13, > C

Principio di sovrapposizione degli effetti

Principio di sovrapposizione degli effettiy(s) Gy3(s)u(S)Gyz(svz(S)Gye(s)Uns) += +6z2,1(s)Un(s)z2(s) 6z2,2(s)U2(s) +0z2,3(S)UCS)= +Y1(s) 6x2,1(s)U15) Gy1,2(s)v2(S) Gy1,3(s)u(S)= + +6z1,1(5)Un(s)zn(s) 6z1,2(s)U2(s) 071,3(s)UCS)+= + +GE3CS(UCS(ECS) +6Ez(S(UCS)GE1(S)u1(S)= -OCS)Iu1u 61(s)62CS)= (6,25)(62(5)(y0y1cs) =7- 0n(s)62(s)1 + e6(S)U2↓ y(s)① I G1(s)62(s)(uz(s)I >61(S) (yy(s)>02(57 -3 > =- ↑ 61(s)62(s))y(s)=(1vz Y- =+62[5)61(s)Uz(s)=u3↓i* 62cs)(02(5)(y6y3CS)sx6s) =---- 61(s)62(s)1I +y(s))62(s)(u3(s)X(s)y(s) 62(s) 61(s)= -=(s) G1(s)vz(s) YSy 02(s)u3(s)= -=02[S)u3(S)Dunque:[1,6125),62(s),G1(s)G2(s)}61(5)62cs)1 +Il sistema interconnesso è stabile internamente se e solo se il polinomio a(s)+b(s) ha tutte le radici a parte realeminore di 06(s)TCS) b(s)= = b(s)acs)6(s) +1 + [1,6125),62(s),G1(s)G2(s)}Questo ci dice che tutte e 4 le funzioni di trasferimento 61(5)62cs)1 +hanno tutti i poli a parte reale minore di 0 2.2410105/23

Schema retroazione

SCHENARETROAZIONE mira⑰ inons_zit -- ampiezzaZe+⑧ t GnCs* YUSCITA--7 11mIT4T4- f.d.tfat controlloreImplanio-I distinte:f.d.tDelle quelle15 a sonoIn> 15↓1 I 61(S)> -Ez 61(s)62(s)1d2 + 61(s)62(s)7 1 +>Z2 62(s) 61(s)62(s)61(s)62(s)1 61(s)62(s)1+ +STABILITAINTERNAPer ogni condizione iniziale agli ingressi limitati (in ampiezza) r,d1,d2 corrispondono uscite limitate (in ampiezza)y,w1,z1,w2,z2RISUIT