Fluidodinamica dei moti convettivi - Domande per esame orale

Fluidodinamica dei moti convettivi

1. Teorema del trasporto di Raynolds

Considero mezzo continuo.

Ipotesi di localizzazione.

Equilibrio termodinamico.

Sistema chiuso con m fissata - passo definire V, E, S.

Considero la generica proprietà Ψ e proprietà specifica ψ con Ψ = ∫_R ψ dm = ∫_R ρψ dV.

Allora: Ψ(t) = ∫_Rt ρ(x,y,z,t) ψ(x,y,z,t) dV e Ψ(t+Δt) = ∫_Rt+Δt ρ(x,y,z,t+Δt) ψ(x,y,z,t+Δt) dV.

So che generalmente d/dt Ψ = lim_Δt→0 Ψ(t+Δt) - Ψ(t) / Δt.

Rt = RA ∪ RB, R_t+Δt = RB ∪ RC = Rt - RA + RC.

Allora Ψ(t+Δt) - Ψ(t) = ∫_RC ρ_t+Δtψ_t+ΔtdV - ∫_RA ρ_t+Δtψ_t+ΔtdV- ∫_Rt ρ_tψ_tdV.

Da cui dΨ/dt = ∫_Rt ρ_t ∂ψ/∂t dV + ∫_Rt ρψ u⋅m̂ dV.

Allora: lim_Δt→0 -1/Δt ∫_RA ρ_t+Δtψ_t+Δt dV quindi: = ∫_RC ρ_t+Δtψ_t+Δt dV.

Ricordo R_C = RA ∪ RB.

Da cui: dΨ/dt = ∂(ρψ) / ∂t dV + ∫_p ρψ û⋅m̂ dV = ∫_∂/∂t (∇ (ρψ u) dV.

Fluidodinamica dei moti convettivi

1. Teorema del trasporto di Raynolds

Considero mezzo continuo.

Ipotesi di localizzazione.

Equilibrio termodinamico.

Sistema chiuso con m fissata.

Allora: Ψ(t) = ∫_Rt ρ(x,y,z,t) ψ(x,y,z,t) dV e Ψ(t+Δt) = ∫_Rt+Δt ρ(x,y,z,t)_t+Δt ψ(x,y,z,t)_t+Δt dV.

So che generalmente Ψ(t+Δt) - Ψ(t) = ∫_Rc ρ_t+Δt ψ_t+Δt.

Da cui dΨ/dt = ∫_Rt ∂_ρψ/∂t dV + ∮_∂R ρψ ũṙm dS = ∫_Rt ∂/∂t (ρψ) dV = ∫_Rt ∂ψ/∂t dV.

2. Bilancio locale della massa

Ψ = ρm, m = m_t + m_f allora ^dΨ⁄_dt = 0.

^dρ⁄_dt + ∇(ρū) = 0.

Per moto incomprimibile vale ρ = const allora ∇ū = 0.

In generale ^dρ⁄_dt + ∇(ρū)dv = ∫_R ^∂ρ⁄_∂t + ρ(ū ∙ ∇ ψ̅ + ψ̅ ∇∙ū) dv.

^d⁄_dt ∫_R ρΨ dv = ∫_R ρ ^∂Φ⁄_∂t dt.

3. Bilancio della qt. di moto

Ψ = ρq̅ = m∙ū Vettoriale! Scrivo il bilancio per la i-esima componente.

ū_i = ^qi⁄_m = ^ṁi⁄_m = υ_i.

So F = m∙ū = m ^{d q̅}⁄_dt allora ^dv1⁄_dt = f̅.

Teo di Reynolds ∫_R ^∂ ⁄_∂t dV = F_i.

Distanza (gravità) F_c^(b) = ∫_p ρ g_idV.

Contatto (pressione & viscosità) F_i^(s) = ∫ tσ_ij = -pδ_ij + τ_ij Tensore degli sforzi viscosi.

∇²ū + ¹⁄₃ ∇ ∇∙ū.

Bilancio di energia

Ψ = ΕΨ = ε + _{u̅i̅ u̅i̅} / 2.

dE / dt = Q̇ + Ẇ.

Teo del trasporto ∫_R ρ (dΕ / dt + u̅i̅ Du̅i̅ / Dt) dV = Q̇ + Ẇ.

Q̇ = ∫_R q̅g̅ dV - ∫_∂ q̅m̅ dΓ̅.

Gauss-Green = ∫_R ∇q̅g̅ dV ∫_R (q̅g̅ - ∇q̅g̅) dV.

Ẇ = ∫_R ρg̅ u̅i̅ dV + ∫_∂ t̅ij̅ m̅ dΓ̅ = ∫_R ρg̅i̅ u̅i̅ dV + ∫_R ∇(σ̅ij u̅i̅) dV.

= ∫_R ρg̅i̅ u̅i̅ dV + = ∫_R ρg̅i̅ u̅i̅ dV + ∫_R u̅i̅ ∂σij̅ / ∂xj dV + ∫ ∂ui̅ σij̅ / ∂xj dV.

σij̅ Dij̅ = Di̅j̅ p + Δια̅ij̅ = - p∇ · u̅ + Di̅:

Da cui ∫_R ρ (dΕ / Dt + µ̇ Db̅i̅ / Dt) dV = ∫_Rt q̅q - ∇² · q̅ + ρ dΕ / Dt = - ∇ · q̅ + q̅q - ρ∇ · u̅ + Di̅: Lavoro di compressione (se moto inc. = 0).

5) Approssimazione di Oberbeck - Boussinesq

^dv_i/dt + ∂(vgv_i)/∂x_j = 0.

ρ₀(dv_i/dt + u_j ∂v_i/∂x_j) = -∂p/∂x_i + ρg_i + ∂τ