Fondamenti di analisi 2

Sviluppo al secondo ordine

R R,n 2✓ ! 2 2Sia f : A A aperto, f C (A) e x A. Vale lo sviluppo al secondo ordine:

1 > 2rf ·f (x + h) = f (x ) + (x ) h + h Hf (x )h + o(|h| )0 0 0 02rf

Se x è un punto critico, (x ) = 0, abbiamo:0 0

1 > 2f (x + h) f (x ) = h Hf (x )h + o(|h| )0 0 02> 6

Quindi se h Hf (x )h = 0 allora:0

nX 21 f@segno f (x + h) f (x ) = segno (x )h hi j0 0 02 @x @xi ji,j=1

Forme quadratiche R n⇥n

Definizione

2Sia H una matrice simmetrica, chiamiamo forma quadratica associata ad H il polinomio

nX>q(x) = x Hx = H x xi,j i ji,j=1

R n2dove x .

Definizione

R n⇥nDefinizione: 2data H matrice simmetrica diremo che

• 8x 6H è definita positiva (H 0) se q(x) 0 = 0> >
• 8x 6H è definita negativa (H 0) se q(x) 0 = 0< <
• 8xH è semidefinita positiva (H 0) se q(x) 06ed esiste x̄ = 0 tale che q(x̄) = 0.
•   8xH è semidefinita negativa (H 0) se q(x) 06ed esiste x̄ = 0 tale che q(x̄) = 0.
• H è indefinita se esistono x e x tali che q(x ) 0 e>1 2 1q(x ) 0<2 > 6

If x è un punto critico, e se h Hf (x )h = 0 allora:0 0

nX 21 f@segno f (x + h) f (x ) = segno (x )h hi j0 0 02 @x @xi ji,j=1

Teorema

R R,n 2Teorema ✓ ! 2 2Sia f : A A aperto, f C (A). Sia x A0 punto critico. Allora

• Se Hf (x ) è definita positiva allora x è punto di minimo0 0relativo.
• Se Hf (x ) è definita negativa allora x è punto di massimo0 0relativo.
• Se Hf (x ) è indefinita allora x non è né di minimo né di0 0massimo e si dice punto di sella.
• Se Hf (x ) è semidefinita positiva allora x è punto di minimo0 0relativo o punto di sella.
• Se Hf (x ) è semidefinita negativa allora x è punto di0 0massimo relativo o punto di sella.

Nota Il teorema quando Hf (x ) è solo semidefinita, non ci0permette di concludere se x è punto di estremo oppure no. In0questi casi si deve studiare direttamente il segno dif (x + h) f (x ).0 0

Criteri per vedere quando una matrice simmetrica è (semi)definita positiva/negativa o indefinita

Criterio degli autovalori

Data una matrice simmetrica H le proprietà di definitezza dipendono dai suoi autovalori. >1Poiché H è simmetrica, esiste una matrice W , con W = Wtale che 0 1···0 01B C· · ·0