Fluidodinamica applicata - seconda parte

Turbolenza

Reynolds ha studiato il flusso in un tubo nel 1883. La rugosita interagisce con la turbolenza. Il flusso in un tubo scabro e rappresentato nel diagramma di Moody.

Con i corpi tozzi il minimo corrisponde alla crisi della resistenza.

Vari casi:

• Effetti viscosi nulli: Re = ∞ ⇒ Cd = 0
• Effetti viscosi dominanti: Re << 1 ⇒ Cd ∝ Re^-1
• Effetti viscosi poco dominanti: Re >> 1 ⇒ Cd ∝ Re^-1/2

Anomalia dissipativa viene osservata sperimentalmente.

Proprieta macroscopiche del flusso turbolento: il flusso non e simmetrico, si formano strutture vorticosse e non stazionarie (anche se queste erano le caratteristiche del flusso all'inizio). Si possono formare strutture multiscala - si ha una convivenza di strutture vorticosse che hanno 6-8 ordini di grandezza diversi.

Nonostante si ripeta uno stesso esperimento nello stesso modo si possono ottenere soluzioni numeriche diverse a causa dell'estrema dipendenza dalle condizioni al contorno → a causa di piccolissime perturbazioni si hanno delle differenze → caos deterministico. Per avere un confronto e meglio utilizzare delle medie. I campi medi turbolenti sembrano dei campi laminari morfologicamente.

Le variazioni spaziali/temporali sono maggiori all'aumentare di Re.

Consideriamo un flusso uniforme con velocita U_∞ che travolge un cilindro di lunghezza L:

U_∞

Re = U_∞L / ν >> 1

MEDIA ALLA REYNOLDS

U(x,t) = <u(x,t)> = def 1/N ∑_k=1^N u^(k)(x,t)

Se U_∞(t) = U_∞ non dipende piu dal tempo

U(x,t) = U(x)

Proprieta:

• Linearita delle medie

<∂u/∂x> = 1/N ∑_k=1^N ∂u^(k)/∂x = ∂/∂x (1/N ∑_k=1^N u^(k)) = ∂<u>/∂x = ∂U/∂x

<d²u>/dx² = d²<u>/dx² = d²U/dx²

<du>/dt = dU/dt

<u²> != (<u>)²

1/N sum_k=1^N u^(k)2 != 1/N (sum_k=1^N u^(k))²

Decomposizione di Reynolds

u(x,t) = U(x,t) + u'(x,t) medio l'equazione (...)

<u(x,t)> = <U(x,t)> + <u'(x,t)>

U(x,t) = U(x,t) + <u'(x,t)> => <u'(x,t)> = 0

la media della media e la media

a) &partial;u_i/∂x_j = 0

b) &partial;u_i/∂t + ∂/∂x_j (u_iu_j) = -1/ρ ∂p/∂x_i + ∂/∂x_j (2w e_ij)

e_ij = 1/2 (∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i) = E_ij + e'_ij

1/2 (∂<u_i>/∂x_j + ∂<u_j>/∂x_i) + 1/2 (∂u'_i/∂x_j + ∂u'_j/∂x_i)

Medio la prima equazione: <...> = 0    ∂<u_j>/∂x_j = 0 => ∂/∂x_j <u_j> = 0    Il campo medio e quello di fluttuazione sono solenoidali

∂u_j/∂x_j = 0 ⇔ ∇ · &U; = 0

∂u_j/∂x_j = 0 D.R. => ∂/∂x_i (U_i + u'_i) = 0 => ∂U_j/∂x_j + ∂u'_j/∂x_j = 0 => ∂u'_j/∂x_j = 0 => ∇ · u' = 0

b) Introduco la decomposizione di Reynolds

< ∂/∂t ((U_i+u'_i) + ∂/∂x_j [(U_i+u'_i)(U_j+u'_j)] = - ∂/∂x_i ((p+p')/ρ) + ∂/∂x_j [2w(E_ij+e'_ij)] >

U_iU_j + U_iu'_j + u'_iU_j + u'_iu'_j velocitye diffuazione

∂/∂t <U_i> + ∂/∂t <u'_i> + ∂/∂x_j <U_iU_j> + ∂/∂x_j <U_iu'_j> + ∂/∂x_j <u'_iU_j> + ∂/∂x_j <u'_iu'_j> =

= - ∂/∂x_i <p/ρ> - ∂/∂x_i <p'/ρ> + ∂/∂x_j <2wE_ij> + ∂/∂x_j <2we'_ij>

Quindi ∂U_i/∂t + ∂/∂x_j (U_iU_j) = - ∂/∂x_i (p/ρ) + ∂/∂x_j 2wE_ij