Controllo digitale 27/09/2023
μ(k) = b0 e(k) + b1 e(k-1) + ... + a1 μ(k-1) + ... + an μ(k-n)
Z-trasformata
X(k) = x(0), x(1), x(2), ... = x0, x1, x2, ...
x(k) = xk ∈ ℝ
X(z) = x(0) ⋅ z0 + x(1)z-1 + x(2)z-2 + ... = ∑k=0∞ x(k)z-k
k ∈ ℕ+
k ≥ 0
Controllo digitale 27/09/2023
μ(k) = b0 e(k) + b1 e(k-1) + ... + a1 μ(k-1) + ... + an μ(k-n)
Z-trasformata
X(k) = X(0), X(1), X(2), ... = x0, x1, x2, ...
X(k) = xk ∈ ℝ
X(z) = x(0) · z0 + x(1) z-1 + x(2) z-2 + ... = ∑ x(k)z-k
k ∈ ℕ+
k > 0
Tx(t) -> t = kT
x(k) ≡ x(kT)
x(kT) = x(0), x(1), x(2) ...
x(0), x(T), x(2T), ...
X(z) = k=0∞ x(kT)・z-k ≡ k=0∞ x(tk)・z-tk
X(z) = z{ x(kT) } ≡ z { x(kT) }z
X(s) = PT[ x(t) ]
X(z) = z { X(s) }t -> tT ≡ z { z[ X(s) ] } ≡ zz
z{ x(t) } = z { x(kT) } ≡ z { x(t) } ≡ z { X(s) }
Impulso di Kronecker
δ(k) = { 1 k=0 0 altrove
Ζ{δ(k)}z = 1
Ζ{δ(k)}z = ∑k=0∞ δ(k) z-k = 1
Gradino unitario discreto
u(k) = {1 k≥0 0 k<0
Ζ{u(k)} = ∑k=0∞ u(k) z-k = ∑k=0∞ z-k
= ∑k=0∞ z-k = 1/(1-z-1)
= &frac;{z}{z-1} (R=1)
x(k) = 1, 1, 1, 1, 1, 1, …
Ζ{u(k)} = &frac;{z}{z-1}
z(t) = { t t≥0 0 t<0
t=kT
z(t) ⇒ z(kT) = 0, T, 2T, 3T, ..., kT, ...
Γ{z(t)} = Γ{z(kT)} = ∑k=0 kT z-k = T ∑k=0 k z-k
= T: ∑k=1 z-k + ∑k=2 z-k + ∑k=3 z-k + ... = T [ ∑k=1 z-k ]
∑k=1 ⢰-k = z-1 ∑i=0 z-i
λ = k-1
Z{c(k)} = T[z-1 . z/z-1 + z-2 . z/z-1 + z-3 . z/z-1 + …]
= T . z/z-1 {z-1 + z-2 + z-3 + …}
= T . z/z-1 . ∞Σk=1 z-k = T z/z-1 . z/z-1
Z{c(k)} = T z/(z-1)2
c(k) = k
Z{c(k)} = Z{k} . z/(z-1)2
Funzione potenza
x(k) = ak k ≥ 0
0 k < 0
Z\{ak\} = ∑k=0∞ akz-k = ∑k=0∞(z/a)k = = ∑k=0∞ ξk = ξ/ξ-1 = z/a/z/a-1 = z/z-a
F. esponenziale
x(t) = eαt t ≥ 0
0 t < 0
x(q) = x(kT) = x(t)|t=kT
Z\{eαkTy\} = z/z-eαT
Proprietà di linearità
x1(k) → X1(z) = {x1(k)}
x2(k) → X2(z) = {x2(k)}
X(z) = {c1x1(k) + c2x2(k)}
= Σk=0∞[c1x1(k) + c2x2(k)]z-k
== c1Σk=0∞x1(k)z-k + c2Σk=0∞x2(k)z-k
== c1X1(z) +
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