Fluidodinamica applicata - prima parte

introduzione

campi scalari: a(x,y,z,t). Esempi di campi scalari sono la densita rho(x,y,z,t) e la temperatura T(x,y,z,t).

Un vettore e un oggetto con 3 componenti

Notazione vettoriale V(x,y,z,t)

Notazione matriciale V = [V1(x,y,z,t) V2(x,y,z,t) V3(x,y,z,t)]

Notazione indiciale i Vi i=1,2,3

Tensore del secondo ordine: S(x,y,z,t)

esempio: gradiente di velocita

Tensore del terzo ordine: T(x,y,z,t)

2x2x2

primo ordine

Operazioni:

Prodotto scalare:

V . U = a = U1V1 + U2V2 + U3V3 = sub i=1 sup 3 UiVi

caso particolare di una contrazione tensoriale (combiniamo un oggetto del I ordine in una contrazione con uno di II ordine - risulta 0)

Convenzione di Einstein C.E. => a = sub i=1 sup 2 UiVi = sub j=1 sup 2 UjVj

indice ripetuto o muto - la sommatoria diventa sottintesa

Con C.E. posso scrivere a = UiVi = UjVj

Esempio: S . V = W

Wi = sub i=1 sup 2 SijVj c.e. SijVj

Wi = SijVj = SikVk

indice libero

S . V = W = [S11V1 + S12V2 + S13V3 S21V1 + S22V2 + S23V3 S31V1 + S32V2 + S33V3]

con un prodotto scalare contraiamo l'ultimo indice a disposizione per definizione

TT . V = S

Sij = TijkVk

T . S = H

V . a = r -> operazione che non esiste

Doppia contrazione

D : S = a -> e uno scalare

a = DijSij = D11S11 + D12S12 + ... + D33S33

Osservazione: D : D = DijDij = D11² + D22² + ... + D33² = ||D||²

analogo della norma del vettore

Dii = D11 + D22 + D33 = Tr(D) -> traccia = somma degli elementi sulla diagonale

Prodotto tensoriale (x -> simbolo)

U V = S

Sij = UiVj

Esempi:

aV = W

S U = T

Wi = aVi

Tijk = SijU k

Definizioni:

S e simmetrico S = S^T Sij = Sji -> ha 6 componenti indipendenti

A e antisimmetrico A = -A^T Aij = -Aji -> ha 3 componenti indipendenti

D = (D + D^T)/2 + (D - D^T)/2

Identita I = [1 0 0 / 0 1 0 / 0 0 1], deltaij = { 1 i=j, 0 i!=j }

I . v = v

deltaij Vj = Vi

identita contratta con v da il vettore v stesso

Nabla

V = [d/dx1, d/dx2, d/dx3], d/dxi

Combinando nabla con il prodotto tensoriale:

V a = w, Wi = da/dxi

V V = S, Sij = dVi/dxj

V S = T, Tijk = dSij/dxk

nabla agisce per definizione sull'ultimo indice

Combinando nabla con la contrazione:

V . V = a = dVi/dxi = dVj/dxj = dV1/dx1 + dV2/dx2 + dV3/dx3

divergenza di un campo vettoriale

V . S = v, Vi = dSij/dxj

V . T = S

V . a != non si puo fare

Esempi:

V (aV) = aVV + VVa

d/dxj (aVi) = a dVi/dxj + Vi da/dxj

derivata del prodotto

indice diverso perche non e V.(aV)

v . (a v) = a v . v + v . v a

∂/∂x_j (a v_i) = a ∂v_i/∂x_j + v_i ∂a/∂x_j

devo ripetere l'indice di prima

v . (p I) = ∇p - gradiente della pressione

∂/∂x_j (p δ_ij) = ∂/∂x_i p

v . (v ∇ v) = ∇² v - gradiente di velocita

∂/∂x_j (∂v_i/∂x_j) = ∂²/∂x_j∂x_j v_i = ∂²v_i/∂x₁² + ∂²v_i/∂x₂² + ∂²v_i/∂x₃²

v . (∇ v^T) = ∇(v . v)

∂/∂x_j (∂v_j/∂x_i) = ∂/∂x_i (∂v_j/∂x_j)

Teoremi fondamentali

Consideriamo un volume in uno spazio:

Teorema della divergenza:

_∯∂V v · n^{^} dS = _∯V ∇ · v dV

_∯∂V [···] n^{^} dS = _∯V ∇ · [···] dV

Teorema del trasporto di Reynolds

le particelle di S si muovono

Vs(t+dt) - volume del sistema all'istante t+dt

Vs(t) = Vc - volume di controllo

volume del sistema all'istante t

Quantita intensive ed estensive

b = B/m - massa

B

massa → m

quantita di moto → q = mV

e

b

1

V

e

Bs(t) = _∯ms b dm = _∯Vs(t) b ρ dV

lo trasformo in un integrale di volume

termine del flusso

teorema del trasporto di Reynolds

d/dt Bs = d/dt _∯Vs(t) ρb dV = d/dt _∯Vc ρb dV + _∯∂Vc ρb V→ · n^{^} dS = d/dt Bc + Φ_∂Vc(b)

d/dt Bc = d/dt Bs - Φ